Đề bài - bài 4 trang 54 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng có chiều caohkhông đổi, đáy là tứ diệnABCD, trong đóA, B, C, Dthay đổi và \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} = - {h^2},\) vớiIlà giao điểm của hai đường chéo. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết

Vì \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} \) nênABCDlà tứ giác nội tiếp đường tròn .

Mặt khác, hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên hình lăng trụ đó có mặt cầu ngoại tiếp.

Kí hiệuO, Olần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đáyABCDvàABCDcủa hình lăng trụ và gọiJlà trung diểm củaOOthìJlà tâm mặt cầu phải tìm và bán kính của mặt cầu làJA.

Mặt khác \(J{A^2} = J{O^2} + A{O^2} = {{{h^2}} \over 4} + A{O^2}.\)

Từ đó, bán kính mặt cầu đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính đường tròn ngoại tiếp đáyABCDđạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({h^2} = - \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} = - \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} = A{O^2} - I{O^2}.\)

\( \Rightarrow A{O^2} = {h^2} + I{O^2}\)

Từ đó, \(A{O^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiIOnhỏ nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(O \equiv I,\) lúc đó \(A{O^2} = {h^2}\) và giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng \(J{A^2} = {{h\sqrt 5 } \over 2}.\)