VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M[x0; y0] và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d [M, ∆] = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M[1; 2] đến đường thẳng [D]: 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d[M, D] = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến [D]: 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A[1, −3] và có khoảng cách đến điểm M0[2, 4] bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A[1; −3] có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k[x − 1] ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng [D] song song với [D0]: 3x + 4y − 1 = 0 và cách [D0] một đoạn bằng 2. Đường thẳng [D] ∥ [D0] nên phương trình đường thẳng [D]: 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M[−1; 1] ∈ [D0], theo đề ta có: d[D, D0] = d[M, D] = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A[−1, 2] và hai đường [∆]: x − y − 1 = 0,[∆0]: x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng [∆] một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến [∆0] bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M[1, 1] một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 [2, 3] một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d[M, ∆] = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ [1] và [2] ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2[A + B + C], 2A + 3B + C = −2[A + B + C] ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và [1] ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M[x_M;y_M]$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M[x_M;y_M]$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.
Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:
- Tọa độ điểm M
- Phương trình của đường thẳng $\Delta$
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$
a. Tính khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$
b. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$
Hướng dẫn:
a. Khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
b. Khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$ là:
$d[M,a]=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{5}=3$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A[1;2]$; $B[2;3]$; $C[-1;2]$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Hướng dẫn:
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.
Ta có: $\vec{BC}=[-3;-1]$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=[1;-3]$
Đường thẳng BC đi qua điểm $B[2;3]$ có phương trình là:
$1.[x-2]-3[y-3]=0$ $x-3y+7=0$
Khoảng cách từ điểm $A[1;2]$ đến đường thẳng BC là:
$d[A,BC]=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+[-3]^2}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.
Hướng dẫn:
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M[x_M;-x_M+3]$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:
$d[M,b]=\dfrac{|3x_M-4[x_M+3]+5|}{\sqrt{3^2+[-4]^2}}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|x_M+7|}{5}$
Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:
$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$
$|x_M+7|=15$
$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$
$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$
Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1[8;-5]$ và $M_2[-22;-19]$
Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.
a. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;-3]$ tới đường thẳng a
b. Tính khoảng cách từ điểm $B[-4;3]$ tới đường thẳng b
Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A[4;2] và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$
Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2
Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I[2, –3] và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N[ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
Cho điểm M[ xM; yN] và điểm N[ xN; yN] . Khoảng cách hai điểm này là:
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường
2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N[ xN; yN; zN]. Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
Ví dụ 1:
Lời giải
+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
⇒ Phương trình [ d] : 4[ x - 1] – 3[ y - 2] = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0
+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:
Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A[ 2; 1]. Tính diện tích của hình chữ nhật.
Lời giải
+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A[2; 1] đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[3; -4]; B[1; 5] và C[3;1] . Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải
Ví dụ 4.
Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải
Ví dụ 5. Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng [a]: x - 3y + 4 = 0 và
[b]: 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0.
Lời giải
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng [ a] và [ b] tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :