Câu 492865: Tổng các giá trị nguyên của tham số \[m\] trong đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\]để hàm số \[y = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 1\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\] bằng bao nhiêu?
A. \[49\].
B. \[ - 49\].
C. \[ - 45\].
D. \[45\].
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} – 3{x^2} + mx + 10\], có đạo hàm \[f’\left[ x \right] = 3{x^2} – 6x + m\].
adsense
Hàm số \[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { – 1;1} \right]\]thì bảng biến thiên của hàm số trong \[y = f\left[ x \right]\] khoảng \[\left[ { – 1;1} \right]\] phải có hình dạng như sau:
Trường hợp 1: Hàm số \[f\left[ x \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { – 1;1} \right]\]và không âm trên \[\left[ { – 1;1} \right]\] tức là
\[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ { – 1} \right] \ge 0\\f’\left[ x \right] \ge 0\,,\,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \ge 0\\m \ge 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 6.\]
Trường hợp 2: Hàm số \[f\left[ x \right]\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ { – 1;1} \right]\]và không dương trên \[\left[ { – 1;1} \right]\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ { – 1} \right] \le 0\\f’\left[ x \right] \le 0\,,\,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \le 0\\m \le 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 6\\m \le – 9\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \]
Xét \[g\left[ x \right] = – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}\left[ {2m + 3} \right]{x^2} – \left[ {{m^2} + 3m} \right]x + \frac{2}{3}\].
adsense
\[g’\left[ x \right] = – {x^2} + \left[ {2m + 3} \right]x – \left[ {{m^2} + 3m} \right]\].
\[g’\left[ x \right] = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên:
Hàm số \[\left| {g\left[ x \right]} \right|\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {1\,;\,2} \right]\] \[ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le 1 < 2 \le m + 3\\g\left[ 2 \right] \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 3 \le 1\\g\left[ 2 \right] \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2 \le m\\g\left[ 2 \right] \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 1\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le – 2\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 1\\m \in \left[ { – \infty \,;\, – 2} \right] \cup \left[ {1\,;\, + \infty } \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le – 2\\m \in \left[ { – 2\,;\,1} \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \in \left[ { – 2\,;\,1} \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \,\left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = 1\end{array} \right.\].
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow \] \[f'\left[ x \right] \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\] [dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm] \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 9 \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\].
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 9 \le 0{\rm{ [ do }}a = 1 > 0{\rm{]}}\] \[ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3\].
Do \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\] đồng biến trên R.
- A. \[- 1 < m < 1\]
- B. \[- 1 \le m \le 1\]
- C. \[- 2 < m < 2\]
- D. \[- 2 \le m \le 2\]
Đáp án đúng: B
Ta có: \[y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\]
\[\Rightarrow y' = {x^2} + 2mx + 1\]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 1 \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 1 \le m \le 1 \end{array}\]