Giải bài tập toán 9 bài hệ thức vi ét năm 2024

Với cách giải Hệ thức Vi-ét và ứng dụng môn Toán lớp 9 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng. Mời các bạn đón xem:

Các dạng bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng và cách giải bài tập - Toán lớp 9

1. Lí thuyết

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu x1,x2 là nghiệm của phương trình thì ta có:

S=x1+x2=−baP=x1.x2=ca

- Ứng dụng của hệ thức Vi – ét:

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2=ca

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm kia là x2=−ca

+) Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2−SX+P=0

2. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Phương pháp giải:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: S=x1+x2=−baP=x1.x2=ca

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài (dùng hằng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức,…) để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tính giá trị của biểu thức theo (x1+x2) và (x1.x2)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+5x−6=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức x12+x22.

Lời giải:

Xét phương trình x2+5x−6=0 có a = 1, b = 5, c = -6

Có a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có:

x1+x2=−ba=−51=−5x1.x2=ca=−61=−6

Mặt khác, ta có:

x12+x22

\=x12+2x1x2+x22−2x1x2

\=x12+2x1x2+x22−2x1x2

\=x1+x22−2x1x2

\=−52−2.(−6)

\= 37

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+7x−4=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức 1x1+1x2.

Lời giải:

Xét phương trình x2+7x−4=0 có a = 1, b = 7, c = -4

Do a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có:

x1+x2=−ba=−71=−7x1.x2=ca=−41=−4

Mặt khác, ta có:

1x1+1x2

\=x2x1x2+x1x1x2

\=x2+x1x1x2

\=−7−4=74

Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

- Tính biệt thức: Δ=b2- 4ac hoặc Δ'=b'2- ac (với b = 2b’) để tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: S=x1+x2=−baP=x1.x2=ca

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tìm ra điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+5mx−4=0. Tìm m để x1,x2 là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: x12+x22+6x1x2=9.

Lời giải:

Xét phương trình x2+5mx−4=0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ=(5m)2−4.1.(−4)=25m2+16>0

Mà m2≥0 với mọi m nên Δ=25m2+16>0 với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m. Gọi hai nghiệm của phương trình là x1,x2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−5m1=−5mx1.x2=−41=−4

Mặt khác, ta có:

x12+x22+6x1x2=9

⇔x12+2x1x2+x22+4x1x2=9

⇔x1+x22+4x1x2=9

⇔−5m2+4.(−4)=9

⇔25m2−16=9

⇔25m2=25

⇔m2=1

⇔m=±1

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x12+x22+6x1x2=9.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2−2(m−1)x−3−m=0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x12+x22≥10

Lời giải:

Xét phương trình x2−2(m−1)x−3−m=0 (*)

Ta có:

Δ=−2(m−1)2−4.1.(−3−m)=4(m2−2m+1)+12+4m

\=4m2−8m+4+12+4m=4m2−4m+16

\=4m2−4m+1+15=(2m−1)2+15

Ta có: (2m−1)2≥0 với mọi m

⇒Δ=(2m−1)2+15>0 với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1,x2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−−2(m−1)1=2m−2x1.x2=−3−m1=−3−m

Mặt khác, ta có:

x12+x22≥10

⇔x12+2x1x2+x22−2x1x2≥10

⇔x1+x22−2x1x2≥10

⇔2m−22−2(−3−m)≥10

⇔4m2−8m+4+6+2m≥10

⇔4m2−6m≥0

⇔2m(2m−3)≥0

⇔m≥02m−3≥0m≤02m−3≤0⇔m≥0m≥32m≤0m≤32⇔m≥32m≤0

Vậy khi m≥32 hoặc m≤0 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x12+x22≥10

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Phương pháp giải:

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1,x2 là Δ≥0

- Áp dụng hệ thức Vi-ét S=x1+x2=−baP=x1.x2=ca

- Biến đổi biểu thức kết quả sao cho không còn chứa tham số.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x2−2(m−1)x+m−3=0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình x2−2(m−1)x+m−3=0 (*)

Ta có:

Δ'=−(m−1)2−1.(m−3)

\=m2−2m+1−m+3=m2−3m+4

\=m2−2.32.m+94−94+4=m−322+74

Mà m−322 ≥ 0 với mọi m nên Δ'=m−322+74 > 0 với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−−2(m−1)1=2m−2x1.x2=m−31=m−3

⇒x1+x2=−−2(m−1)1=2m−22x1.x2=m−31=2m−6

Từ hệ trên, ta dễ thấy: x1+x2 - 2x1.x2 = 2m – 2 – (2m - 6) = 4 không phụ thuộc vào m

Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là x1+x2 - 2x1.x2 = 4

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2(m+1)x+2m=0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình x2+2(m+1)x+2m=0 ta có:

Δ'=(m+1)2−2m=m2+2m+1−2m=m2+1

Mà m2≥0 với mọi m nên Δ'=m2+1 > 0 với mọi m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−2(m+1)1=−2m−2x1.x2=2m1=2m

Từ hệ trên, dễ thấy: x1+x2 + x1.x2 = - 2m - 2 + 2m = -2 không phụ thuộc vào m

Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là: x1+x2 + x1.x2 = -2

Dạng 4: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm

Phương pháp giải:

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2=ca

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm kia là x2=−ca

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình:

1. x2+9x−10=0

2. x2+8x+7=0

Lời giải:

a)

Xét phương trình x2+9x−10=0 có: a = 1, b = 9, c = -10

Ta có: a + b + c = 1 + 9 – 10 = 0

Do đó, phương trình x2+9x−10=0 có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2=ca=−101=−10

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -10}

Xét phương trình x2+8x+7=0 có: a = 1, b = 8, c = 7

Ta có: a – b + c = 1 – 8 + 7 = 0

Do đó, phương trình x2+8x+7=0 có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm kia là x2=−ca=−71=−7

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; -7}

Ví dụ 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình: x2−2(m+4)x+2m+7=0.

Lời giải:

Xét phương trình x2−2(m+4)x+2m+7=0 có:

a = 1, b = -2(m+4), c = 2m + 7

Ta có: a + b + c = 1 – 2(m + 4) + 2m + 7 = 1 – 2m – 8 + 2m + 7 = 0

Do đó, phương trình x2−2(m+4)x+2m+7=0 có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là x2=2m+71=2m+7

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2m + 7} với m là tham số

Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2−SX+P=0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2−6x+5=0

Xét phương trình x2−6x+5=0 có a = 1, b = -6, c = 5

Dễ thấy: a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm là x1=1 và x2=51=5

Vậy hai số cần tìm là 1 và 5

Ví dụ 2: Cho hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2−17x+180=0