Đề bài - bài 66 trang 146 sbt toán 7 tập 1
|
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc \(B, C\) cắt nhau ở \(I\) và cắt \(AC, AB\) theo thứ tự ở \(D, E.\) Chứng minh rằng \(ID = IE.\) Đề bài Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc \(B, C\) cắt nhau ở \(I\) và cắt \(AC, AB\) theo thứ tự ở \(D, E.\) Chứng minh rằng \(ID = IE.\) Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác của góc \(BIC\). Phương pháp giải - Xem chi tiết - Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. - Định lí tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\). Lời giải chi tiết Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(ABC\), ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\) \(= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) \(\displaystyle\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\)) \(\displaystyle \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì \(CE\) là phân giác góc \(C\)) Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào\(BIC\), ta có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\) \(\Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\) \(\displaystyle = 180^\circ - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) \) \(\displaystyle = 180^\circ - {{\widehat B+\widehat C} \over 2} \) \(\displaystyle = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) Kẻ tia phân giác \(IK\) của \(\widehat {BIC}\)cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = {1 \over 2}.120^o= 60^\circ \) Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \)(hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ \)\(\,= 60^\circ \) \(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \)(vì hai góc đối đỉnh) Xét \(BIE\) và \(BIK\) có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\)) \(BI\) cạnh chung \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \) \( \Rightarrow BIE = BIK\) (g.c.g) \( \RightarrowIE = IK \) (hai cạnh tương ứng) (1) Xét \( CIK\) và \(CID\) có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)(\(CE\) là phân giác góc \(C\)) \(CI\) cạnh chung \(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \) \( \RightarrowCIK = CID\) (g.c.g) \( \Rightarrow IK = ID\) (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(IE = ID.\)
|
