Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 4 2 3 xmyxm đồng biến 0 1
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng là một dạng toán tham số khi học về tính đồng biến, nghịch biến. Ở các cấp học nhỏ hơn, dạng toán này tồn tại dưới hình thức là một bài toán khó. Tuy nhiên, đến với chương trình toán THPT thì dạng toán này trở nên phổ biến, đặc biệt là chương trình toán 12. Đó là lý do Verbalearn sẽ giúp bạn thống kê lại toàn bộ kiến thức ngay trong bài viết này. Show
Tóm tắt lý thuyết tính đồng biến nghịch biến1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biếnCho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). 2. Định líCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K . a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K . b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K . c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K . Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b]. 3. Định lí mở rộngCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. 4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm sốBước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Phân dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảngChúng ta sẽ tìm hiểu 6 dạng như sau để có cái nhìn tổng quan nhất về các bài tập biện luận tham số m liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến trên khoảng của hàm số. Dạng 1. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảngPhương pháp giải: Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ hoặc suy biến Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số giảm trên nửa khoảng [1; +∞)?A. B. C. D. Lời giải Chọn A Tập xác định D = ℝ, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình mx2 + 14mx + 14 ≤ 0, ∀ x ≥ 1 tương đương với Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng ∀ x ∊ [1; +∞), suy ra Kết luận: Ví dụ 2: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 – m nghịch biến trên khoảng (0;1)?A. m ≥ 0 B. C. m ≤ 0 D. Lời giải Chọn D y’ = mx2 – 6mx = 0 Hàm số y = x3 – 3mx2 – m nghịch biến trên khoảng (0;1) ⇔ 2m ≥ 1 ⇔ m ≥ ½ Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 – mx + 1 đồng biến trên khoảng (-∞;0).A. m ≤ 0 B. m ≥ -2 . C. m ≤ -3 D. m ≤ -1 Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – m Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x < 0 ⇔ 3x2 + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0 Cách 1: 3x2 + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0 ⇔ 3x2 + 6x ≥ m, ∀ x < 0. Xét hàm số f(x) = 3x2 + 6x trên khoảng (-∞;0), ta có: f’(x) = 6x + 6. Xét f’(x) = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1. Ta có f(-1) = -3. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m ≤ -3 . Cách 2: Ta có ∆’ = 9 + 3m Nếu ∆’ ≤ 0 ⇔ m ≤ -3 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ y’ ≥ 0, ∀ x < 0 Nếu ∆’ > 0 thì y’ có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó để y’ ≥ 0, ∀ x < 0 thì ta phải có 0 ≤ x1 < x2. Điều này không thể xảy ra vì S = x1 + x2 = -2 < 0 Vậy m ≤ -3. Cách 3: Phương án B: Với m = -3 ta có y = x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3. Khi đó y’ = 3(x + 1)3 ≥ 0 ∀ x Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0). Vậy B là đáp án đúng. Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 – 9m2x nghịch biến trên khoảng (0;1).A. B. C. m < -1 D. hoặc m ≤ -1 Lời giải Chọn D Tập xác định D = ℝ y’ = 3x2 – 6mx -9m2 y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6mx -9m2 = 0 ⇔ x2 – 2mx -3m2 = 0 Nếu –m = 3m ⇔ m = 0 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ nên hàm số không có khoảng nghịch biến. Nếu –m < 3m ⇔ m > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-m; 3m). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) Kết hợp với điều kiện ta được Nếu –m > 3m ⇔ m < 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (3m; -m) Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) Kết hợp với điều kiện ta được m ≤ -1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) khi m ≤ -1 hoặc Dạng 2. Biện luận đơn điệu của hàm phân thứcPhương pháp giải được chia thành 2 loại như sau: Loại 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm |
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Bảo Vương |
Số trang | 59 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
- Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị
- Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước
- Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
- Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
- Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
- Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
- Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị hàm số f’(x)
- Dạng 8. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)
Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc độ nào đó, chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong cuộc sống và cần phải hiểu rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm giác rất may mắn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy có thể tiếp cận nhiều học sinh hơn.