Chứng minh phương trình lượng giác có nghiệm

18:48:1027/08/2019

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, (

)

 và x = π - α + k2π, (

)

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 

 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, (

)

 và x = π - arcsina + k2π, (

)

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, (

)

 và x = 1800 - β0 + k3600, (

)

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, (

)

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, (

)

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, (

)

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

 và tanα = a thì ta viết α = arctana. Khi đó nghiệm của phương trình (3) là:

 x = arctana + kπ, (

)

- Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k1800, (

)

4. Phương trình cotx = a. (4)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là:

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

 và cotα = a thì ta viết α = arccota. Khi đó nghiệm của phương trình (4) là:

 x = arccota + kπ, (

)

- Phương trình cotx = cotβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k1800, (

)

5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

• Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

• Dạng tổng quát: asin[f(x)] + b = 0 ; acos[f(x)]  + b = 0; atan[f(x)]  + b = 0; acot[f(x)]  + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

• Dạng: asin2x + bsinx + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

• Dạng tổng quát: asin2[f(x)] + bsin[f(x)] + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0). (các hàm cos, tan, cot tương tự).

7. Phương trình dạng asinx + bcosx = c (a≠0,b≠0).

• Phương pháp giải:

 ◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho 

, ta được:

 

 - Nếu 

 thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu 

 thì đặt 

 (hoặc 

)

- Đưa PT về dạng: 

 (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo 

;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a)

     b)

b)

d)

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

 

b)

 

 

 

c)

 

 

 

 

d)

 

 

   

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a)

 

 

 

b)

 

 

  

c)

 

 

 

d)

 

 

 

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

° Lời giải:

a)

 

 

 

+ Với 

  hoặc 

+ Với

  hoặc 

b) 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 

 

d)

 

 

 

 hoặc 

 

* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

 

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)

 

b)

° Lời giải:

a)

 

 

 

 

 

 hoặc  với 

b)

 

 

 

 

 

 

 hoặc  với 

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

 

 

 

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc  hoặc 

 

 hoặc  hoặc  với 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 hoặc  hoặc 

* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

 

 

 

 

 

 

 

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

 

 

 

+ Với 

+ Với 

b)

 

 

 

 

 hoặc 

+ Với 

 

+ Với 

: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 

+ Với t=1/2: 

 

 

 hoặc 

b) 

 

+ Đặt 

 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 nên loại

+ 

   

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - Nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho 

, ta được:

 

 - Nếu 

 thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu 

 thì đặt 

 (hoặc 

)

- Đưa PT về dạng: 

 (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo 

;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

 khi đó:

 

 

+ Đặt 

 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

  

b) 

 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

 

 

 

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó: 

 thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: 

 nên điều kiện của t là: 

- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx; 

 

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, 

, khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

 

 hoặc 

+ Với 

 

 

 

 

+ Tương tự, với 

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

 

- Đặt t = sinx + cosx, 

, khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

  

+ Với t=1 

 

 

 hoặc 

 hoặc 

+ Với 

: loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

 

 

 

- Vậy với 

  thì 

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

 

- Kết luận: PT có nghiệm

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

d) 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có: 

 

 

 

 

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình:  sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

 

 

 

 hoặc 

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0  (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0

 

 hoặc  (thỏa mãn ĐK).

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k2π, (k ∈ Z)

+ Với 

  

- Kết luận: PT có nghiệm là 

,

Hy vọng với bài viết hệ thống về các dạng toán phương trình lượng giác và phương pháp giải cùng các bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.