Giả sử biến ngẫu nhiên $X$ có phân bố chuẩn nhưng ta chưa biết kỳ vọng $\Bbb E[X]=\mu$ của $X.$ Nếu có cơ sở để giả thiết rằng giá trị của nó bằng $\mu_0,$ ta đưa ra giả thuyết thống kê $H_0: \mu=\mu_0.$
Trường hợp $1$: Biết phương sai $\sigma^2$ hay biết độ lệch tiêu chuẩn $\sigma.$
Với mức ý nghĩa $\alpha$ cho trước, ta xây dựng miền bác bỏ phụ thuộc vào giả thuyết đối $H_1$ như sau:
Bài toán $1$: $H_0:
\mu=\mu_0;\;H_1: \mu\neq\mu_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=[-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty].$$ Bài toán $2$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu > \mu_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=[u_{\alpha}; +\infty].$$ Bài toán $2$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu < \mu_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=[-\infty; -u_{\alpha}].$$ Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{[\overline{x}-\mu_0]\sqrt{n}}{\sigma}.$$ Ta xét xem $u_{\text{qs}}$ có thuộc miền bác bỏ
$W_\alpha$ không để kết luận:
$\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$ thì ta bác bỏ $H_0$, thừa nhận $H_1.$
$\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha$ thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở để thừa nhận giả thuyết $H_1.$
Ví dụ 1: Trọng lượng sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn $2$ kg, trọng lượng trung bình theo quy định là $50$ kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng
lượng trung bình của sản phẩm, người ta cân thử $100$ sản phẩm và thu được kết quả sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Trọng lượng sản phẩm}\; & 49 & 50 & 51 & 52 & 53\\ \hline \text{Số sản phẩm tương ứng}\; & 10 & 60 & 20 & 5 & 5\\ \hline \end{array} Với mức ý nghĩa $\alpha=0,05$, hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên.
Lời giải:
Ta lập bảng \begin{array}{| c| c| c| }\hline x_i & r_i & r_ix_i\\ \hline \hline 49
& 10 & 490\\ \hline 50 & 60 & 3000\\ \hline 51 & 20 & 1020\\ \hline 52 & 5 & 260\\ \hline 53 & 5 & 265\\ \hline \sum & 100 & 5035\\ \hline \end{array} Do đó $\overline{x}=\displaystyle\frac{5035}{100}=50,35.$
Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=50;\;H_1: \mu\neq 50.$
Ta có $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{0,05}{2}=0,025.$ Tra bảng ta được $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned}
W_\alpha&=[-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty]\\ &=[-\infty; -1,96]\cup [1,96; +\infty]. \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát \begin{equation}\notag \begin{aligned} u_{\text{qs}}&=\displaystyle\frac{[\overline{x}-\mu_0]\sqrt{n}}{\sigma}\\ &=\displaystyle\frac{[50,35-50]\sqrt{100}}{2}\\ &=1,75. \end{aligned} \end{equation} Ta thấy $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha,$ vậy chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở thừa nhận
giả thuyết $H_1: \mu\neq 50.$ Vậy điều nghi ngờ là sai.
Trường hợp $2$: $n\geq 30,$ phương sai chưa biết
Trong trường hợp này thì miền bác bỏ $W_\alpha$ và quy tắc kiểm định y hệt như trường hợp $1$, chỉ khác ở chổ giá trị quan sát được tính theo công thức $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{[\overline{x}-\mu_0]\sqrt{n}}{s}.$$ Ví dụ 2: Lượng nước sạch [tính theo $m^3$] một gia đình $4$ người ở Hà Nội sử dụng trong $6$ tháng năm ngoái là $17m^3$. Theo dõi lượng nước sạch sử
dụng trong $6$ tháng năm nay của $60$ gia đình $4$ người thu được số liệu sau:
\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Lượng nước sạch}\; & 15-16 & 16-17 & 17-18 & 18-19 & 19-20\\ \hline \text{Số gia đình}\; & 7 & 15 & 21 & 12 & 5\\ \hline \end{array}
Giả sử lượng nước sạch tiêu thụ của các hộ gia đình là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.
a] Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng
trong $6$ tháng năm nay với độ tin cậy $95\%.$
b] Có ý kiến cho rằng lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên. Sử dụng bảng số liệu trên hãy kiểm định ý kiến đó với mức ý nghĩa $2,5\%.$
Lời giải:
Thực hiện phép đổi biến $u_i=\displaystyle\frac{x_i^0-17,5}{1}$ với $x_0=17,5$ và $h=1.$
Ta có bảng tính sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline x_i-x_{i+1} & x_i^0 & r_i & u_i & r_iu_i & r_iu_i^2\\ \hline \hline 15-16 & 15,5 & 7 & -2 & -14
& 28\\ \hline 16-17 & 16,5 & 15 & -1 & -15 & 15\\ \hline 17-18 & 17,5 & 21 & 0 & 0 & 0\\ \hline 18-19 & 18,5 & 12 & 1 & 12 & 12\\ \hline 19-20 & 19,5 & 5 & 2 & 10 & 20\\ \hline \hline \sum & & n=60 & & -7 & 75\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{u}&=\displaystyle\frac{-7}{60}=-0,12,\\ \overline{x}&=x_0+h\overline{u}=17,5+1\times [-0,12]=17,38,\\
s_u^2&=\displaystyle\frac{1}{59}\Big[75-\displaystyle\frac{[-7]^2}{60}\Big]=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s^2&=h^2s_u^2=1^2\times\displaystyle\frac{4451}{3540}=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s&=\sqrt{\displaystyle\frac{4451}{3540}}\approx 1,12. \end{aligned} \end{equation} Độ tin cậy $95\%,$ suy ra $1-\alpha=0,95$ hay $\alpha=0,05.$ Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025$. Do đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$
Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{1,12}{\sqrt{60}}\approx
0,28.$$ Khoảng tin cậy của lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng trong $6$ tháng năm nay \begin{equation}\notag \begin{aligned} [\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon]&=[17,38-0,28; 17,38+0,28]\\ &=[17,1; 17,66]. \end{aligned} \end{equation} b] Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=17;\;H_1: \mu>17.$
Ta có $\alpha=0,025$, do đó $u_\alpha=1,96.$
Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=[u_{\alpha}; +\infty]\\ &=[1,96; +\infty].
\end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{[\overline{x}-\mu_0]\sqrt{n}}{s}=\displaystyle\frac{[17,38-17]\sqrt{60}}{1,12}\approx 2,63.$$ Ta thấy $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$, vậy ta bác bỏ $H_0,$ thừa nhận $H_1.$ Vậy lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên.
Trường hợp $3$: $n\mu_0.$
Miền bác bỏ $$W_\alpha=[t_{\alpha}[n-1]; +\infty].$$ Bài toán $3$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu