Hướng dẫn giải bài toán đạo hàm riêng

CẦN THƠTRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN -oOo- LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ Giáo viên hướng dẫn: SVTH: Văn Lộc Chơn Dương Thị Xuân An MSSV: 1060002 Lớp: SP.Toán K32 Cần Thơ, 04/201004/2010 - 1 -

• 2. tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm đã tạo điều kiện để tôi được làm luận văn tốt nghiệp, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ Bộ Môn Toán, đặc biệt là cô Dương Thị Xuân An đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong thời gian làm luận văn. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! - 2 -
• 3. ĐẦU ....................................................................................................................4U 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................4 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................................4 3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................................4 4. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................................4 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................5 6. Cấu trúc luận văn........................................................................................................5 PHẦN NỘI DUNG.................................................................................................................6 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.............................................................................6 1.1 Chuỗi Fourier............................................................................................................6 1.2 Phép biến đổi Fourier..............................................................................................12 1.3 Phép biến đổi Laplace.............................................................................................16 1.4 Bài toán Sturm – Liouville. Hàm đặc biệt ..............................................................18 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ..................................................................................................30 2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier)......................................................30 2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier...............................................................42 2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace..............................................................43 2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson....................................................46 2.5 Phương pháp D’Alembert.......................................................................................52 CHƯƠNG III: BÀI TẬP...................................................................................................57 3.1. Dùng phương pháp tách biến để giải các bài toán.................................................57 3.2. Dùng phương pháp phép biến đổi Fourier để giải các bài toán.............................74 3.3. Dùng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán ..................................................80 3.4. Dùng công thức tích phân Poisson để giải các bài toán.........................................86 3.5. Dùng phương pháp D’Alembert để giải các bài toán ............................................91 PHẦN KẾT LUẬN...............................................................................................................98 - 3 -
• 4. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành quan trọng và rất phát triển trong toán học. Lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng được phát triển đầu tiên bởi nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Leonard Euler và Joseph-Louis Lagrange, những người đã nghiên cứu về phương trình sóng trên sợi dây; Daniel Bernoulli và Euler, những người đã xem xét về lý thuyết thế vị. Sau đó, nó được phát triển bởi Adrien-Marie Legendre và Pierre-Simon Laplace cũng như nhà toán học nổi tiếng Joseph Fourier từ việc khai triển thành chuỗi cho nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Phương trình đạo hàm riêng cũng là một môn học khá thú vị đối với tôi. Trong quá trình học, tôi đặc biệt chú ý tới các bài toán biên trị. Nhưng nhìn chung, các sách lý thuyết thường ít đề cập đến các phương pháp giải các loại bài toán này hoặc chỉ đề cập trong một khía cạnh nào đó. Chính vì thế, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị” nhằm tập trung chủ yếu vào một số phương pháp giải bài toán biên giúp người đọc dễ dàng tham khảo hơn. 2. Mục đích nghiên cứu Trọng tâm của luận văn là đi vào nghiên cứu “Một số phương pháp giải bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị”. Ở đây, tôi không có tham vọng trình bày đầy đủ tất cả các phương pháp giải, do thời gian nghiên cứu còn hạn chế, mà chỉ quan tâm đến một số phương pháp thường dùng trong việc giải bài toán biên. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là các phương pháp giải bài toán biên trị được đưa ra trong đề tài. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý thuyết có liên quan. Sắp xếp hệ thống lý thuyết theo trình tự. Lựa chọn đưa ra một số ví dụ ứng với từng phương pháp giải cụ thể. - 4 -
• 5. và sắp xếp theo hệ thống. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách và tham khảo tài liệu. Phương pháp toán học. Phương pháp phân tích. Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Cấu trúc luận văn PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.3 Phép biến đổi Laplace 1.4 Bài toán Sturm-Liouville. Hàm đặc biệt CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ 2.1 Phương pháp tách biến 2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier 2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace 2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson 2.5 Phương pháp D’Alembert CHƯƠNG III: BÀI TẬP PHẦN KẾT LUẬN - 5 -
• 6. I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Chuỗi hàm có dạng 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx ∞ = + +∑ ( )xπ π− ≤ ≤ (1.1) trong đó là các hằng số, được gọi là chuỗi lượng giác.0 , , , 1,2,...n na a b n = Các hàm số , cùng với số hạng tổng quát là các hàm tuần hoàn với chu kỳ sin nx nn nx osc nx ( ) cos sin nu x a nx b= + 2 , 1,2,.n n .. π = liên tục và khả vi mọi cấp. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng của nó là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π . Vấn đề đặt ra là ta có thể khai triển hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π thành chuỗi lượng giác (1.1) hay không? Và giả sử hàm số f(x), tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển được thành chuỗi lượng giác (1.1) 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx x ∞ = = + +∑ )( π π− ≤ ≤ (1.2) thì các hệ số được xác định như thế nào? Các hệ số này có tính được theo f(x) hay không? 0 , , , 1,2,...n na a b n = Trước hết, bằng cách tính trực tiếp, chúng ta thấy rằng sin os 0,nxdx c nxdx π π π π− − = =∫ ∫ sin os 0,mxc nxdx π π− =∫ 0, sin sin , m n mx nxdx m n π π π− ≠⎧ =⎨ =⎩ ∫ - 6 -
• 7. mxc nxdx m n π π π− ≠⎧ =⎨ =⎩ ∫ Từ đó, nếu chuỗi lượng giác (1.1) hội tụ đều đến hàm số f(x) trên đoạn [ , ]π π− thì các hệ số được tính bởi công thức sau 0 1 ( ) , 1 ( )cos , 1 ( )sin . n n a f x dx a f x nx b f x nx π π π π π π π π π − − − = = = ∫ ∫ ∫ dx dx n = 1,2,… (1.3) Thật vậy, từ (1.2), ta tích phân hai vế từng số hạng từ π π− → thì 0 ( ) .2 2 a f x dx π π π − =∫ Suy ra 0 1 ( )a f x π ππ − = ∫ dx Để tính ta nhân cosnx vào hai vế của (1.2) rồi lấy tích phân từng số hạng từ , 1,2,...na n = π π− → . Khi đó ( )cos .nf x nxdx a π π π − =∫ Suy ra 1 ( )cos .na f x nx π ππ − = ∫ dx Tương tự, nhân vào hai vế của (1.2) với sinnx rồi lấy tích phân từng số hạng từ π π− → , ta được 1 ( )sin , 1,2,...nb f x nxdx n π ππ − = =∫ Trên đây, ta đã giả sử hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier và luôn lấy tích phân được chuỗi ở vế phải theo từng số hạng. Tuy vậy, chúng ta cũng nhận thấy rằng chỉ cần f(x) khả tích trên đoạn [ ],π π− thì có thể tính được các hệ số ở (1.3). Vì vậy, ta cũng có chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x). Định nghĩa 1.2 Cho f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π . Chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số 0 , , , 1,2,...n na a b n = được tính bởi công thức (1.3) được gọi là - 7 -
• 8. ứng của hàm f(x) trên đoạn [ ],π π− . Các hệ số được gọi là hệ số Fourier của hàm f(x).0 , , , 1,2,..n na a b n = . Như vậy, mọi hàm f(x) khả tích trên đoạn [ ],π π− đều có chuỗi Fourier tương ứng của nó và ta kí hiệu 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a x a nx b ∞ = ∼ + +∑f nx x( )π− π≤ ≤ 1.1.2 Điều kiện đủ để chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ Như đã biết, mọi hàm f(x) khả tích trên đoạn [ ],π π− đều có chuỗi Fourier tương ứng. Tuy nhiên, chuỗi Fourier thu được trong trường hợp này có thể không hội tụ và nếu chuỗi hội tụ thì chưa chắc tổng của chuỗi là f(x). Ta có kết quả cơ bản sau đây (không chứng minh)1 : Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [ ],π π− thì chuỗi Fourier của nó hội tụ từng điểm trên đoạn này và tổng của chuỗi bằng f(x) nếu f(x) liên tục tại ( ),x π π∈ − , bằng ( ) ( ) 2 f x f x+ − + nếu f(x) gián đoạn (loại 1) tại ( ),x π π∈ − và bằng ( ) 2 f f ( )π π− ++ − tại x π= ± . Ví dụ Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định bởi f(x) = x, ( )xπ π− ≤ ≤ thì chuỗi Fourier tương ứng của f(x) là 1 1 2 ( 1) sinn n nx n ∞ + = −∑ ( )xπ π− ≤ ≤ Thật vậy, theo (1.3) các hệ số của chuỗi là 2 0 1 1 1 . .0 2 x a xdx π π π ππ π π− = = = = −∫ 0 1 cos 0na x nxdx π ππ − = =∫ 1 Người đọc có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham khảo [1] - 8 -
• 9. x nxdx x nxdx π π ππ π− = =∫ ∫ 0 2 1 cos cos 0 x nx nxdx n n π π π ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 2 2 cos sin 0 n n n n x π π π = − + 12 2 ( 1) ( 1) .n n n n + = − − = − Bởi vì hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ],π π− nên chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ về x tại mọi điểm, tức là chúng ta có 1 1 2 ( 1) sinn n x nx n ∞ + = = −∑ ( )xπ π− ≤ ≤ 1.1.3 Khai triển Fourier trên đoạn [ ]0,π Để tìm khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ ]0,π , ta có thể thác triển f(x) thành hàm F(x) trên đoạn [ ],π π− sao cho trên đoạn [ ]0,π thì ( ) ( )f x F x≡ . Sau đó, ta tìm khai triển Fourier của hàm số F(x) trên đoạn [ ],π π− . Khi đó, khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ ]0,π chính là khai triển Fourier của hàm F(x) trên đoạn [ ]0,π . Thông thường, chúng ta thác triển theo hai cách: (i) Thác triển f(x) thành hàm số chẵn F(x) [ ] [ ] ( ), 0, ( ) ( ), ,0 f x x F x f x x π π ⎧ ∈⎪ = ⎨ − ∈ −⎪⎩ (ii) Thác triển f(x) thành hàm số lẻ F(x) [ ] [ ] ( ), 0, ( ) ( ), ,0 f x x F x f x x π π ⎧ ∈⎪ = ⎨ − − ∈ −⎪⎩ - 9 -
• 10. Fourier hàm có chu kỳ 2l Cho hàm số f(x) có chu kỳ 2l , l > 0. Giả sử chúng ta cần tìm chuỗi Fourier tương ứng của F(x) trên đoạn . Ta sẽ dùng phép biến đổi[ ,l l− ] x t l π = và xét hàm số ( ) ( ) . tl F t f x f π ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta có ( 2 ) ( 2 ) 2 ( l lt lt )F t f t f l fπ π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F t hay F(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π . Vậy khai triển Fourier của hàm F(x) trên đoạn [ ],π π− là 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a F t a nt b nt ( )t ∞ = ∼ + +∑ π π− ≤ ≤ với các hệ số được cho bởi 0 1 1 ( ) ( ) l l a F t dt f x l π ππ − − = =∫ ∫ dx 1 1 ( )cos ( ) os l n l n x a F t ntdt f x c l l π π π π − − = =∫ ∫ dx (1.4) 1 1 ( )sin ( )sin l n l n x b F t ntdt f x l l π π π π − − = =∫ ∫ dx , n = 1,2,… Từ đó, ta được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ ],l l− là 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a n x n x f x a b l l π π∞ = ⎛ ⎞ ∼ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ( )l x l− ≤ ≤ với các hệ số được tính bởi (1.4). 1.1.5 Chuỗi Fourier sin và cosin Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm số liên tục từng đoạn xác định trên (0, )L . Chuỗi Fourier cosin của f trên (0, )L là 0 1 ( ) os 2 n n a n f x a c L xπ∞ = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ - 10 -
• 11. ⎟ ⎝ ⎠ 2 ( ) os L n x a f x c dx π⎛ ⎞ = ∫ n = 0,1,2,… ỗi Fourier sin của f trên (0, )LChu được định nghĩa b iở 1 ( ) sinn n n x f x b L π∞ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ Ở đây 0 2 ( )sin L n n x b f x L L π⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ dx n = 1,2,… .1.6.1 hàm số 1.1.6 Một số ví dụ Ví dụ 1 . Cho ( )f x xπ= − , 0 x π≤ ≤ . Hãy tìm chuỗi Fourier sin của ( )f x trên 0 x π≤ ≤ bằng cách áp dụng công thhàm số ức trong 1.1.5 a cóT 0 0 2 2 ( )sin ( )sinnb f x nxdx x nxdx n π π π π π = = −∫ ∫ 2 = o đóD 1 1 ( ) 2 sin n f x nx i 0 n ∞ = = ∑ vớ x π≤ ≤ ( 0x ≠ ). Vậy 1 2 sin 1n x nxπ ∞ − = ∑ , vớ n= i 0 x π≤ ≤ . ủa hàm số [ ]1,1− .2 ( )f x xVí dụ 1.1.6.2. Tìm khai triển Fourier c = trên đoạn 0, 1,2,...nb n= =Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên Ta có 1 1 2 0 1 0 2 ( ) 2 3 a f x dx x dx − = = =∫ ∫ 1 1 2 2 2 1 n 0 4 ( )cos 2 cos ( 1)n a f x n xdx x n xdx n π π π− ∫ ∫= = = − ậy khai triển Fourier cần tìm làV 2 2 2 1 1 4 ( 1) cos 3 n n x n x n π π ∞ = − = + ∑ , với 1 1x− ≤ ≤ . - 11 -
• 12. đổi Fourier Một hàm f(x) liên tục, tuần hoàn chu kỳ π2 có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier 1 ( cos sin 1 ( ) 2 o n n n a nx b nf x a ∞ = += + ∑ )x (1.5) 1 ( )cos , 0,1,2,... 1 ( )sin , 0,1,2,... n n a f x nxdx n b f x nxdx n π π π π π π − − = = = = ∫ ∫ (1.6) Chúng ta có thể nhìn các phương trình (1.5), (1.6) dưới các quan điểm như sau: Với mỗi f(x) chúng ta cho tương ứng một tập các số thực { , n=0,1,2…bởi ánh xạ F , }n na b { }( ) ,n nf x a⎯⎯→F b F được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn của hàm f(x). Từ (1.5) ta lại thấy rằng { },n na b f x − ⎯⎯→ 1 F ( ), F-1 gọi là phép biến đổi Fourier đảo hữu hạn. Cặp công thức (1.5), (1.6) được gọi là công thức Fourier thuận nghịch. Nếu biết f(x) thì từ (1.6) ta được và ta gọi là biến đổi Fourier hữu hạn của f(x). Ngược lại, nếu có { thì từ (1.5) ta được f(x) và gọi là biến đổi Fourier đảo của { , }. { , }n na b , }n na b n na b Áp dụng công thức Euler: inx inx inx inx 1 cos ( ) 2 1 sin ( ) 2 nx e e nx e e i − − − = + = ta có (1.5) được viết lại: inx ( ) n n f x C e ∞ − =−∞ = ∑ (1.7) Với inx1 ( ) 2 nC f x e π ππ − = ∫ dx (1.8) - 12 -
• 13. tốt thì: inx inx inx1 1 '( ) ( ) ( ) 2 2 f x e dx f x e in f x e dx π π π ππ π− − π π ⎧ ⎫⎪ ⎪ = −⎨ ⎬ −⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ Giả sử ( ) ( )f fπ π= − Khi đó inx inx1 1 '( ) ( ) 2 2 nf x e dx in f x e dx inC π π π ππ π− − = − = −∫ ∫ Vế bên trái là phép biến đổi Fourier hữu hạn của '( )f x , vế bên phải là phép biến đổi Fourier hữu hạn của f(x) nhân với hệ số -in. Áp dụng công thức (1.7), ta được: inx '( ) n n f x inC e ∞ − =−∞ = −∑ (1.9) Như vậy đạo hàm theo x của f(x) có được bằng cách nhân hệ số Fourier của f(x) với –in. Tương tự nếu '( ) '( )f fπ π= − thì 2 i ''( ) n n nx f x n C e ∞ − =−∞ = −∑ Bây giờ, giả sử chúng ta có một hàm f(x) không tuần hoàn được định nghĩa ở trên khoảng –L < x < L. Đặt x’=(π /L)x thì trong khoảng ( ),L L− chúng ta có thể biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi Fourier như sau: inx' ( ') n n L f x C e π ∞ − =−∞ = ∑ Với inx'1 ( ') 2 n L C f x e π ππ π− = ∫ 'dx Trở về biến x: (1.10) in( /L)x ( ) ( )n n f x C L e π ∞ − =−∞ = ∑ ( ) in( /L)x1 ( ) 2 L L n L C f x e L π − = ∫ dx (1.11) - 13 -
• 14. là cặp biến đổi Fourier thuận nghịch trên ( ),L L− . Nếu f(x) được xác định trên ( ),−∞ +∞ thì ta sẽ tìm cách biến đổi cặp công thức thuận nghịch (1.10), (1.11) bằng cách cho ta sẽ được một cặp Fourier thuận nghịch ở trên khoảng vô hạn L → ∞ ( ),−∞ +∞ . Chúng ta nhận xét rằng dãy n L π⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , n=0,1,2…càng ngày càng dày đặc trên đường thẳng thực khi . Điều này cho phép ta thay ở trong (1.10) và (1.11)L → ∞ ( / )n Lπ ω→ ∈ℜ liên tục. Với ω cố định, cho . Từ (1.11)L → ∞ ( ) lim2 ( ) ( )L i n L x LC f f x eω ω ∞∧ →∞ −∞ = = ∫ dx Đặt F [ f ] ≡ ( ) ( ) i x f f x e dxω ω ∞∧ −∞ = ∫ (1.12) là biến đổi Fourier của f. Thay vì có hàm xác định với mỗi trị giá của số nguyên n bây giờ ta có( )L nC ( )f ω ∧ xác đinh với mỗi trị giá ω thực. Điều kiện cho biểu thức tích phân (1.12) tồn tại là ( )f x dx ∞ −∞ < ∞∫ Giả sử f khá tốt 2 2 1 1 2 1 '( ) ( ) ( ) L L i x i x i x L L L f x e dx f x e i f x e dx L ω ω ω= −∫ ∫ ω )1 (L → −∞ và và giả sử khi2L → ∞ ( ) 0f x → x → ∞ '( ) ( ) ( )i x i x f x e dx i f x e dx i fω ω ω ω ω ∞ ∞ ∧ −∞ −∞ = − = −∫ ∫ hay F [ 'f ]= iω− F [ f ] Tương tự nếu ta có khi'( ) 0f x → x → ∞ thì F [ ''f ]= 2 ω− F [ f ] - 14 -
• 15. tương tự như phép biến đổi Fourier hữu hạn đã nói ở trên, đưa phương trình đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường. Điều khác biệt ở đây là phép biến đổi Fourier dùng ở miền x−∞ < < ∞. Công thức biến đổi Fourier đảo Nếu f thoả f ∞ −∞ < ∞∫ (tuyệt đối khả tích) và 2 f ∞ −∞ < ∞∫ (bình phương khả tích) thì có cặp công thức thuận nghịch ( ) ( ) i x f f x e dxω ω ∞∧ −∞ = ∫ , F [f] = f ∧ 1 ( ) ( ) 2 i x f x f e ω dω ω π ∞ ∧ − −∞ = ∫ , F-1 [ f ∧ ] = f Ta đi vào chứng minh. Ta có 1 1 ( ) ( ) 2 2 i t i t i x f e d e d f x e dxω ω ω ω ω π π ∞ ∞ ∞∧ − − −∞ −∞ −∞ =∫ ∫ ∫ ω Đổi thứ tự lấy tích phân ( )1 1 ( ) ( ) 2 2 i t i t x f e d f x dx e dω ω ω ω ω π π ∞ ∞ ∞∧ − − −∞ −∞ −∞ =∫ ∫ ∫ − ( ) ( ) ( )f x t x dx f tδ ∞ −∞ − =∫ với (t x)δ − là hàm Dirac delta. Định lý tích chập Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g là một hàm thực h định nghĩa bởi ( * )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g t h t f t g d f g t dτ τ τ τ τ τ ∞ ∞ −∞ −∞ = = − = −∫ ∫ Định lý 1.2 (định lý tích chập): Nếu có f và g sao cho ( ) ( ) i x f f x e dxω ω ∞∧ −∞ = ∫ ; ( ) ( ) i x g g x eω ω ∞∧ −∞ = ∫ dx và ( * )( ) ( )f g t h t= thì ( ) ( ) ( )h f gω ω ω ∧ ∧ ∧ = Chứng minh: - 15 -
• 16. ( ) ( ) ( )i t i t h h t e dt e dt f t x g x dtω ω ω ∞ ∞ ∞∧ = = −∫ ∫ ∫−∞ −∞ −∞ Đổi biến z = t – x t = z + x , dt = dz⇒ ( ) ( ) ( ) ( )i z x h e dz f z g x dxω ω ∞ ∞∧ + −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i z i x h e f z dz e g x dx f gω ω ω ω ω ∞ ∞∧ ∧ −∞ −∞ = =∫ ∫ ∧ 1.3 Phép biến đổi Laplace Cho hàm f(t) được xác định trên khoảng [ )0,∞ . Biến đổi Laplace (còn gọi là ảnh Laplace) của f(t) là hàm F(p) được xác định bởi tích phân: F(p) = (1.13) 0 ( )pt e f t d ∞ − ∫ t với điều kiện tích phân này hội tụ, p là một số phức. Phép biến đổi từ f(t) sang F(p) theo (1.13) được gọi là phép biến đổi Laplace. Điều kiện để tích phân (1.13) hội tụ là tồn tại các hằng số M và α sao cho ( ) t f t Meα ≤ cho mọi t > 0. Biến đổi Laplace còn được kí hiệu: F(p) [ ]( )L f t≡ 1.3.1 Các tính chất cơ bản của [ ]( )L f t ● Tính tuyến tính [ ] 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i L C f t C L f t = = ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ● Tính chất đồng dạng Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì [ ( )]L f tα = 1 α F( p α ) ● Định lý tịnh tiến thứ nhất Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì ( )at L e f t⎡⎣ ⎤⎦ ] = F(p-a) ● Định lý tịnh tiến thứ hai Nếu [ ( )L f t = F(p) thì [ ]( ) ( ) ap aL u t f t a e− − = F(p) trong đó hàm Heaviside - 16 -
• 17. a u t t a ≤ <⎧ = ⎨ ≥⎩ ● Ảnh Laplace của đạo hàm Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì [ '( )]L f t = pF(p) – F(0) ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) (0) '(0) ... (0)n n n n n L f t p F p p f p f f− − − ⎡ ⎤ = − − − −⎣ ⎦ ● Đạo hàm của ảnh Laplace Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì F(n) (p) = ( 1) ( )n n L t f t⎡ ⎤−⎣ ⎦ ● Ảnh Laplace của tích phân Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì 0 ( ) ( ) t F p L f d p τ τ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ● Tích phân của ảnh Laplace Nếu [ ( )]L f t = F(p) thì ( ) ( ) p f t f p dp L t ∞ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ● Ảnh Laplace của hàm tuần hoàn Nếu f(t + T) = f(t) thì [ ] 0 1 ( ) ( ) 1 T pt pT L f t e f t dt e − − = − ∫ ● Ảnh laplace của tích chập hai hàm Tích chập của hai hàm liên tục ( ), ( )t f tϕ với 0 t≤ < ∞ là hàm 0 * ( ) ( ) ( ) t f t t f dϕ ϕ τ τ≡ −∫ τ Định lý Borel: Nếu [ ]( ) ( )L t pϕ φ= , [ ]( ) ( )L f t F p= thì [ ]* ( ) (L f p F )pϕ φ= . 1.3.2 Biến đổi Laplace ngược Phép biến đổi từ hàm F(p) sang hàm f(t) [ ]1 F( ) ( )L p f− = t được gọi là phép biến đổi Laplace đảo nếu và chỉ nếu [ ]( )L f t = F(p) Ta có thể xác định f(t) khi cho trước F(p) dựa vào các tính chất của [ ]( )L f t . - 17 -
• 18. f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là và F(p) là hàm ảnh của f(t) thì tại mọi điểm liên tục của hàm f(t), ta có 0s 1 ( ) F( ) 2 a i pt a i f t p iπ + ∞ − ∞ = ∫ e dp trong đó, a là một số thực bất kì, .0a s> 1.4 Bài toán Sturm – Liouville. Hàm đặc biệt 1.4.1 Bài toán Sturm – Liouville Bài toán Sturm – Liouville là bài toán biên tuyến tính cấp hai thuần nhất chứa một tham số dạng [ ] 1 2 1 2 ( ) ' ' ( ) ( ) 0, 0 1 (0) '(0) 0 (1) '(1) 0 p x y q x y r x y x a y a y b y b y λ⎧ − + = < ⎪ + =⎨ ⎪ + =⎩ < (1.14) (1.15) (1.16) trong đó các hàm , ',p p q và r là liên tục trên đoạn 0 1x≤ ≤ và hơn nữa p(x) > 0 và r(x) > 0 với mọi điểm trong 0 1x≤ ≤ ; là các hằng số,1 1 2 2, , ,a b a b λ là tham số. Người ta bảo bài toán biên thuần nhất (1.14), (1.15), (1.16) là bài toán Sturm – Liouville kỳ dị nếu các hàm , ',p p q và r chỉ liên tục trong khoảng hở 0 1x< < và không thỏa các điều kiện trên ở một hoặc hai điểm biên. Ta có định lý sau (không chứng minh)2 : Nếu 1φ và 2φ là các hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville (1.14), (1.15), (1.16) ứng với các trị riêng 1λ và 2λ . Nếu 1 2λ λ≠ thì 1φ và 2φ trực giao đối với hàm trọng lượng r ở trên 0 1x< < nghĩa là 1 1 2 0 0r dxφφ =∫ 1.4.2 Hàm Bessel Xét bài toán: 2 ( ')' ( / ) 0xu m x u xuλ− + = , 0 1x< < (1.17) (1) 0u = bị chặn khiu 0x → (1.18) 2 Người đọc có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham khảo [4] - 18 -
• 19. khi 0x → m là hằng số thực, λ là tham số. (1.17), (1.18) là bài toán Sturm – Liouville có một điểm kỳ dị tại biên x = 0. Đặt t x λ= thì (1.17) trở thành 2 0 d du m t u tu dt dt t ⎛ ⎞ − + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ hay 2 2 2 2 ( ) d u du t t t m u dt dt 2 0+ + − = (1.19) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai gọi là phương trình Bessel bậc m. Ta muốn tìm nghiệm riêng giải tích tại t = 0 dưới dạng chuỗi nguyên , 0 ( ) n n n u t t a tα ∞ = = ∑ 0 0a ≠ (1.20) Lấy đạo hàm của (1.20) theo t rồi thế vào (1.19). Gom chung các số hạng cùng mũ t ta được [ ] [ ]{ } 0)()1()( 2 2 22 1 22 0 221 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +−−− ∑ ∞ = − − n n nn taamntamamt αααα Chuỗi này đồng nhất không chỉ nếu các hệ số của t triệt tiêu Suy ra mα = ± , 1 0a = , 2 2 2 ( ) n n a a n mα − = − + − , 2,3,...n = Chọn mα = và 0 1 2 !m a m = (hằng số tuỳ ý) lúc đó ta được một nghiệm của (1.19) giải tích tại t = 0 gọi là ( )mJ t . 2 0 ( 1) ( / 2) ( ) !( )! k m m k t J t k m k +∞ = − = + ∑ k (1.21) (1.21) được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp m. Hàm Bessel thông dụng nhất là hàm Bessel bậc 0 và bậc 1. Ta có 2 2 4 6 0 2 2 2 2 2 2 0 ( 1) ( ) 1 ... ( !) 2 2 2 .4 2 .4 .6 kk k t t t t J t k ∞ = − ⎛ ⎞ = = − + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 2 + 2 1 3 5 1 0 ( 1) 1 1 ( ) ... !( 1)! 2 2 1!2! 2 2!3! 2 kk k t t t t J t k k + ∞ = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ − - 19 -
• 20. 0 1'( ) ( )J t J= − t Phép thử tỷ số cho thấy chuỗi nguyên (1.21) hội tụ, khi , thìt → ∞ ( )mJ t có dáng điệu như t. 1.4.2.1 Đạo hàm và công thức truy hồi Nhân chuỗi (1.21) với , đạo hàm từng số hạng theo t rồi thu gọn thì đượcm t− 1( ( )) (m m m d t J t t J t dt − − += − )m (1.22) Nếu nhân chuỗi (1.21) với , đạo hàm, thu gọn thì đượcm t 1( ( )) (m m m m d t J t t J t dt −= ) ) (1.23) Từ (1.22) ta suy ra 1 1. ( ) . '( ) . (m m m m m mmt J t t J t t J t− − − − +− + = − Hay 1'( ) ( ) ( )m m m m J t J t J t +− = − t Từ (1.23) ta suy ra 1 1. ( ) '( ) ( )m m m m m mmt J t t J t t J t− −+ = Hay 1'( ) ( ) ( )m m m m J t J t J t −+ = t Từ đó ta có [ ] [ ] 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 '( ) ( ) ( ) 2 m m m m m m t J t J t J m t J t J t J t − + − + = + = − 1.4.2.2 Zero của hàm Bessel ( )mJ t Trở lại phép đổi biến t xλ= Nghiệm giải tích tại x = 0 của phương trình 2 ( ')' ( / ) 0xu m x u xuλ− + = là (m )J xλ (1.24) Dùng điều kiện biên u(1) = 0 - 20 -