3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: [1]
Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. [Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé]
Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với [1]. Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Ta có: . Thế vào phương trình [1] ta có:
.
[Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v[x]].
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: [2]
Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: [*]
Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình [*] ta sẽ có:
Hay: [2′]
Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:
Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với [2′]:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] có dạng:
Ta có: Thế vào pt [2′] ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:
[4]
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt [4] cho . Ta có:
[4′]
Khi đó, ta đặt: . Ta có:
Thế vào phương trình [4′] ta có:
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!
Ví dụ: Giải phương trình: [1]
Ta viết lại phương trình:
Đây là phương trình Bernoulli với
Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với ta có: [*]
Ta đặt . Thế vào [*] ta có:
[**] [phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x].
– Giải pt thuần nhất liên kết với [**] ta được:
– Nghiệm tổng quát của pt[**] có dạng: .
Thế vào [**] ta tìm được:
Vậy nghiệm tổng quát của pt [**] là:
Từ đó, nghiệm tổng quát của [1] là:
5. Phương trình Ricatti:
Là phương trình vi phân có dạng:
Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử thì bằng cách biến đổi: ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.
Khi đó:
Thế vào pt ta có:
[*]
Do là 1 nghiệm của phương trình nên từ [*] ta có:
[**]
Rõ ràng [**] chính là phương trình Bernulli với z là hàm theo biến số x.