DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương \[y\] sao cho ứng với mỗi \[y\] luôn tồn tại nhưng không quá \[2021\] số nguyên dương \[x\] thỏa mãn \[\left[ {{{\log }_2}x + 3} \right]\left[ {{{\log }_2}x – y} \right] < 0\]?
A. \[8\].
B. \[11\].
C. \[6\].
D. \[10\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét \[\left[ {{{\log }_2}x + 3} \right]\left[ {{{\log }_2}x – y} \right] < 0\]. Do \[x \ge 1\] nên \[{\log _2}x + 3 > 0\].
Khi đó bpt \[ \Leftrightarrow {\log _2}x – y < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < {2^y}\].
Kết hợp điều kiện \[x \ge 1\] ta có\[1 \le x < {2^y}\].
Để ứng với mỗi số nguyên dương \[y\] luôn tồn tại nhưng không quá \[2021\] số nguyên dương \[x\] thì \[1 < {2^y} \le 2022\]\[ \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _2}2022 \approx 10,98\].
Kết hợp \[y\] nguyên dương ta có \[y \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10} \right\}\].
Vậy có \[10\] giá trị \[y\] thỏa mãn bài toán.
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương\[y\]để bất phương trình\[\left[ {{5^x} – x + 2021} \right]\left[ {{5^x} – y} \right] < 0\] có đúng 6nghiệm nguyên dương của \[x\]?
A. \[62499.\]
B. \[62500.\]
C. \[62503.\]
D. \[62505.\]
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {5^x} – x + 2021\] với \[x \ge 1\]
\[f’\left[ x \right] = {5^x}\ln 5 – 1 > 0\left[ {\forall x \ge 1} \right]\]. Hàmsố đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
Do đó \[\forall x \ge 1\]\[ \Rightarrow f\left[ x \right] \ge f\left[ 1 \right] = 5 – 1 + 2021 > 0\]
Khi đó bất phương trình:\[\left[ {{5^x} – x + 2021} \right]\left[ {{5^x} – y} \right] < 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x} – y < 0 \Leftrightarrow {5^x} < y \Leftrightarrow x < {\log _5}y\].
Để bất phương trình có đúng 6 nghiệm nguyên dương của \[x\]\[\left[ {x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}} \right]\]thì ta cần
\[\begin{array}{l}6 < {\log _5}y \le 7 \Leftrightarrow {5^6} < y \le {5^7} \Leftrightarrow 15625 < y \le 78125\left[ {y \in {\mathbb{Z}^ * }} \right]\\ \Rightarrow y \in \left\{ {15626;15627;…;78125} \right\}\end{array}\]
Vậy có \[78125 – 15626 + 1 = 62500\] số.
Giải chi tiết:
Đặt \[{\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c} = t\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\\dfrac{{5b - a}}{c} = {16^t}\end{array} \right.\]
[Vì \[a > 1 \Rightarrow {9^t} > 1 \Leftrightarrow t > 0\]].
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{5.12^t} - {9^t} = c{.16^t}\\ \Leftrightarrow {16^t}.c - {5.12^t} + {9^t} = 0\\ \Leftrightarrow c.{\left[ {\dfrac{4}{3}} \right]^{2t}} - 5.{\left[ {\dfrac{4}{3}} \right]^t} + 1 = 0\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Đặt \[x = {\left[ {\dfrac{4}{3}} \right]^t}\]. Vì \[t > 0 \Rightarrow x > 1\].
Khi đó phương trình [*] trở thành: \[c{x^2} - 5x + 1 = 0\,\,\,\,\left[ {2*} \right]\]
\[ \Rightarrow \] Để tồn tại hai số thực \[a > 1;\,\,b > 1\] thì phương trình [2*] có nghiệm lớn hơn \[x > 1\].
Ta có: \[\Delta = 25 - 4c\].
TH1: \[\Delta = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{{25}}{4}\], khi đó phương trình [2*] có nghiệm kép \[x = \dfrac{5}{{2c}}\].
\[ \Rightarrow x > 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{2c}} = \dfrac{2}{5} < 1\] [loại].
TH2: \[\Delta > 0 \Leftrightarrow c < \dfrac{{25}}{4}\], khi đó phương trình [2*] có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}\].
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{c}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{1}{c}\end{array} \right.\].
Để [2*] có 2 nghiệm \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 1\\{x_2} \le 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left[ {{x_1} - 1} \right]\left[ {{x_2} - 1} \right] \ge 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left[ {{x_1} + {x_2}} \right] + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{c} \le 2\\\dfrac{1}{c} - \dfrac{5}{c} + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\\dfrac{4}{c} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\c \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow c \ge 4\end{array}\]
Do đó để phương trình [2*] có nghiệm \[x > 1\] thì \[c < 4\].
Kết hợp điều kiện \[c < \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow c < 4\].
Mà \[c\] là số nguyên dương nên \[c \in \left\{ {1;2;3} \right\}\].
Vậy có tất cả 3 giá trị của \[c\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.