Đề bài
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, AB = a3, BAD = 120o. Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng [ADD'A'] là 30o. Gọi M là trung điểm A'D', N là trung điểm BB'. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng [C'MA]
Lời giải chi tiết
Nhận xét:
Do tam giác ABD là tam giác đều nên CM AD
[C'A'D'] [AA'D'D] & [C'A'D'] [AA'D'D] CM [AADD]
Nên [AC',[AA'D'D]] = [C'AM] = 30o.
Gọi K là trung điểm của DD, ta có AKCN là hình bình hành nên K với N đối xứng nhau qua trung điểm O của AC. Mà O [AMC], do đó
d[N,[C'MA]] = d[K,[C'MA]]
+ Xác định khoảng cách từ K đến [CMA].
Do [CMA] vuông góc với [AADD] theo giao tuyến AM nên kẻ KH AM, ta có KH [CMA] hay d[K,[C'MA]] = KH.
+ Tính KH.
Ta có: SAMK= SAA'D'D [SAA'M+ SMD'K+ SADK] [1]
Trong tam giác AMC, ta có: AM = CM.cot30o= [3a3]/2.
Trong tam giác AAM, ta có: AA = [AM2- A'M2] = a6.