Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.
Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].
II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tính chất:
- Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn ngoại tiếp.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền.
- Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.
Ví dụ:
△ABC trên nội tiếp đường tròn [O] có bán kính chính là OA = OB = OC.
△MNP vuông tại P trên nội tiếp đường tròn [O] có đường kính là cạnh huyền MN.
△EFG đều có đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp cùng tâm O.
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Cho ΔABC cân tại A, nội tiếp Đường tròn [O], đường cao AH cắt [O] ở D. Vì sao AD là đường kính của [O]?
Lời giải tham khảo:
Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC mà ΔABC cân ở A nên đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH
⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là đường kính
Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.
Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].
II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực] do vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.
Ngoài ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông ấy.
Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △MNP vuông tại P có tâm là điểm O, là trung điểm của cạnh huyền MN.
Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tính chất của tam giác đều.
Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.
III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực]
Ngoài ra có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Cách 1:
Khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác, cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
Bước 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho là O[x, y]. Khi đó, ta có OA = OB = OC = R.
Bước 2: Tọa độ tâm O[x, y] là nghiệm của hệ phương trình \[\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}\]. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm O[x, y] của đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho.
Cách 2:
Bước 1: Thiết lập phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
Bước 2: Giao điểm của hai đường trung trực vừa viết trên chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Cho △ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC.
Lời giải tham khảo:
Gọi O[x, y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC, ta có:
\[\overrightarrow{OA} = [1-x;2-y]\] ⇒ \[OA= \sqrt{[1-x]^2 + [2-y]^2}\]
\[\overrightarrow{OB} = [-1-x;-y]\] ⇒ \[OB= \sqrt{[-1-x]^2 + y^2}\]
\[\overrightarrow{OC} = [3-x;2-y]\] ⇒ \[OC= \sqrt{[3-x]^2 + [2-y]^2}\]
Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC nên ta có:
\[OA=OB=OC⇔\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}⇔\begin{cases}[1-x]^2 + [2-y]^2 =[-1-x]^2 + y^2 \\ [1-x]^2 + [2-y]^2= [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{cases}\]
\[⇔\begin{cases}x = 2 \\ y= -1 \end{cases}\]
Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC là O[2;-1].
I. Lý thuyết đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
1. Định nghĩa
a] Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.
b] Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp
Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều.
Đa giác đềunncạnh có độ dài mỗi cạnh làa,Rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp vàrrlà bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:
4.Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp [hoặc có thể là 2 đường trung trực].
5. Tính chất đường tròn ngoại tiếp
- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.
6. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
- Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
- Cách 1
+ Bước 1: Gọi I[x;y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R
+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình
- Cách 2:
+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trênđường caoAH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông làtrung điểmcạnh huyền
7.Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
- Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
- Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:
+Bước 1:Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]
+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
+Bước 3:Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
+Bước 4:Do A,B,C∈ C nên ta có hệ phương trình:
=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta cóphương trình đường tròn ngoại tiếp tam giáccần tìm.
II. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 91 - SGK Toán 9 tập 2
a] Vẽ đường tròn tâmO, bán kính2cm.
b] Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn[O]ở câu a]
c] Tính bán kínhrcủa đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b] rồi vẽ đường tròn[O;r].
Bài làm:
a] Chọn điểmOlàm tâm, mở compa có độ dài2cmvẽ đường tròn tâmO, bán kính2cm:[O;2cm]
b] Vẽ đường kínhACvàBDvuông góc với nhau. NốiAvớiB,BvớiC,CvớiD,DvớiAta được tứ giácABCDlà hình vuông nội tiếp đường tròn[O;2cm]
c] VẽOH⊥BC
OHlà bán kínhrcủa đường tròn nội tiếp hình vuôngABCD.
r=OH=BH.
Vẽ đường tròn[O; √2cm]. Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Câu 2: Trang 91 - SGK Toán 9 tập 2
a] Vẽ tam giácABCcạnha=3cm.
b] Vẽ đường tròn[O;R]ngoại tiếp tam giác đềuABC. TínhR.
c] Vẽ đường tròn[O;r]nội tiếp tam giác đềuABC. Tínhr.
d] Vẽ tiếp tam giác đềuIJKngoại tiếp đường tròn[O;R].
Bài làm:
a] Vẽ tam giác đềuABCcó cạnh bằng3cm[dùng thước có chia khoảng và compa]
b] TâmOcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác đềuABClà giao điểm của ba đường trung trực [đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đềuABC].
Ta có:
c] Đường tròn nội tiếp[O;r]tiếp xúc ba cạnh của tam giác đềuABCtại các trung điểmA′,B′,C′của các cạnh.
d] Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn[O;R]tạiA,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tạiI,J,K. Ta cóΔIJKlà tam giác đều ngoại tiếp[O;R].
Câu 3: Trang 92 - SGK Toán 9 tập 2
Trên đường tròn bán kínhRlần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểmA, ba cungAB, BC, CD sao cho:
a] Tứ giácABCDlà hình gì?
b] Chứng minh hai đường chéo của tứ giácABCDvuông góc với nhau.
c] Tính độ dài các cạnh của tứ giácABCDtheoR.
Bài làm: