Câu hỏi: Cách vẽ hình chiếu trong toán học như thế nào?
Trả lời:
Hình chiếulà hình biểu diễn một mặt nhìn thấy của vật thể đối với người quan sát đứng trước vật thể, phần khuất được thể hiện bằng nét đứt. Để hiểu về cách vẽ hình chiếu trong toán học cùng Top lời giải tìm hiểu bài học dưới đây để có cách vẽ phù hợp với từng trường hợp khác nhau nhé.
1. Các loại phép chiếu thường gặp
Có 3 loại phép chiếu là:
- Phép chiếu xuyên tâm: các tia chiếu xuất phát tại một điểm [tâm chiếu].
-Phép chiếu song song: các tia chiếu song song với nhau.
-Phép chiếu vuông góc: các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.
2. Định nghĩa góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳngαlà góc giữa d và a, trong đó a là hình chiếu vuông góc của d lênα.
Góc của đường thằng lên mặt phẳng
3. Định nghĩa hình chiếu vuông góc là gì?
Hình chiếu vuông góc trên một mặt phẳng là hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc bằng 90 độ.
Nếu AH vuông góc với mặt phẳng [Q] tại H thì điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng [Q].
Các loại hình chiếu vuông góc:
-Hình chiếu đứng nhìn từ mặt trước của mặt phẳng
-Hình chiếu cạnh nhìn từ bên trái hoặc bên phải vật thể
-Hình chiếu bằng nhìn từ trên xuống vật thể.
4. Định nghĩa phương pháp hình chiếu vuông góc
Phương pháp hình chiếu vuông góclà phương pháp biểu diễn các hình chiếu vuông góc trên cùng một mặt phẳng hình chiếu.
Đường thẳng không vuông góc với mặt phẳngTrong không gian cho mặt phẳng [α] và đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng [α]. Để tìm hình chiếu vuông góc của d lên [α] ta chọn 2 điểm A,B trên [α] rồi tìm hình chiếu K,H lần lượt của A,B lên [α]. Đường thẳng a trong [α] đi qua 2 điểm H,K chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng [α].
Đường thẳng song song với mặt phẳngTrường hợp d và [α] song song nhau, nếu gọi a là hình chiếu vuông góc của d trên [α] thì ta có d song song với a.
Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm
Trường hợp đặc biệt d cắt [α] tại M: Chọn trên d một điểm B khác M rồi tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của B lên [α]. Khi đó hình chiếu vuông góc của d lên [α] là đường thẳng a qua 2 điểm M và H.
5. Tam giác hình chiếu là gì?
Trong hình học, tam giác hình chiếu hay còn gọi là tam giác bàn đạp của một điểm P đối với tam giác cho trước có ba đỉnh là hình chiếu của P lên ba cạnh tam giác đó.
Xét tam giác ABC, một điểm P trên mặt phẳng không trùng với ba đỉnh A, B, C. Gọi các giao điểm của ba đường thẳng qua P kẻ vuông góc với điểm ba cạnh tam giác BC,CA,AB là L, M, N khi đó LMN là tam giác bàn đạp ứngvới điểm P của tam giác ABC. Ứng với mỗi điểm P ta có một tam giác bàn đạp khác nhau, một số ví dụ:
-Nếu P = trực tâm, khi đó LMN = Tam giác orthic.
-Nếu P = tâm nội tiếp, khi đó LMN = Tam giác tiếp xúc trong.
-Nếu P = tâm ngoại tiếp, khi đó LMN = Tam giác trung bình.
P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tam giác bàn đạp sẽ suy biến thành một đường thẳng.
Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì tam giác bàn đạp của nó suy biến thành đường thẳng Simson,đường thẳng này đặt tên theo nhà toán học Robert Simson.
6.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :
-Đoạn thẳng AH: gọi là đoạn vuông góc hayđường vuông góckẻ từ A đến đường thẳng d.
-Điểm H :gọi là chân của đường vuông góc hayhình chiếu của điểm Atrên đường thẳng d.
-Đoạn thẳng AB :gọi làđường xiênkẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
-Đoạn thẳng HB: gọi làhình chiếucủa đường xiên AB trên đường thẳng d.
Định lí 1 :
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
-Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
-Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
-Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Bài toán cạnh góc vuông và hình chiếu của nó
I. Hướng dẫn giải
– Vận dụng hệ thức: và
– Định lí Pi-ta-go: △ABC vuông ở A ⇔
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho tam giác vuông trong đó có cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Giải
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta được:
⇒ BC=10cm
Đồ dài hình chiếu BH của AB lên BC:
Ta có: suy ra
Độ dài hình chiếu CH của AC lên BC:
Ta có:
Bài 2.
Cho hai đoạn thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại O sao cho OA=OC và OB=OD. Gọi M là trung điểm của BC và Q là giao điểm của OM và AD.
b. Chứng minh rằng và
Giải
a. Ta chứng minh từ đó suy ra:
Ta có: △OBC vuông tại O, có OM là trung tuyến nên:
OM=MB [đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền]
⇒△OMB cân tại M
Bài 3.
Giải
Bài 4. Cho △ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh: AB.AD = AC.AE.
Giải
△ABC vuông tại A, có AH là đường cao nên AH⊥BC
Suy ra △AHB và △AHC vuông tại H
△AHB vuông tại H, có HD là đường cao nên: AB.AD= [1]
△AHC vuông tại H, có HE là đường cao nên: AC.AE= [2]
Từ [1] và [2] suy ra AB.AD=AC.AE [đpcm].
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3:4, cạnh huyền là 125cm. Độ dài các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền bằng:
| a. 40cm và 75cm | c. 45cm và 75cm |
| b. 40cm và 80cm | d. 45cm và 80cm |
Bài 2. Cho △ABC có AH là đường cao xuất phát từ A [H thuộc đoạn BC]. Nếu
| a. | b. |
| c. | d. |
Bài 3. △ABC vuông ở A có đường cao AH [H thuộc cạnh BC]. Hình chiếu của H lên AB là D, lên AC là E. Câu nào sau đây sai?
| a. AH = DE | b. AB.AD = AC.AE |
| c. AB.AE = AC.AD | d. |
Bài 4. △ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho:
| a. AM = AN | b. AM = 2AN |
| c. AM = 4AN | d. AN= 2AM |
Bài 5. △ABC vuông ở A, có đường cao AH. Biết AC = 10cm, CH = 8cm, khi đó:
| a. BH = 4,5cm; AB = 7,5cm | b. BH = 4,5cm; AB = 5,6cm |
| c. BH = 7,5cm; AB = 5,6cm | d. BH = 5,6cm; AB = 4,5cm |
Bài 6.
| a. 15cm và 27cm | b. 30cm và 15cm |
| c. 15cm và cm | d. 15cm và 90cm |
Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.