Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m
I. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2
Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tínhΔvà dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0với hệ sốacó chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.
Bài toán: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0
Chúng ta xét 2 trường hợp chính:
1.Nếua=0thì phương trìnhax2+bx+c=0trở thành bx+c=0
Đây chính là dạng phương trình bậc nhấtax+b=0đã biết cách giải. Để giải và biện luận phương trìnhax+b=0, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất
- Trường hợp 2.Nếua=0thì phương trình đã cho trở thành0x+b=0, lúc này:
+ Nếub=0thì phương trình đã cho có tập nghiệm làR;
+ Nếub≠0thì phương trình đã cho vô nghiệm.
2.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: ∆ = b2 -4ac
Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng củaΔ:
Δ 0.
b. 12x2+ 2[m + 3]x + m ≤ 0.
Lời giải:
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1:Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:
⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x1hoặc x > x2.
Kết luận:
Cách 2:Biến đổi bất phương trình về dạng: [x + 1]2> 1 - 6m.
Khi đó:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là tậpR\{-1}.
b. Với f[x] = 12x2+ 2[m + 3]x + m, ta có a = 12 và Δ' = [m - 3]2≥ 0.
Khi đó, ta xét hai trường hợp:
Xét hai khả năng sau:
- Khả năng 1: Nếu x1< x2⇔ m < 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
- Khả năng 2: Nếu x1> x2⇔ m > 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
Bài toán 2. Giải và biện luận bất phương trình: [m - 1]x2- 2[m + 1]x + 3[m - 2] > 0. [1]
Lời giải
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0⇔ m = 1, khi đó: [1]⇔ – 4x - 3 > 0⇔ x < - 3/4.
Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0⇔ m ≠ 1.
Ta có: a = m – 1, Δ’ = [m + 1]2- 3[m – 2][m – 1] = -2m2+ 11m – 5.
Bảng xét dấu:
Kết luận:
+ Với m ≤ 1/2, thì [1] vô nghiệm.
+ Với 1/2 < m < 1, nghiệm của [1] là x2≤ x ≤ x1.
+ Với 1 < m < 5, nghiệm của [1] là x < x1hoặc x > x2.
+ Với m > 5, thì [1] đúng với∀x∈R.
08:30:4408/04/2022
Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.
A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]
Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn [tức b = 2b'] ta có thể tính biệt thức Δ' để giải biện luận phương trình.
Δ' = b'2 - ac
Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m
Xét các trường hợp của hệ số a:
+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.
+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính biệt thức delta [hoặc Δ']
- Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số
- Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:
x2 - 2[3m - 1]x + 9m2 - 6m - 8 = 0 [*]
* Lời giải:
Để ý phương trình [*] có các hệ số: a = 1; b = 2[3m - 1] và c = 9m2 - 6m - 8
Vì vậy ta tính biệt số Δ', ta có:
Δ' = b'2 - ac = [3m - 1]2 - 1.[9m2 - 6m - 8]
= 9m2 - 6m + 1 - 9m2 + 6m + 8
= 9 > 0
Suy ra:
Nên sao có 2 nghiệm phân biệt:
→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt [*] luông có 2 nghiệm phân biệt.
* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:
3x2 - mx + m2 = 0
* Lời giải:
Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m2
Tính biệt thức delta:
Δ = b2 - 4ac = [-m]2 - 4.3.m2 = m2 - 12m2 = -11m2 ≤ 0 [với mọi m]
+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m2 = 0 ⇔ m = 0
Phương trình [*] có nghiệm kép: x1 = x2 = 0
+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m2 < 0 ⇔ m ≠ 0
Phươn trình [*] vô nghiệm.
→ Kết luận: Với m = 0 pt [*] có nghiệm kép x = 0
Với m ≠ 0 pt [*] vô nghiệm
* Bài tập 3: Cho phương trình mx2 - 2[m - 1]x + [m + 1] = 0 [*] với m là tham số.
a] Giải phương trình với m = -2.
b] Tìm m để phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt.
c] Tìm m để phương trình [*] có 1 nghiệm.
* Lời giải:
a] Với m = -2, pt [*] trở thành: -2x2 - 2[-2 - 1]x + [-2 + 1] = 0
⇔ -2x2 + 6x - 1 = 0
⇔ 2x2 - 6x + 1 = 0
Tính biệt số delta [các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé]:
Δ = b2 - 4ac = [-6]2 - 4[2.1] = 36 - 8 = 28 > 0
Suy ra
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt khi:
Δ' = b'2 - ac = [m - 1]2 - m[m + 1]
= m2 - 2m + 1 - m2 - m
= -3m + 1
Δ' > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m