Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} - mx + m - 2 = 0\] [m là tham số]
a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b] Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \[\dfrac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a]Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \[\Delta \left[ {\Delta '} \right] > 0,\forall m\]
b] Biến đổi \[\dfrac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\]về đẳng thức có chứa \[{x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\] sau đó thay hệ thức Viet \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\] vào ta tìm được m
Lời giải chi tiết
Cho phương trình \[{x^2} - mx + m - 2 = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\] [m là tham số]
a] Xét
\[\Delta = {\left[ { - m} \right]^2} - 4\left[ {m - 2} \right]\]\[\, = {m^2} - 4m + 8 = {m^2} - 2.2.m + 4 + 4 \]\[\,= {\left[ {m - 2} \right]^2} + 4 > 0,\forall m\]
Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b] Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\] nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình [1] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\]
Nếu \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow \left[ 1 \right] \Leftrightarrow 1 - m + m - 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow - 1 = 0\left[ {ktm} \right] \Rightarrow {x_1} \ne 1;{x_2} \ne 1\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ {{x_1}^2 - 2} \right].\left[ {{x_2}^2 - 2} \right] = 4\left[ {{x_1} - 1} \right].\left[ {{x_2} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow {x_1}^2.{x_2}^2 - 2{x_1}^2 - 2{x_2}^2 + 4 = 4\left[ {{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2\left[ {x_1^2 + x_2^2} \right] + 4 - 4{x_1}{x_2} + 4\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 4{x_1}{x_2} + 4\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} + 4{x_1}{x_2} - 4{x_1}{x_2} + 4\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} + 4\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {m - 2} \right]^2} - 2.{m^2} + 4.m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 2{m^2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 4\\ \Leftrightarrow m = \pm 2\end{array}\]
Vậy \[m = 2\] hoặc \[m = -2\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.