Đề bài
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A[1; 0; 0], B[0; -2; 0], C[0; 0; 4] và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi dạng phương trình mặt cầu là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\].
- Thay tọa độ các điểm \[A,B,C,D\] vào phương trình, giải hệ tìm \[a,b,c,d\].
- Từ đó suy ra phương trình mặt cầu, tâm và bán kính.
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt cầu [S] cần tìm có dạng: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\].
Vì \[A \in [S]\] nên ta có: 1 2a + d =0 [1]
\[B \in [S]\] nên ta có: 4 + 4b + d = 0 [2]
\[C \in [S]\] nên ta có: 16 8c + d = 0 [3]
\[D \in [S]\] nên ta có: d = 0 [4]
Giải hệ 4 phương trình trên ta có: \[d = 0,a = \dfrac{1}{2},b = - 1,c = 2\].
Vậy mặt cầu [S] cần tìm có phương trình là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2y - 4z = 0\]
Phương trình mặt cầu [S] có thể viết dưới dạng:
\[{\left[ {x - \dfrac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} - \dfrac{1}{4} - 1 - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x - \dfrac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = \dfrac{{21}}{4}\]
Vậy mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right]\]và có bán kính \[r = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}\]