Phân phối chuẩn đa biến được định nghĩa trong scipy.stats là. V=Nd[mean=m, cov=Sigma], trong đó $m=[m[0,], m[1], \ldots m[d-1]]^T$ là vectơ của phương tiện và $\
Đối với các đối tượng trong ảnh được mô hình hóa bằng Gaussian 2D, chúng ta thường muốn các thuộc tính như tâm của đốm màu, chiều rộng và góc. Đối với hình elip thiên văn, chiều rộng không phải là giá trị cho $\sigma$ theo x và y, mà là Toàn bộ chiều rộng ở mức tối đa một nửa [FWHM] Trong tài liệu khoảnh khắc, chúng được gọi là $HW$. Góc của hình elip được đo ngược chiều kim đồng hồ đối với trục +x. Hình elip thiên văn xác định một góc vị trí là góc giữa trục chính của hình elip và trục +y
Chúng tôi rút ra các giá trị áp dụng cho các thuộc tính toán học của hình elip vì chúng quen thuộc và cũng có thể dễ dàng chuyển đổi thành các thuộc tính cho hình elip trong định nghĩa thiên văn
Theo tài liệu khoảnh khắc
\begin{equation}M_0=\sum_j \sum_i I_{j,i}\end{equation}\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac1{M_0}\sum_j \sum_i x_i I_{j,
Và trong khoảnh khắc thứ hai, chúng tôi sử dụng các biểu thức. \begin{eqnarray*} M_{xx}&=&\frac1{M_0}\sum_j\sum_ix_i^2I_{j,i}-\bar{x}^2\\ M_{yy}&=&\frac1{M_0 . \end{eqnarray*}
Các hằng số $a$, $b$ và $c$ được tính sau đó với. \begin{equation} a=\frac{M_{yy}}{2[M_{xx}M_{yy}-M_{xy}^2]}\quad b=\frac{M_{xx}}{2[
Điều kiện để $a$, $b$ và $c$ biểu thị hình elip là $\boxed{ab-c^2 > 0}$ và $a>0$ và $b>0$
Ước tính biên độ A Tổng của tất cả các giá trị pixel, cần thiết để chia tỷ lệ thời điểm thứ nhất và thứ hai và để ước tính biên độ của Gaussian
\begin{equation} \boxed{A = M_0 \sqrt{ab - c^2}} \end{equation}Lưu ý rằng ước tính này phải được nhân với diện tích $dx. dy$ của một phần tử lưới dành cho $[N_x, N_y]$ pixel và giới hạn lưới $x_{min}, y_{min}$ và $x_{max}, y_{max}$ bằng
\begin{equation} dx dy = [x_{max}-x_{min}]/N_x. [y_{max}-y_{min}]/N_y \end{equation}Ước tính tọa độ tâm $[x_0, y_0]$. Các tọa độ lưới của vị trí của đỉnh được cho bởi
\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac1{M_0}\sum_j \sum_i x_i I_{j,i}\\ \bar{y}&=&\frac1{M_0}\sum_j \sum_i y_jƯớc tính góc quay $\theta$. Góc xoay xác định góc giữa góc chính của hình elip và trục +x, được đo ngược chiều kim đồng hồ
\begin{equation} \boxed{\tan 2\theta = \frac{2c}{a-b}} \end{equation}Ước tính trục chính và trục phụ Với $p = \sqrt{[a-b]^2 + 4c^2}$ [và yêu cầu $p>0$], ước tính cho trục chính và phụ là
Phân phối Gaussian [hoặc phân phối chuẩn] là một trong những phân phối xác suất cơ bản nhất trong tự nhiên. Từ sự xuất hiện của nó trong cuộc sống hàng ngày đến các ứng dụng của nó trong các kỹ thuật học tập thống kê, đây là một trong những khám phá toán học sâu sắc nhất từng được thực hiện. Bài viết này sẽ hướng tới phân phối nhiều chiều và hiểu trực quan về phân phối chuẩn hai biến
Lợi ích của việc che phủ phân phối hai biến là chúng ta có thể nhìn và hiểu bằng cách sử dụng các biểu đồ hình học thích hợp. Hơn nữa, các khái niệm tương tự đã học được thông qua phân phối hai chiều có thể được mở rộng cho bất kỳ số thứ nguyên nào. Trước tiên, chúng ta sẽ trình bày ngắn gọn các khía cạnh lý thuyết của phân phối và thực hiện phân tích toàn diện về các khía cạnh khác nhau của nó, như ma trận hiệp phương sai và hàm mật độ trong Python
Hàm mật độ xác suất [hoặc hàm mật độ hoặc PDF] của phân phối Gaussian Bivariate
Hàm mật độ mô tả khả năng xảy ra tương đối của một biến ngẫu nhiên
Ở đâu
Chức năng chính được sử dụng trong bài viết này là scipy. số liệu thống kê. hàm multivariate_normal từ tiện ích scipy cho a biến ngẫu nhiên thông thường nhiều biến .
cú pháp. scipy. số liệu thống kê. multivariate_normal[mean=None, cov=1]
Thông số không tùy chọn
- bần tiện. Một mảng Numpy chỉ định giá trị trung bình của phân phối
- cov. Một mảng Numpy xác định một ma trận hiệp phương sai xác định dương
- hạt giống. Một hạt giống ngẫu nhiên để tạo ra các kết quả có thể lặp lại
trả lại. Một đối tượng biến ngẫu nhiên bình thường đa biến scipy. số liệu thống kê. _đa biến. đối tượng multivariate_normal_gen. Một số phương thức của đối tượng được trả về hữu ích cho bài viết này như sau
- pdf[x]. Trả về giá trị hàm mật độ tại giá trị 'x'
- rvs[kích thước]. Vẽ số lượng mẫu 'kích thước' từ phân phối Gaussian đa biến được tạo
Một cái nhìn “trực quan” về ma trận hiệp phương sai
Ma trận hiệp phương sai có lẽ là một trong những thành phần linh hoạt nhất của phân phối Gaussian hai biến. Mỗi phần tử của ma trận hiệp phương sai xác định hiệp phương sai giữa mỗi cặp biến ngẫu nhiên tiếp theo. Hiệp phương sai giữa hai biến ngẫu nhiên
Các giá trị ở đường chéo bên phải thể hiện hiệp phương sai chung giữa hai thành phần của các biến ngẫu nhiên tương ứng. Nếu giá trị là +ve, điều đó có nghĩa là có hiệp phương sai dương giữa hai biến ngẫu nhiên, nghĩa là nếu chúng ta đi theo hướng mà
Dưới đây là việc thực hiện ma trận hiệp phương sai
Trong các đoạn mã sau, chúng tôi sẽ tạo 3 phân phối Gaussian bivariate khác nhau với cùng một giá trị trung bình
- Ma trận hiệp phương sai với -ve hiệp phương sai =
- Ma trận hiệp phương sai với 0 hiệp phương sai =
- Ma trận hiệp phương sai với +ve hiệp phương sai =
con trăn
# Importing the necessary modules
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.statsimport multivariate_normal
# Importing the necessary modules0____20____21
import2______23import4import5import6import7import8
import9
numpy as np0import5numpy as np2
numpy as np3
numpy as np4
numpy as np5import5 numpy as np7_______38numpy as np9import7import1import7numpy as np9import4
import5
import6
import7_______25 import9____21import7import1matplotlib.pyplot as plt3
matplotlib.pyplot as plt4
matplotlib.pyplot as plt5
matplotlib.pyplot as plt6 matplotlib.pyplot as plt7____58 matplotlib.pyplot as plt9from0
from1from2from3import7from5from6from7from3import1
from1
from1scipy.stats2
from1scipy.stats4import5 scipy.stats6from3scipy.stats8from3import0
from1
from1import3
from1import5
from1import7import5 import9import5 multivariate_normal1import5 multivariate_normal3
multivariate_normal4multivariate_normal5import5 multivariate_normal7
from1
from1# Importing the necessary modules00
from1# Importing the necessary modules02
________ 61# Importing the necessary modules04import5 ________ 106import5 _______ 108import1
from1
from1import02
from1import04import1import06from3import08import09import10import5import12import7
import14import15import5 import17import7
import14import20import5 import22import1
from1import25import26import1
from1import29____230import1
from1import33import34import1
from1import37import38import1
from1
import41
đầu ra
Các mẫu được tạo cho các ma trận hiệp phương sai khác nhau
Chúng tôi có thể thấy rằng đầu ra của mã đã đáp ứng thành công các bằng chứng lý thuyết của chúng tôi. Lưu ý rằng giá trị 0. 8 được thực hiện chỉ vì mục đích thuận tiện. Người đọc có thể thử nghiệm với các cường độ hiệp phương sai khác nhau và mong đợi kết quả nhất quán
Chế độ xem 3D của hàm mật độ xác suất
Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang một trong những khía cạnh đặc trưng và thú vị nhất của phân bố Gaussian hai biến, hàm mật độ. Hàm mật độ chịu trách nhiệm cho hình dạng chuông đặc trưng của phân phối
con trăn
# Importing the necessary modules
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.statsimport multivariate_normal
# Importing the necessary modules0____20____21
import2______23import4import5import6import7import8
import61import5 import63
import9
numpy as np0import5numpy as np2
numpy as np3
numpy as np4
numpy as np5import5 numpy as np7_______38numpy as np9import7import1import7numpy as np9import4
import80
import81
import7_______25 import9____21import7import1matplotlib.pyplot as plt3
import89
import90
import91import5 import93
import94
matplotlib.pyplot as plt6 matplotlib.pyplot as plt7____58 matplotlib.pyplot as plt9from0
from1
from1scipy.stats2
from1scipy.stats4import5 scipy.stats6from3scipy.stats8from3import0
from1
from1import3
from1import5
from1import7import5 import9import5 multivariate_normal1import5 multivariate_normal3
multivariate_normal4multivariate_normal5import5 multivariate_normal7
from1
from1numpy as np30
from1numpy as np32
from1numpy as np34import5 numpy as np36import1numpy as np38from3import4
from1numpy as np42import5 numpy as np44import1import7import1numpy as np48from3import7from3import4
from1
from1numpy as np55import5 numpy as np57numpy as np8from5numpy as np60numpy as np61from5numpy as np60numpy as np64import5numpy as np66import1
from1numpy as np69import5 numpy as np57numpy as np8from5numpy as np60numpy as np75from5numpy as np60numpy as np78import5numpy as np66import1
from1____383____25 numpy as np85
from1
from1numpy as np88
from1numpy as np90
from1____392____25 numpy as np94
from1matplotlib.pyplot as plt6 numpy as np97_______58 numpy as np99import00import1import02
import03matplotlib.pyplot as plt6 import05matplotlib.pyplot as plt8 numpy as np99import00from3import02
import11import12import5 import14
from1
from1import17
from1import19import5 import21from7import23
from1import25 import5 ________ 227import5 ________ 229import1
from1import32import5 import34import1
from1import29____238import1
from1import33import42import1
from1import25import26import1
from1import49
from1import51
import52
import41
import54
matplotlib.pyplot as plt6 matplotlib.pyplot as plt7____58 matplotlib.pyplot as plt9import59
from1from2from3import7from5from6from7from3import1
from1import70____25import34import1
from1import29____238import1
from1import33import42import1
from1import25import84import1
import52
import41
đầu ra
1] Đồ thị của hàm mật độ
Các hàm mật độ tương ứng với các ma trận hiệp phương sai khác nhau
2] Vẽ đường nét
Đường viền của các hàm mật độ
Như chúng ta có thể thấy, các đường viền của hàm mật độ hoàn toàn khớp với các mẫu mà chúng ta đã vẽ trong phần trước. Lưu ý rằng ranh giới 3 sigma [kết thúc từ 68-95-99. 7] đảm bảo phạm vi bao phủ mẫu tối đa cho phân phối đã xác định. Như đã đề cập trước đó, người đọc có thể chơi xung quanh với các ranh giới khác nhau và mong đợi kết quả nhất quán
Phần kết luận
Chúng tôi đã hiểu những điểm phức tạp khác nhau đằng sau phân phối hai biến Gaussian thông qua một loạt các sơ đồ và xác minh kết quả lý thuyết với những phát hiện thực tế bằng Python. Người đọc được khuyến khích chơi xung quanh với các đoạn mã để có được trực giác sâu sắc hơn nhiều về phân phối kỳ diệu này