Đề bài
Cho biểu thức
\[Q = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left[ {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right]:\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\] với \[a > b > 0\]
a] Rút gọn Q
b] Xác định giá trị của Q khi \[a = 3b\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Vận dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn và tính các phép tính để rút gọn biểu thức.
b] Thay \[a = 3b\] vào biểu thức vừa rút gọn rồi tính giá trị của Q.
Lời giải chi tiết
a] Ta biến đổi Q như sau :
\[Q = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left[ {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right]:\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left[ {\dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} + a}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right] \times \dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\]
\[ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{\left[ {\sqrt {{a^2} - {b^2}} + a} \right]\left[ {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right]}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {{\left[ {\sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right]}^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {a^2} + {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[= \dfrac{{ab - {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[= \dfrac{{b\left[ {a - b} \right]}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
b] Thay \[a = 3b\] vào biểu thức rút gọn của Q, ta có :
\[Q = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]
\[ = \dfrac{{3b - b}}{{\sqrt {{{\left[ {3b} \right]}^2} - {b^2}} }}\] \[ = \dfrac{{2b}}{{\sqrt {8{b^2}} }} = \dfrac{{2b\sqrt {8{b^2}} }}{{\left| {8{b^2}} \right|}}\] \[ = \dfrac{{2b.2\sqrt 2 b}}{{8{b^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
Vậy giá trị của Q khi \[a = 3b\] là \[Q = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\] .
Chú ý khi giải :
Có thể rút gọn Q về dạng
\[\dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\]\[ = \dfrac{{\sqrt {a - b} \sqrt {a - b} }}{{\sqrt {\left[ {a - b} \right]\left[ {a + b} \right]} }} \]\[= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}\]