1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\a'x + b'y = c'\,\,\,[2]\end{array} \right.$
Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số
- Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung $[{x_0},\,{y_0}]$thì$[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'.\]
Trường hợp 1. \[d \cap d' = A\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\];
Trường hợp 2. \[d//d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. \[d \equiv d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}};\]
Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\];
Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\]
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\]
- Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\]
- Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\]
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp:
Cặp số \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'\] trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 [hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng]
03/09/2021 91
A. Hai hệ phương trình đó có cùng một nghiệm
B. Hai hệ phương trình đó có cùng một tập nghiệm
Đáp án chính xác
C. Hai hệ phương trình đó có cùng điều kiện xác định
D. Hệ hai phương trình có cùng số lượng nghiệm
27/08/2021 814
A. Có cùng dạng phương trình
C. Có cùng tập hợp nghiệm
Đáp án chính xác
TOÁN LỚP 9 Giải bài và ôn tập Đại Số 9 LỚP 9
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| 1. Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm, nghĩa là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
2. Một số phép biến đổi tương đương :
|
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 3: Cho hệ hai phương trình :
[I] x-y=m và x – y = 1
[II] mx + 3y = 9 và x + y = 1
a] Với m =3, chứng tỏ rằng hai hệ phương trình tương đương với nhau;
b] Với m =7, chứng tỏ rằng hai hệ phương trình không tương đương với nhau.
Giải:
a] Với m = 3, ta có hai hệ phương trình :
x-y=3
va [
DT
Hệ phương trình [1], vô nghiệm [1]
–x + 3
Hệ phương trình [II], được viết lại như sau :
y=-x+1
Hai đường thẳng
V
và y=-x+1 có hệ số góc khác nhau
[-+-1] nên chúng cắt nhau tại một điểm, do đó hệ phương trình [II] có nghiệm duy nhất [2].
Từ [1] và [2] suy ra hai hệ phương trình [I] và [II] không có cùng tập nghiệm, vì thế chúng không tương đương với nhau.Ví dụ 4: Cho hệ phương trình { [3x – y = 3 và x+y=1]
Tìm ba hệ phương trình tương đương với hệ phương trình đã cho nhờ ba phép biến đổi tương đương.
Giải :
– Có thể thay phương trình x +y=1 bởi phương trình tương đương với nó bằng cách nhân hai vế của phương trình với 2, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho :
[3x – y = 3 [3x – y = 3
1x+y=1 ” 12x +2y = 2 –
Có thể cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được phương trình 4x = 4, rồi kết hợp phương trình này với phương trình 3x – y= 3, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho :
[3x – y = 3 m [4x = 4
[x + y = 1 [3x – y = 3 –
Có thể từ phương trình thứ hai của hệ phương trình đã cho, ta suy ra x =1-y, thay biểu thức này vào phương trình thứ nhất để được phương trình 3[2-y]-y= 3, rồi kết hợp phương trình này với phương trình x+y=1, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho :
[3x – y = 3 [3[1-y]-y=3 1x +y=
1 1x + y =1
II. BÀI TẬP
12. Không tìm nghiệm của hệ phương trình, hãy giải thích sự tương đương của các hệ phương trình sau:
Lax+y=3 [3x+2y=18
[4x – 3y=7
[4x – 3y = 7
Sao
[0,75x – 3, 2y = 10 [0,75x – 3,2y =10 °] 1×13 -y V2 = 473 – 13x-yV6 =12
13. Không tìm nghiệm của hệ phương trình, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau tương đương với nhau :
[3x – 4y=-7 [3x – 4y =-7
13x + 4y =7 16x = 0]
b] {4x-2y = 4 x=y+1
và
2
1x + 5y = 17,5
5,5y = 16,5
14. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai ?
a] Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm là hai hệ phương trình tương đương với nhau.
b] Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vô số nghiệm là hai hệ
tương đương với nhau.
15. Đưa mỗi phương trình trong hệ về dạng y = ax + b rồi giải thích vì sao :
[5x+4y = 6
a] Hệ phương trình :
13, 5x +2,8y= 4.2 có vô số nghiệm.
57x – 4y = 3 b
] Hệ phương trình : vô nghiệm.
114x -8y = 5
16. Trong các trường hợp sau, hai hệ phương trình nào tương đương với nhau ? Không tương đương với nhau ?
x+y=2 S2x — y =1 “? [3x +3y=-6 1-4x+2y = 2
[x+y = 3 [x = 3 [x+y=-3 2x + 3y = 1
và
và
và
[2x+3y=1
x + y = 3 7-x-1,5y=-0,5 ly=2
17. Cho hai hệ phương trình: [x-2y=1 3mx + 2ny = 10
a] Bằng phương pháp đồ thị, hãy tìm nghiệm của hệ phương trình [I];
b] Tìm các giá trị của m, n để hai hệ phương trình [I] và [II] tương đương với nhau.
và
[II] mx +ny =6
[4x +5y =17
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
12.
a] Hai hệ phương trình tương đương vì đã thay phương trình thứ nhất
bởi phương trình tương đương với nó bằng cách nhân hai vế của phương trình với 6. b] Hai hệ phương trình tương đương vì đã thay phương trình thứ hai bởi phương trình tương đương với nó bằng cách nhân hai vế củaphương trình với 43.
13. a] Hai hệ phương trình tương đương vì đã cộng theo từng vế hai
phương trình của hệ được phương trình 6x =0 rồi kết hợp phương trình này với phương trình thứ nhất để được phương trình mới.
b] Hai phương trình tương đương vì đã biểu diễn x qua y từ phương trình thứ nhất được x=y+1 rồi thế vào phương trình thứ hai được
[
X=-y +1 5,5y = 16,5 và được hệ phương trình
5,5y = 16,5.
14. a] Đúng, vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm thì có cùng tập nghiệm S=0.
, y=2x +1 , y=-2x-1 HA.
b] Sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình !
Jy = 2x +1 y=-2x-1 có vô số nghiệm.
Nhưng tập nghiệm của hệ phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y= 2x +1, còn tập nghiệm của hệ phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng y=-2x -1.
Hai đường thẳng này khác nhau nên hai hệ phương trình đang xét không tương đương với nhau.
và
15. a]
–x+1,5
Hai đồ thị trùng nhau. Hệ phương trình có vô số -=x+1,5 nghiệm.
Hai đồ thị song song với nhau. Hệ phương trình vô nghiệm.
–
8
và
16.
a] Hai hệ phương trình đã cho được viết lại như sau :
sx + y =2 2x-y=1
[x+y=-2 [2x – y=-1
Hai hệ phương trình đều vô nghiệm nên chúng tương đương với nhau.
b] Hai hệ phương trình không tương đương. Vì hệ phương trình thứ nhất có vô số nghiệm, còn hệ phương trình thứ hai chỉ có một nghiệm duy nhất, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ phương trình này khác nhau.
c] Tương tự câu b] hai hệ phương trình không tương đương.
17. a] Học sinh tự vẽ hình.
Hai đường thẳng x – 2y =1 và 4x +y=17 cắt nhau tại điểm M[3 ; 1]. Suy ra nghiệm của hệ phương trình [1] là x =3; y =1.
b] Để hệ phương trình [II] tương đương với hệ phương trình [I] thì x = 3, y=1 phải là nghiệm của phương trình [II], ta có :
[3m+n=6 19m+2n = 10
Ci
m
=
Bằng phương pháp đồ thị ta tìm được nghiệm của hệ này là m=n=8.
Trả lời :
với m = , n = 8 thì hai hệ phương trình tương đương với nhau.