Đề bài
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng ?
[A] \[{[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \];
[B] \[{[\sin \alpha - \cos \alpha ]^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \];
[C] \[{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \];
[D] \[{\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = 1\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]^2}\\
= {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\
= \left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right] + 2\sin \alpha \cos \alpha \\
= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\]
nên A đúng.
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\sin \alpha - \cos \alpha } \right]^2}\\
= {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\
= \left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right] - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
= 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\]
nên B đúng.
\[\begin{array}{l}
{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha \\
= \left[ {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right]\left[ {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right]\\
= \left[ {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right].1\\
= {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha
\end{array}\]
nên C đúng.
\[{\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha \]
\[= {[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ]^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \]
\[= 1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha. \]
nên D sai.
Chọn [D].