Đề bài
Cho hình nón \[[N]\] sinh bởi tam giác đều cạnh \[a\] khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.
a] Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón \[[N]\] thì có bán kính bằng bao nhiêu?
b] Một khối cầu có thể tích của khối nón \[[N]\] thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Hình nón \[[N]\] có bán kính đáy \[r = BH = {1 \over 2}a\], chiều cao \[h = AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]và đường sinh \[l = AB = a\].
Diện tích toàn phần
\[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = {3 \over 4}\pi {a^2}\]
Thể tích \[V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3}\]
a] Nếu mặt cầu có bán kính \[R\] thì diện tích bằng \[4\pi {R^2}\]nên \[4\pi {R^2} = {3 \over 4}\pi {a^2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\]
b] Nếu khối cầu có bán kính \[R\] thì thể tích bằng \[{4 \over 3}\pi {R^3}\]nên \[{4 \over 3}\pi {R^3} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3} \Rightarrow R = {{\root 6 \of {12} } \over 4}a\]