- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh rằng :
LG a
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^4} - {x^2} + 2\] liên tục trên \[\mathbb R\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^4} - {x^2} + 2\]xác định trên \[\mathbb R\].
Với mọi \[x_0\in\mathbbR\] ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {{x^4} - {x^2} + 2} \right] \] \[= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Vậy f liên tục tại x0nên f liên tục trên \[\mathbb R\].
LG b
Hàm số \[f\left[ x \right] = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\] liên tục trên khoảng [-1 ; 1] ;
Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\[1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\]
Vậy hàm số f xác định trên khoảng [-1 ; 1]
Với mọi x0ϵ [-1 ; 1], ta có : \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \] \[= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng [-1 ; 1]
LG c
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {8 - 2{x^2}} \] liên tục trên đoạn [-2 ; 2];
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:\[8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\]
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {8 - 2{x^2}} \]xác định trên đoạn [-2 ; 2]
Với mọi \[{x_0} \in \left[ { - 2;2} \right]\] , ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng [-2 ; 2].
Ngoài ra, ta có :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} f\left[ x \right] \] \[= \sqrt {8 - 2{{\left[ { - 2} \right]}^2}} = 0 = f\left[ { - 2} \right]\] nên hàm số liên tục phải tại x=-2.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { 2} \right]}^ - }}\] \[ = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left[ 2 \right]\] nên hàm số liên tục trái tại x=2.
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]
LG d
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {2x - 1} \] liên tục trên nửa khoảng \[\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right]\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {2x - 1} \]xác định trên nửa khoảng \[\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right]\]
Với \[{x_0} \in \left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right]\] ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \] \[= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Nên hàm số liên tục trên khoảng \[\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right]\]
Mặt khác ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left[ x \right] \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left[ {{1 \over 2}} \right]\]
Nên hàm số liên tục phải tại x=1/2.
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \[\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right]\]