Cách khai triển hằng đẳng thức bằng máy tính

1. (A +B)2= A2 + 2AB + B2

2. (A - B)2 = A2 - 2AB +B2

3. A2 - B2= (A - B).(A + B)

4. (A + B)3 = A3 +3A2B +3AB2 +B3

5. (A - B)3 = A3 - 3A2B - 3AB2-B3

6. A3 + B3 = (A+B).(A2 - AB +B2)

7. A3 - B3 = (A-B) . (A2+ AB + B2)

(A + B)3 = A3 + B3 +3AB.( A + B)

(A - B)3= A3 - B3 - 3AB.(A - B)

2 Bình phương một tổng N hạng tử:

Định lí này nằm trong đặc biệt đã được giảng dạy ở các trung học và mang tên là cácHằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương củax+ y

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn củax+ytương ứng với các hàng sau của tam giác:

Tam giác Pascal

Chú ý rằng:

1. lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 (
   ), giá trị bắt đầu là n (n trong
   .)
2. lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 (
   ) cho tới khi đạt đến n (n trong
   .)
3. hàng nth của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng
   .
5. với mỗi hàng, nhóm tích số bằng
   .

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

4.Bài tập:

16.Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;

a) x2+ 2x + 1; b) 9x2+ y2+ 6xy;

c) 25a2+ 4b2 20ab; d) x2 x +

.

Bài giải:

a) x2+ 2x + 1 = x2+ 2 . x . 1 + 12

= (x + 1)2

b) 9x2+ y2+ 6xy = (3x)2+ 2 . 3 . x . y + y2= (3x + y)2

c) 25a2+ 4b2 20ab = (5a)2 2 . 5a . 2b + (2b)2= (5a 2b)2

Hoặc 25a2+ 4b2 20ab = (2b)2 2 . 2b . 5a + (5a)2= (2b 5a)2

d)x2 x += x2 2 . x .

+=

Hoặc x2 x +=- x + x2=- 2 .. x + x2=

17.Chứng minh rằng:

(10a + 5)2= 100a . (a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 252, 352, 652, 752.

Bài giải:

Ta có: (10a + 5)2= (10a)2+ 2 .10a . 5 + 52

= 100a2+ 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhaame bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)2= 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

- Để tính 252ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

- Để tính 352ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

- 652= 4225

- 752= 5625.

18. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x2+ 6xy + = ( + 3y)2;

b) ... 10xy + 25y2= ( - )2;

Hãy nêu một số đề bài tương tự.

Bài giải:

a) x2+ 2 . x . 3y + = (+3y)2

x2+ 2 . x . 3y + (3y)2= (x + 3y)2

Vậy: x2+ 6xy +9y2= (x + 3y)2

b) -2 . x . 5y + (5y)2= ( - )2;

x2 2 . x . 5y + (5y)2= (x 5y)2

Vậy: x2 10xy + 25y2= (x 5y)2

Đề bài tương tự: Chẳng hạn:

4x + 4xy + = ( + y2)

- 8xy + y2= ( - )2

20. Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x2+ 2xy + 4y2= (x + 2y)2

Bài giải:

Nhận xét sự đúng, sai:

Ta có: (x + 2y)2= x2+ 2 . x . 2y + 4y2

= x2+ 4xy + 4y2

Nên kết quả x2+ 2xy + 4y2= (x + 2y)2sai.

21. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x2 6x + 1; b) (2x + 3y)2+ 2 . (2x + 3y) + 1.

Hãy nêu một đề bài tương tự.

Bài giải:

a) 9x2 6x + 1 = (3x)2 2 . 3x . 1 + 12= (3x 1)2

Hoặc 9x2 6x + 1 = 1 6x + 9x2= (1 3x)2

b) (2x + 3y) = (2x + 3y)2+ 2 . (2x + 3y) . 1 + 12

= [(2x + 3y) + 1]2

= (2x + 3y + 1)2

Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)2

4x2 12x + 9

22. Tính nhanh:

a) 1012; b) 1992; c) 47.53.

Bài giải:

a) 1012= (100 + 1)2= 1002+ 2 . 100 + 1 = 10201

b) 1992= (200 1)2 = 2002 2 . 200 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 3)(50 + 3) = 502 32= 2500 9 = 2491.

23.Chứng minh rằng:

(a + b)2= (a b)2+ 4ab;

(a b)2= (a + b)2 4ab.

Áp dụng:

a) Tính (a b)2, biết a + b = 7 và a . b = 12.

b) Tính (a + b)2, biết a - b = 20 và a . b = 3.

Bài giải:

a) (a + b)2= (a b)2+ 4ab

- Biến đổi vế trái:

(a + b)2= a2 +2ab + b2= a2 2ab + b2+ 4ab

= (a b)2+ 4ab

Vậy (a + b)2= (a b)2+ 4ab

- Hoặc biến đổi vế phải:

(a b)2+ 4ab = a2 2ab + b2+ 4ab = a2+ 2ab + b2

= (a + b)2

Vậy (a + b)2= (a b)2+ 4ab

b) (a b)2= (a + b)2 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)2 4ab = a2 +2ab + b2 4ab

= a2 2ab + b2= (a b)2

Vậy (a b)2= (a + b)2 4ab

Áp dụng: Tính:

a) (a b)2= (a + b)2 4ab = 72 4 . 12 = 49 48 = 1

b) (a + b)2= (a b)2+ 4ab = 202+ 4 . 3 = 400 + 12 = 412

24.Tính giá trị của biểu thức 49x2 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5; b) x =

.

Bài giải:

49x2 70x + 25 = (7x)2 2 . 7x . 5 + 52= (7x 5)2

a) Với x = 5: (7 . 5 5)2= (35 5)2= 302= 900

b) Với x =: (7 . 5)2= (1 5)2= (-4)2= 16

Bài 25. Tính:

a) (a + b + c)2; b) (a + b c)2;

c) (a b c)2

Bài giải:

a) (a + b + c)2= [(a + b) + c]2= (a + b)2+ 2(a + b)c + c2

= a2+ 2ab + b2+ 2ac + 2bc + c2

= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b c)2= [(a + b) c]2= (a + b)2- 2(a + b)c + c2

= a2+ 2ab + b2- 2ac - 2bc + c2

= a2+ b2+ c2+ 2ab - 2bc - 2ac.

c) (a b c)2= [(a b) c]2= (a b)2 2(a b)c + c2

= a2 2ab + b2 2ac + 2bc + c2

= a2+ b2+ c2 2ab + 2bc 2ac.

Bài 26. Tính:

a) (2x2+ 3y)3; b) (x 3)3

Bài giải:

a) (2x2+ 3y)3= (2x2)3 + 3(2x2)2. 3y + 3 . 2x2. (3y)2+ (3y)3

= 8x6+ 3 . 4x4. 3y + 3 . 2x2. 9y2+ 27y3

= 8x6+ 36x4y + 54x2y2+ 27y3

b) (x 3)3=

- 3. 3 + 3. 32- 33

=

x3 3 .x2. 3 + 3 .x . 9 27

=x3

x2+x - 27

Bài 27.Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x3+ 3x2 3x + 1;

b) 8 12x + 6x2 x3.

Bài giải:

a) x3+ 3x2 3x + 1 = 1 3 . 12. x + 3 . 1 . x2 x3

= (1 x)3

b) 8 12x + 6x2 x3= 23 3 . 22. x + 3 . 2 . x2 x3

= (2 x)3

Bài 28. Tính giá trị của biểu thức:

a) x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6;

b) x3 6x2+ 12x- 8 tại x = 22.

Bài giải:

a) x3+ 12x2+ 48x + 64 = x3+ 3 . x2. 4 + 3 . x . 42+ 43

= (x + 4)3

Với x = 6: (6 + 4)3= 103= 1000

b) x3 6x2+ 12x- 8 = x3 3 . x2. 2 + 3 . x . 22- 23
= (x 2)3

Với x = 22: (22 2)3= 203= 8000

Bài 29. Đố: Đức tính đáng quý.

Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biều thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

x3 3x2+ 3x 1 N

16 + 8x + x2 U

3x2+ 3x + 1 + x3 H

1 2y + y2 Â

Bài giải:

Ta có:

N: x3 3x2+ 3x 1 = x3 3 . x2. 1+ 3 . x .12 13= (x 1)3

U: 16 + 8x + x2= 42+ 2 . 4 . x + x2= (4 + x)2

= (x + 4)2

H: 3x2+ 3x + 1 + x3= x3+ 3x2+ 3x + 1

= (x + 1)3= (1 + x)3

Â: 1 2y + y2= 12- 2 . 1 . y + y2= (1 - y)2

= (y - 1)2

Vậy: Đức tính đáng quý là "NHÂN HẬU"

Chú ý:

Có thế khai triển các biểu thức (x 1)3, (x + 1)3, (y - 1)2, (x + 4)2... để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.

Bài 30.Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 3x + 9) (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 2xy + y2) (2x y)(4x2+ 2xy + y2)

Bài giải:

a) (x + 3)(x2 3x + 9) (54 + x3) = (x + 3)(x2 3x + 32) - (54 + x3)

= x3+ 33- (54 + x3)

= x3+ 27 - 54 - x3

= -27

b) (2x + y)(4x2 2xy + y2) (2x y)(4x2+ 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 2 . x . y + y2] (2x y)(2x)2+ 2 . x . y + y2]

= [(2x)3+ y3]- [(2x)3- y3]

= (2x)3+ y3- (2x)3+ y3= 2y3

Bài 31.Chứng minh rằng:

a) a3+ b3= (a + b)3 3ab(a + b)

b) a3 b3= (a b)3+ 3ab(a b)

Áp dụng: Tính a3+ b3, biết a . b = 6 và a + b = -5

Bài giải:

a) a3+ b3= (a + b)3 3ab(a + b)

Thực hiện vế phải:

(a + b)3 3ab(a + b) = a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 3a2b 3ab2

= a3+ b3

Vậy a3+ b3= (a + b)3 3ab(a + b)

b) a3 b3= (a b)3+ 3ab(a b)

Thực hiện vế phải:

(a b)3+ 3ab(a b) = a3- 3a2b+ 3ab2- b3+ 3a2b 3ab2

= a3 b3

Vậy a3 b3= (a b)3+ 3ab(a b)

Áp dụng:

Với ab = 6, a + b = -5, ta được:

a3+ b3= (a + b)3 3ab(a + b) = (-5)3- 3 . 6 . (-5)

= -53+ 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35.

Bài 32.Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) (3x + y)(

-+) = 27x3+ y3

b) (2x -)(+ 10x +) = 8x3- 125.

Bài giải:

a) Ta có:

27x3+ y3= (3x)3+ y3= (3x + y)[(3x)2 3x . y + y2] = (3x + y)(9x2 3xy + y2)

Nên: (3x + y) (9x2- 3xy+ y2) = 27x3+ y3

b) Ta có:8x3- 125 = (2x)3- 53= (2x - 5)[(2x)2+ 2x . 5 + 52]

= (2x - 5)(4x2+ 10x + 25)

Nên: (2x - 5)(4x2+ 10x + 25) = 8x3- 125

Bài 33. Tính:

a) (2 + xy)2 b) (5 3x)2

c) (5 x2)(5 + x2) d) (5x 1)3

e) (2x y)(4x2+ 2xy + y2) f) (x + 3)(x2 3x + 9)

Bài giải:

a) (2 + xy)2= 22+ 2 . 2 . xy + (xy)2= 4 + 4xy + x2y2

b) (5 3x)2= 52 2 . 5 . 3x + (3x)2= 25 30x + 9x2

c)(5 x2)(5 + x2) = 52 (x2)2= 25 x4

d) (5x 1)3= (5x)3 3 . (5x)2. 1 + 3 . 5x . 12 13= 125x3 75x2+ 15x 1

e) (2x y)(4x2+ 2xy + y2) = (2x y)[(2x)2+ 2x . y + y2] = (2x)3 y3= 8x3 y3

f) (x + 3)(x2 3x + 9) = (x + 3)(x2 3x + 32) = x3+ 33= x3+ 27.

Bài 34. Rút gọn các biểu thực sau:

a) (a + b)2 (a b)2; b) (a + b)3 (a b)3 2b3

c) (x + y + z)2 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

Bài giải:

a) (a + b)2 (a b)2= (a2+ 2ab + b2) (a2 2ab + b2)

= a2+ 2ab + b2 a2+ 2ab - b2= 4ab

Hoặc (a + b)2 (a b)2= [(a + b) + (a b)][(a + b) (a b)]

= (a + b + a b)(a + b a + b)

= 2a . 2b = 4ab

b) (a + b)3 (a b)3 2b3

= (a3+ 3a2b + 3ab2+ b3) (a3 3a2b + 3ab2 b3) 2b3

= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 a3+ 3a2b - 3ab2+ b3 2b3

= 6a2b

Hoặc (a + b)3 (a b)3 2b3= [(a + b)3 (a b)3] 2b3

= [(a + b) (a b)][(a + b)2+ (a + b)(a b) + (a b)2] 2b3

= (a + b a + b)(a2+ 2ab + b2+ a2 b2+ a2 2ab + b2) 2b3

= 2b . (3a2+ b2) 2b3= 6a2b + 2b3 2b3= 6a2b

c)(x + y + z)2 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

= x2+ y2+ z2+ 2xy + 2yz + 2xz 2(x2+ xy + yx + y2+ zx + zy) + x2+ 2xy + y2

= 2x2+ 2y2+ z2+ 4xy + 2yz + 2xz 2x2 4xy 2y2 2xz 2yz = z2

Bài 35. Tính nhanh:

a) 342+ 662+ 68 . 66; b) 742+ 242 48 . 74.

Bài giải:

a) 342+ 662+ 68 . 66 = 342+ 2 . 34 . 66 + 662= (34 + 66)2= 1002= 10000.

b) 742+ 242 48 . 74 = 742- 2 . 74 . 24 + 242= (74 - 24)2

=502=2500

Bài 36.Tính giá trị của biểu thức:

a) x2+ 4x + 4 tại x = 98; b) x3+ 3x2+ 3x + 1 tại x = 99

Bài giải:

a) x2+ 4x + 4 = x2+ 2 . x . 2 + 22= (x+ 2)2

Với x = 98: (98+ 2)2=1002= 10000

b) x3+ 3x2+ 3x + 1 = x3+ 3 . 1 . x2+ 3 . x .12+ 13= (x + 1)3

Với x = 99: (99+ 1)3= 1003= 1000000

Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a b)3= -(b a)3; b) (- a b)2= (a + b)2

Bài giải:

a) (a b)3= -(b a)3

Biến đổi vế phải thành vế trái:

-(b a)3= -(b3 3b2a + 3ba2 a3) = - b3+ 3b2a - 3ba2+ a3

= a3 3a2b + 3ab2 b3= (a b)3

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a b)3 = [(-1)(b a)]3= (-1)3(b a)3= -13. (b a)3= - (b a)3

b) (- a b)2= (a + b)2

Biến đổi vế trái thành vế phải:

(- a b)2= [(-a) + (-b)]2

= (-a)2 +2 . (-a) . (-b) + (-b)2

= a2 + 2ab + b2= (a + b)2

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(-a b)2= [(-1) . (a + b)]2= (-1)2. (a + b)2= 1 . (a + b)2= (a + b)2