Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
d] \[-3x^2+4\sqrt 6 x+4=0\]
Nhắc lại: Phương trình \[ax^2+bx+c=0\] có \[b=2b’, \Delta’ =b’^2-ac\]
+] Nếu \[\Delta’0 \\ & \Rightarrow \sqrt{\Delta }=2 \\ \end{aligned} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{{x}_{1}}=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}=\dfrac{-\left[ -3 \right]+2}{5}=1;\\{{x}_{2}}=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}=\dfrac{-\left[ -3 \right]-2}{5}=\dfrac{1}{5} \]
d]
Ta có: \[ \left\{ \begin{aligned} & a=-3 \\ & b=4\sqrt{6} \\ & c=4 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-3 \\ & b'=2\sqrt{6} \\ & c=4 \\ \end{aligned} \right. \]
Suy ra
\[\begin{aligned} & \Delta '={{\left[ 2\sqrt{6} \right]}^{2}}-\left[ -3 \right].4=36>0 \\ & \Rightarrow \sqrt{\Delta '}=6 \\ \end{aligned} \]
Phương trình có hai nghiệm
\[{{x}_{1}}=\dfrac{-2\sqrt{6}+6}{-3}=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3};\\{{x}_{2}}=\dfrac{-2\sqrt{6}-6}{-3}=\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3} \]
Bài 17 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Xác định \[a, b', c\] rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a] \[4{x^2} + 4x + 1 = 0\]
b] \[13852{x^2} - 14x + 1 = 0\]
c] \[5{x^2} - 6x + 1 = 0\]
d] \[ - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\]
Lời giải:
a]
\[4{x^2} + 4x + 1 = 0\]
Ta có: \[a = 4,\ b' = 2,\ c = 1\]
Suy ra \[\Delta' = {2^2} - 4.1 = 0\]
Do đó phương trình có nghiệm kép:
\[{x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}\].
b]
\[13852{x^2} - 14x + 1 = 0\]
Ta có: \[a = 13852,\ b' = - 7,\ c = 1\]
Suy ra \[\Delta' = {[ - 7]^2} - 13852.1 = - 13803 < 0\]
Do đó phương trình vô nghiệm.
c]
\[5{x^2} - 6x + 1 = 0\]
Ta có: \[a = 5,\ b' = - 3,\ c = 1\]
Suy ra \[\Delta ' = {[ - 3]^2} - 5.1 = 4 > 0\].
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{3 + \sqrt 4}{5}=\dfrac{5}{5} = 1\]
\[{x_2} = \dfrac{3 - \sqrt 4}{5}=\dfrac{1}{5}.\]
d]
\[ - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\]
Ta có: \[a = - 3,\ b' = 2\sqrt 6 ,\ c = 4\]
Suy ra \[\Delta ' = {[2\sqrt 6 ]^2} - [ - 3].4 = 36 > 0\]
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{ - 2\sqrt 6 + 6}{ - 3} = \dfrac{2\sqrt 6 - 6}{3}\]
\[{x_2} = \dfrac{ - 2\sqrt 6 - 6}{ - 3} = \dfrac{2\sqrt {6 }+6 }{3}\]
Bài 18 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Đưa các phương trình sau về dạng \[ax^2 + 2b’x + c = 0\] và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai]:
a] \[3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\]
b] \[{[2x - \sqrt 2 ]^2} - 1 = [x + 1][x - 1]\]
c] \[3{x^2} + 3 = 2[x + 1]\]
d] \[0,5x[x + 1] = {[x - 1]^2}\]
Lời giải:
a]
\[3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\]
\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - {x^2} - 3=0\]
\[\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0\]
Suy ra \[a = 2,\ b' = - 1,\ c = - 3\]
\[\Rightarrow \Delta ' = {[ - 1]^2} - 2.[ - 3] = 7 > 0\].
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{1 + \sqrt 7 }{2} \approx 1,82\]
\[{x_2} = \dfrac{1 - \sqrt 7 }{2} \approx - 0,82\]
b]
\[{[2x - \sqrt 2 ]^2} - 1 = [x + 1][x - 1]\]
\[\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2- 1 = x^2 -1\]
\[\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2 - 1 - x^2 +1=0\]
\[\Leftrightarrow 3{x^2} - 4\sqrt 2 x + 2 = 0\]
Suy ra \[a = 3,\ b' = - 2\sqrt 2 ,\ c = 2\]
\[\Rightarrow \Delta ' = {[ - 2\sqrt 2 ]^2} - 3.2 = 2 > 0\]
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{2\sqrt 2 + \sqrt 2 }{3} = \sqrt 2 \approx 1,41\]
\[{x_2} = \dfrac{2\sqrt 2 - \sqrt 2 }{3} = \dfrac{\sqrt 2 }{3} \approx 0,47\]
c]
\[3{x^2} + 3 = 2[x + 1] \]
\[\Leftrightarrow 3{x^2} +3- 2x -2 = 0\]
\[\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x +1 = 0\]
Suy ra \[a = 3,\ b' = - 1,\ c = 1\]
\[\Rightarrow \Delta ' = {[ - 1]^2} - 3.1 = - 2 < 0\]
Do đó phương trình vô nghiệm.
d]
\[0,5x[x + 1] = {[x - 1]^2} \]
\[\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x = x^2-2x+1 \]
\[\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x -x^2+2x-1=0 \]
\[\Leftrightarrow -0,5 x^2 +2,5 x -1 = 0\]
\[\Leftrightarrow x^2 -5 x +2 = 0\]
Suy ra \[a = 1;\ b' = - 2,5;\ c = 2\]
\[\Rightarrow \Delta ' = {[ - 2,5]^2} - 1.2 = 4,25 > 0\]
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = 2,5 + \sqrt {4,25} \approx 4,56\]
\[{x_2} = 2,5 - \sqrt {4,25} \approx 0,44\]
Bài 19 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Đố em biết vì sao khi \[a > 0\] và phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] vô nghiệm thì\[a{x^2} + bx + c > 0\] với mọi giá trị của \[x \]?
Phương pháp:
+] Sử dụng phương trình vô nghiệm khi \[\Delta < 0\].
+] Biến đổi \[ax^2+bx+c=a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\] rồi đánh giá từng hạng tử.
Lời giải:
Khi \[a > 0\] và phương trình vô nghiệm thì \[\Delta = b{^2} - 4ac 0\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right] + c\\ = a\left[ {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right] - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left[ {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right]^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}\]
\[=a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}+ {\left[-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right]}\]
Vì \[a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2} \ge 0\] với mọi \[x \in R\], mọi \[a>0\].
Lại có \[-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\] [cmt]
Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó
\[a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}+ {\left[\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right]} >0\] với mọi \[x\].
Hay \[a{x^2} + bx + c >0\] với mọi \[x\].
Sachbaitap.com
Bài tiếp theo
Báo lỗi - Góp ý
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
Bài 17 [trang 49 SGK Toán 9 tập 2]
Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a] 4x2+ 4x + 1 = 0 ;
b] 13852x2– 14x + 1 = 0;
c] 5x2– 6x + 1 = 0;
d] -3x2+ 4√6.x + 4 = 0.
Lời giải
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 9
Video liên quan