Có bao nhiêu số nguyên ${y}$ sao cho tồn tại ${x \in\left[\dfrac{1}{3} ; 3\right]}$ thỏa mãn ${27^{3 x^2+x y}=[1+x y] 27^{9 x}}$ ?
27 .
9 .
11 .
12 .
Xét ${f[x]=27^{3 x^2-9 x+x y}-[x y+1]}$ và áp dụng ${a^x \geq x[a-1]+1}$.
Suy ra: ${f[x] \geq 26\left[3 x^2-9 x+x y\right]-x y-1=84 x^2+25 x y-234 x-1>0, \forall y \geq 10}$.
Do đó ${y \leq 9}$.
${y=0 \Rightarrow 27^{3 x^2-9 x}=1 \Rightarrow 3 x^2-9 x=0:}$ loại.
${y \leq-3 \Rightarrow x y0}$.
Và ${f\left[\dfrac{1}{3}\right]=3^{y-8}-\dfrac{y}{3}-1 0,\forall y \geqslant 13\] Do đó y ≤ 12 \[\begin{gathered}
y = 0 = > {27^{3{x^2} - 12}} = 1 3{x^2} - 12 = 0 \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.[loai] \hfill \\
y \leqslant - 3 = > xy VP < 0[loai] \hfill \\
\end{gathered} \] y=-1; y = -2 [thỏa mãn] Xét y > 0 có f[4] = 274y - [1 + 4y] ≥ 0, \[\forall \] y > 0 và \[f\left[ {\frac{1}{3}} \right] = f[x] = {3^{y - 11}} - \frac{y}{3} - 1 < 0,\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \] Do đó pt f[x] = 0 có nghiệm \[x \in \left[ {\frac{1}{3};4} \right],\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \] Vậy \[y \in {\text{\{ - 2; - 1;0;}}1;2;...;12\} \]
Chọn B
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 50
Lời giải của GV Vungoi.vn
* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1\].
\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}\], khi \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\] \[ \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
\[ \Rightarrow \] Ta chặn được \[y > - 3\] => \[y \ge - 2\].
* \[pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0\].
Đặt \[f\left[ x \right] = g\left[ y \right] = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left[ 5 \right] = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.\].
Nhận thấy ngay \[f\left[ 5 \right] \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\], chỉ bằng 0 tại \[y = 0\].
+ Xét \[y = 0 \Rightarrow \] thay vào phương trình ban đầu \[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\], loại vì không có nghiệm thuộc \[\left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
+ Xét \[y \ne 0 \Rightarrow f\left[ 5 \right] > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\].
1] Ta Table khảo sát \[f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]\] với \[\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\].
\[ \Rightarrow f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right].f\left[ 5 \right] < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\]
\[ \Rightarrow \] Có 17 giá trị của \[y\] để tồn tại nghiệm \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
2] Từ bảng Table ta nhận thấy khi \[y \ge 16\] thì \[f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] > 0\] và đồng biến.
Ta đi chứng minh khi \[y \ge 16\] thì phương trình vô nghiệm.
\[g'\left[ y \right] = x\left[ {{{27}^{3{x^2} + x\left[ {y - 15} \right]}}.\ln 27 - 1} \right] > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow g\left[ y \right] \ge g\left[ {16} \right] = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left[ x \right]\].
Ta có \[h'\left[ x \right] = {27^{3{x^2} + x}}\left[ {6x + 1} \right]\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
\[ \Rightarrow h\left[ x \right] > h\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = \dfrac{8}{3} > 0\].
\[ \Rightarrow \] Phương trình vô nghiệm với \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của \[y\].
Câu hỏi: 47. Có bao nhiêu số nguyên \[y\]sao cho tồn tại \[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\] thỏa mãn \[{27^{3{x^2} + xy}} = \left[ {1 + xy} \right]{.27^{9x}}\]? A. \[27\].
B. \[9\].
C. \[11\].
D. \[12\].
Lời giải
+] Ta có \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow 3{x^2} + xy = {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + 9x\]
\[\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 = {\log _{27}}t – t\], với \[t = 1 + xy > 0\].
+] Xét hàm số \[\,f\left[ x \right] = 3{x^2} – 9x – 1\].
Ta có \[ – \frac{{31}}{4} \le f\left[ x \right] < – 1\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\].
+] Xét hàm số \[g\left[ t \right] = {\log _{27}}t – t,\,\,t > 0\].
\[g’\left[ t \right] = \frac{1}{{t\ln 27}} – 1\]; \[g’\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\ln 27}}\]
Ta có \[ – \frac{{31}}{4} \le f\left[ x \right] < – 1\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\]. Suy ra \[ – \frac{{31}}{4} \le g\left[ t \right] < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \in \left[ { \approx {{8,07.10}^{ – 12}}; \approx 0,04} \right]\\t \in \left[ {1; \approx 8,4} \right]\end{array} \right.\]
hay \[\left[ \begin{array}{l} \approx {8,07.10^{ – 12}} < 1 + xy < \approx 0,04\\1 < 1 + xy < \approx 8,4\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \approx \frac{{ – 1 + {{8,07.10}^{ – 12}}}}{x} < y < \approx \frac{{ – 1 + 0,04}}{x}\\0 < y < \approx \frac{{7,4}}{x}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 < y < – \frac{1}{3}\\0 < y \le 22\end{array} \right.\], [\[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\], \[y\] nguyên].
+] Nhận thấy \[y = – 2;y = – 1\] thỏa mãn đề.
+] Với \[0 < y \le 22\], ta có \[\left[ 1 \right]\]\[\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + \left[ {1 + xy} \right] = \]\[0\].
Nhập hàm, thay các giá trị nguyên của y, kiểm tra nghiệm \[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\] dẫn đến chọn \[1 \le y \le 9\].
[Chú ý hàm số \[f\left[ t \right] – t\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right]\] nên \[\forall y \ge 10\], ta có:\[\,3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + \left[ {1 + xy} \right] \le 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + 10x} \right] + \left[ {1 + 10x} \right] < 0\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\].
Do đó loại \[y \ge 10\]].
Vậy \[y \in \left\{ { – 2; – 1;1;2;…;9} \right\}\] nên có \[11\] giá trị nguyên của \[y\] thỏa mãn đề.
=======