Chứng min hai đường thẳng song song là một dạng toán hay và khó trong chương trình toán 8, Top lời giải xin giới thiệu chi tiết nhất để các bạn có thể tự tin chứng minh hai đường thẳng song song.
I. Lý thuyết liên quan đến hai đường thẳng song song
1.Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thằng này đến đường thẳng kia.
2. Tính chất của các điểm các đều một đường thẳng cho trước
Các điểm cách đều một đường thẳng b một khoảng là h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
Nhận xét:Tập hớp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng cách bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
3. Đường thẳng song song cách đều
Cho các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Khi đó ta gọi a, b, c, d là các đường thẳng song song cách đều.
Ta có định lí:
– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
II. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1:Sử dụng tính chất hình bình hành.
Tính chất: Trong hình bình hành các cạnh đối song song
Phương pháp 2:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang.
Tính chất:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
Phương pháp 3:Sử dụng định lí Talet đảo:
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì song song với cạnh còn lại của tam giác
III. Một số bài tập vận dụng chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng ming rằng: CA // DE
Hướng dẫn:Sử dụng tính chất hình bình hành
+] Tứ giác ECDO là hình chữ nhật [vì có 4 góc vuông]
+] Lại có EC // DA [cùng vuông góc Oy]
=> EC = OD mà OD = DA [gt]; EC = DA
=> tứ giác ECDA là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hbh]
Bài 2:Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.
Chứng minh rằng: MN // AC.
Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC
Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.
a] Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
b] Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?
c] Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?
Lời giải:
a] Tứ giác ADME có
∠A=∠D=∠E=90∘∠A=∠D=∠E=90∘nên ADME là hình chữ nhật
O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM.
Vậy A, O, M thẳng hàng.
b] Kẻ AH⊥ BC. Tương tự như bài 70 ta có hai cách chứng minh như sau:
- Cách 1:
Kẻ OK⊥ BC. Ta có OA = OM, OK // AH [cùng vuông góc BC]
=> OK = ½. Ạ. Điểm O cách đoạn thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng ½ AH.
Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB. Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
- Cách 2:
Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
Do đó OA = OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH. Mặt khác vì M di chuyển trên cạnh BC nên O chỉ di chuyển trên cạnh PQ. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.
Dạng 1. Sử dụng định lí Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Bước 1. Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác
Bước 2. Lập các đoạn thẳng tỉ lệ
Bước 3. Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức, sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết
Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lí Ta – lét để chứng minh các hệ thức
Phương pháp giải:
-Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác
-Lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Chú ý:
-Ta có thể so sánh với các tỉ số với những tỉ số trung gian
Ví dụ:
Cho hình thang \[ABCD.\] Gọi \[O\] là giao điểm hai đường chéo \[AC\] và \[BD. \] Đường thẳng \[a\] qua \[O\] song song với đáy của hình thang cắt cạnh bên \[AD,\ BC\] lần lượt tại \[E\] và \[F. \] Chứng minh rằng \[EF=2OF. \]
Giải:
Vì \[a//CD\] nên \[\dfrac{OE}{CD}=\dfrac{AO}{AC}\ [1] \]
Vì \[a//CD\] nên \[\dfrac{OF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\ [2] \]
Vì \[AB//CD\] nên \[\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\ [3] \]
Từ \[[1],\ [2]\] và \[[3]\] \[\dfrac{OE}{CD}=\dfrac{OF}{CD}\]
Do đó, \[\Rightarrow OE=OF\] mà \[E,\ O,\ F\] thẳng hàng nên \[O\] là trung điểm của \[EF. \]
Vậy \[EF=2OE. \]
-Ta có thể sử dụng tính chất khác như:
Trong hình thang, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là ba điểm thẳng hàng.
Dạng 3. Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, để tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác.
Dạng 4. Nhận biết hai tam giác đồng dạng theo ba trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh - góc
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Sử dụng ba trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh - góc
- Sắp xếp đúng thứ tự đỉnh
Dạng 5. Sử dụng hai tam giác đồng dạng để tính độ dài đoạn thẳng, tính độ lớn góc, chứng minh các góc bằng nhau
Phương pháp giải:
-Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo các trường hợp đã học
-Suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Dạng 6. Tìm tỉ số hai đường cao và tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Phương pháp giải:
Bước 1. Chứng minh hai tam giác đó đồng dạng.
Bước 2. Sử dụng định lí:
-Tỉ số đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
-Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương của tỉ số đồng dạng.
Dạng 7. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng để gián tiếp đo chiều cao, đo khoảng cách, bề dày
Phương pháp giải:
-Tìm hai tam giác đồng dạng rồi lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng.
-Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc định lí Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng.