Tập nghiệm của phương trình log3(x + 3 log3(2x+1))

19/06/2021 911

Điều kiện 

Phương trình đã cho

Đáp án cần chọn là: A.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Tìm tập nghiệm S của phương trình log2x2-4x+3=log24x-4

Xem đáp án » 19/06/2021 2,685

Phương trình log43.2x-1=x-1 có hai nghiệm là x1;x2 thì tổng x1+x2 là:

Xem đáp án » 19/06/2021 989

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn log4a=log6b=log9a+b. Tính tỉ số ab

Xem đáp án » 19/06/2021 975

Giải phương trình log22x-1.log42x+1-2=1. Ta có nghiệm:

Xem đáp án » 19/06/2021 964

Tập hợp nghiệm của phương trình log3950+6x2=log3350+2x là:

Xem đáp án » 19/06/2021 288

Phương trình log2017x+log2016x=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Xem đáp án » 19/06/2021 252

Tìm tích các nghiệm của phương trình 2-1x+2+1x-22=0

Xem đáp án » 19/06/2021 249

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4x2-5.2x2+4=0

Xem đáp án » 19/06/2021 199

Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình log2x-logx64=1

Xem đáp án » 19/06/2021 184

Cho số thực x thỏa mãn 2=5log3x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 19/06/2021 159

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 53x-2=15-x2 bằng:

Xem đáp án » 19/06/2021 151

Phương trình log3x+1log3x=3 có số nghiệm hữu tỉ là:

Xem đáp án » 19/06/2021 138

Khi đặt 3x=t thì phương trình 9x+1-3x+1-30=0 trở thành

Xem đáp án » 19/06/2021 136

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?

Xem đáp án » 19/06/2021 125

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x-13.6x+9.4x=0

Xem đáp án » 19/06/2021 121

Vui lòng đảm bảo rằng mật khẩu của bạn có ít nhất 8 ký tự và chứa mỗi ký tự sau:

• số
• chữ cái
• ký tự đặc biệt: @$#!%*?&

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a [n thừa số a]

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và a-n=1an.

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

Lời giải:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

A= 23⁢.  8+[14]2⁢. 16+ 33.127A= 8.8+116⁢.16+  27.127

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a] Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b] Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n [n≥2]. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và b∈⁢R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn.

b] Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

an.bn=a⁢bnanbn=abn[an]m=amn

ann={a; khi n le|a|; khi n chan

akn=an⁢k

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a] 93.-33;

b]  [-5]44.

Lời giải:

a] 93.-33=9.[-3]3=-273=-3

b] [-5]44=|-5|=  5.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn; trong đó m∈⁢Z;n∈⁢N;n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:  ar=amn=amn.

Ví dụ.

 2713=273=  3932=93=  27 .

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là α và dãy số tương ứng [arn] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn].

– Ta gọi giới hạn của dãy số [arn] là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là aα.

aα=limn→+∞arnα=limn→+∞arn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α=1;[α ∈R].

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα⁢⁢ +β⁢aα⁢aβ=aα⁢⁢ -β

 

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1với⁢a>0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1=a5⁢⁢ + 2+  4-5a[3⁢⁢ -1].[3⁢ +1]=a6a2=a4.

Ví dụ. So sánh các số [23]3⁢ + 1 và [23]2.

Lời giải:

Ta có: 3+ 1> 2 và 0  0;∀x>  0.

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=  0;limx→ +∞xα=+∞

Tiệm cận: Không có

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị [với α > 0]

1. Tập khảo sát: [0;+∞]

2. Sự biến thiên

y'=α.xα⁢ -1  0

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=+∞;limx→+∞xα= 0

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang.

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.

3. Bảng biến thiên.

4. Đồ thị [với α < 0]

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm [1; 1].

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x-25.

Lời giải:
1. Tập xác định: D=[0;+∞]

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên y'=-25⁢x-75

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D=[0;+∞] nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: limx→0+y=+∞;limx→ +∞y=  0

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y=xα trên khoảng [0;+∞].

	α >  0
Đạo hàm	y'=α.xα⁢ -1	y'=α.xα-1
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục Ox; Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm [1; 1].

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ.

a] log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b]log[116]4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log[aα]a=α

Ví dụ.

4-2⁢log4⁡3=[4log4⁡3]-2=  3-2=19

log[127]3=log3[3-3]=-3

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga[b1.b]2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

log212+log213=log2[12.13]=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga[b1.b…2.bn]=logab1+logab+2….+logabn

[ a; b1; b2; ..; bn > 0;  a ≠ 1]

Page 2

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a [n thừa số a]

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và a-n=1an.

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

Lời giải:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

A= 23⁢.  8+[14]2⁢. 16+ 33.127A= 8.8+116⁢.16+  27.127

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a] Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b] Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n [n≥2]. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và b∈⁢R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn.

b] Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

an.bn=a⁢bnanbn=abn[an]m=amn

ann={a; khi n le|a|; khi n chan

akn=an⁢k

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a] 93.-33;

b]  [-5]44.

Lời giải:

a] 93.-33=9.[-3]3=-273=-3

b] [-5]44=|-5|=  5.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn; trong đó m∈⁢Z;n∈⁢N;n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:  ar=amn=amn.

Ví dụ.

 2713=273=  3932=93=  27 .

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là α và dãy số tương ứng [arn] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn].

– Ta gọi giới hạn của dãy số [arn] là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là aα.

aα=limn→+∞arnα=limn→+∞arn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α=1;[α ∈R].

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα⁢⁢ +β⁢aα⁢aβ=aα⁢⁢ -β

 

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1với⁢a>0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1=a5⁢⁢ + 2+  4-5a[3⁢⁢ -1].[3⁢ +1]=a6a2=a4.

Ví dụ. So sánh các số [23]3⁢ + 1 và [23]2.

Lời giải:

Ta có: 3+ 1> 2 và 0  0;∀x>  0.

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=  0;limx→ +∞xα=+∞

Tiệm cận: Không có

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị [với α > 0]

1. Tập khảo sát: [0;+∞]

2. Sự biến thiên

y'=α.xα⁢ -1  0

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=+∞;limx→+∞xα= 0

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang.

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.

3. Bảng biến thiên.

4. Đồ thị [với α < 0]

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm [1; 1].

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x-25.

Lời giải:
1. Tập xác định: D=[0;+∞]

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên y'=-25⁢x-75

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D=[0;+∞] nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: limx→0+y=+∞;limx→ +∞y=  0

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y=xα trên khoảng [0;+∞].

	α >  0
Đạo hàm	y'=α.xα⁢ -1	y'=α.xα-1
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục Ox; Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm [1; 1].

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ.

a] log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b]log[116]4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log[aα]a=α

Ví dụ.

4-2⁢log4⁡3=[4log4⁡3]-2=  3-2=19

log[127]3=log3[3-3]=-3

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga[b1.b]2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

log212+log213=log2[12.13]=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga[b1.b…2.bn]=logab1+logab+2….+logabn

[ a; b1; b2; ..; bn > 0;  a ≠ 1]

Page 3

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a [n thừa số a]

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và a-n=1an.

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

Lời giải:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

A= 23⁢.  8+[14]2⁢. 16+ 33.127A= 8.8+116⁢.16+  27.127

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a] Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b] Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n [n≥2]. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và b∈⁢R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn.

b] Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

an.bn=a⁢bnanbn=abn[an]m=amn

ann={a; khi n le|a|; khi n chan

akn=an⁢k

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a] 93.-33;

b]  [-5]44.

Lời giải:

a] 93.-33=9.[-3]3=-273=-3

b] [-5]44=|-5|=  5.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn; trong đó m∈⁢Z;n∈⁢N;n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:  ar=amn=amn.

Ví dụ.

 2713=273=  3932=93=  27 .

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là α và dãy số tương ứng [arn] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn].

– Ta gọi giới hạn của dãy số [arn] là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là aα.

aα=limn→+∞arnα=limn→+∞arn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α=1;[α ∈R].

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα⁢⁢ +β⁢aα⁢aβ=aα⁢⁢ -β

 

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1với⁢a>0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1=a5⁢⁢ + 2+  4-5a[3⁢⁢ -1].[3⁢ +1]=a6a2=a4.

Ví dụ. So sánh các số [23]3⁢ + 1 và [23]2.

Lời giải:

Ta có: 3+ 1> 2 và 0  0;∀x>  0.

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=  0;limx→ +∞xα=+∞

Tiệm cận: Không có

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị [với α > 0]

1. Tập khảo sát: [0;+∞]

2. Sự biến thiên

y'=α.xα⁢ -1  0

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=+∞;limx→+∞xα= 0

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang.

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.

3. Bảng biến thiên.

4. Đồ thị [với α < 0]

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm [1; 1].

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x-25.

Lời giải:
1. Tập xác định: D=[0;+∞]

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên y'=-25⁢x-75

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D=[0;+∞] nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: limx→0+y=+∞;limx→ +∞y=  0

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y=xα trên khoảng [0;+∞].

	α >  0
Đạo hàm	y'=α.xα⁢ -1	y'=α.xα-1
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục Ox; Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm [1; 1].

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ.

a] log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b]log[116]4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log[aα]a=α

Ví dụ.

4-2⁢log4⁡3=[4log4⁡3]-2=  3-2=19

log[127]3=log3[3-3]=-3

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga[b1.b]2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

log212+log213=log2[12.13]=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga[b1.b…2.bn]=logab1+logab+2….+logabn

[ a; b1; b2; ..; bn > 0;  a ≠ 1]

Page 4

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a [n thừa số a]

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và a-n=1an.

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

Lời giải:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

A= 23⁢.  8+[14]2⁢. 16+ 33.127A= 8.8+116⁢.16+  27.127

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a] Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b] Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n [n≥2]. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và b∈⁢R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn.

b] Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

an.bn=a⁢bnanbn=abn[an]m=amn

ann={a; khi n le|a|; khi n chan

akn=an⁢k

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a] 93.-33;

b]  [-5]44.

Lời giải:

a] 93.-33=9.[-3]3=-273=-3

b] [-5]44=|-5|=  5.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn; trong đó m∈⁢Z;n∈⁢N;n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:  ar=amn=amn.

Ví dụ.

 2713=273=  3932=93=  27 .

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là α và dãy số tương ứng [arn] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn].

– Ta gọi giới hạn của dãy số [arn] là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là aα.

aα=limn→+∞arnα=limn→+∞arn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α=1;[α ∈R].

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα⁢⁢ +β⁢aα⁢aβ=aα⁢⁢ -β

 

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1với⁢a>0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1=a5⁢⁢ + 2+  4-5a[3⁢⁢ -1].[3⁢ +1]=a6a2=a4.

Ví dụ. So sánh các số [23]3⁢ + 1 và [23]2.

Lời giải:

Ta có: 3+ 1> 2 và 0  0;∀x>  0.

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=  0;limx→ +∞xα=+∞

Tiệm cận: Không có

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị [với α > 0]

1. Tập khảo sát: [0;+∞]

2. Sự biến thiên

y'=α.xα⁢ -1  0

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=+∞;limx→+∞xα= 0

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang.

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.

3. Bảng biến thiên.

4. Đồ thị [với α < 0]

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm [1; 1].

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x-25.

Lời giải:
1. Tập xác định: D=[0;+∞]

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên y'=-25⁢x-75

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D=[0;+∞] nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: limx→0+y=+∞;limx→ +∞y=  0

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y=xα trên khoảng [0;+∞].

	α >  0
Đạo hàm	y'=α.xα⁢ -1	y'=α.xα-1
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục Ox; Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm [1; 1].

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ.

a] log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b]log[116]4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log[aα]a=α

Ví dụ.

4-2⁢log4⁡3=[4log4⁡3]-2=  3-2=19

log[127]3=log3[3-3]=-3

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga[b1.b]2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

log212+log213=log2[12.13]=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga[b1.b…2.bn]=logab1+logab+2….+logabn

[ a; b1; b2; ..; bn > 0;  a ≠ 1]

Page 5

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a [n thừa số a]

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và a-n=1an.

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

Lời giải:

A=[12]-3⁢.  8+ 4-2⁢.  24+[13]-3.127

A= 23⁢.  8+[14]2⁢. 16+ 33.127A= 8.8+116⁢.16+  27.127

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a] Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b] Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a] Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n [n≥2]. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và b∈⁢R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn.

b] Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

an.bn=a⁢bnanbn=abn[an]m=amn

ann={a; khi n le|a|; khi n chan

akn=an⁢k

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a] 93.-33;

b]  [-5]44.

Lời giải:

a] 93.-33=9.[-3]3=-273=-3

b] [-5]44=|-5|=  5.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn; trong đó m∈⁢Z;n∈⁢N;n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:  ar=amn=amn.

Ví dụ.

 2713=273=  3932=93=  27 .

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ [rn] có giới hạn là α và dãy số tương ứng [arn] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số [rn].

– Ta gọi giới hạn của dãy số [arn] là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là aα.

aα=limn→+∞arnα=limn→+∞arn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α=1;[α ∈R].

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα⁢⁢ +β⁢aα⁢aβ=aα⁢⁢ -β

 

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1với⁢a>0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A=a5⁢⁢ + 2.a4-5[a3⁢⁢ -1]3⁢⁢ +1=a5⁢⁢ + 2+  4-5a[3⁢⁢ -1].[3⁢ +1]=a6a2=a4.

Ví dụ. So sánh các số [23]3⁢ + 1 và [23]2.

Lời giải:

Ta có: 3+ 1> 2 và 0  0;∀x>  0.

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=  0;limx→ +∞xα=+∞

Tiệm cận: Không có

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị [với α > 0]

1. Tập khảo sát: [0;+∞]

2. Sự biến thiên

y'=α.xα⁢ -1  0

Giới hạn đặc biệt:

limx→0+xα=+∞;limx→+∞xα= 0

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang.

Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.

3. Bảng biến thiên.

4. Đồ thị [với α < 0]

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm [1; 1].

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x-25.

Lời giải:
1. Tập xác định: D=[0;+∞]

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên y'=-25⁢x-75

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D=[0;+∞] nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: limx→0+y=+∞;limx→ +∞y=  0

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y=xα trên khoảng [0;+∞].

	α >  0
Đạo hàm	y'=α.xα⁢ -1	y'=α.xα-1
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là trục Ox; Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm [1; 1].

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ.

a] log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b]log[116]4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log[aα]a=α

Ví dụ.

4-2⁢log4⁡3=[4log4⁡3]-2=  3-2=19

log[127]3=log3[3-3]=-3

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga[b1.b]2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

log212+log213=log2[12.13]=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga[b1.b…2.bn]=logab1+logab+2….+logabn

[ a; b1; b2; ..; bn > 0;  a ≠ 1]