A/. Lý thuyết cơ bản
B/. Các dạng phương trình vô tỷ cơ bản
Dạng 1: [Cơ bản]
@ Lý thuyết: +]
+] .
+]
+] .
C/. Phân loại và phương pháp giải phương trình vô tỷ
1]Phương pháp biến đổi tương đương:[sử dụng biến đổi cơ bản].
Ví dụ: Giải pt sau:
a.
Giải: Phương trình .
b.
Giải: pt
Bài tập: Giải pt sau bằng các phép biến đổi tương đương.
a]
b]
c]
d]
e]
f]
g]
h]
i]
2]Phương pháp nhóm nhân tử chung
Chú ý: +]
+]
+]
Ví dụ: gpt
Giải: đk:
* Với x=1 thỏa mãn.
* Với . Pt
[do ]
Giải tiếp pt bằng biến đổi tương đương ta được nghiệm x=4.
* Với xđs:
5].
6].
7].
Hd: Do
đs: x=1;x=
8].
HD: C1] Pt:
=>
C2] đặt căn=t=>
b] Đặt ẩn phụ đưa về hệ pt
Dạng 1:Đưa về hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Gpt
Giải: Đặt => . Đây là hệ phương trình đối xứng loại I. Giải hệ ta được x=1;x=3.
Đáp số:x=1;x=3.
Bài tập luyện tập
1]
2]
3]
Dạng 2: Đưa về hệ đối xứng loại II
Ví dụ:Ví dụ:
Giải: đặt
Giải hệ ta được:
Bài tập luyện tập
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đốí xứng I, II.
1]
2][8x3+1]3=32x- 8. đặt
3]
4]
5]
6]
8]
9]
10]
11]
12]
c] Đặt một phần biến cũ bằng biến mới
Ví dụ: Gpt
HD: Lưu ý: pt
pt:
Giải:
a] đặt
b] đặt
[Phần còn lại dành cho các bạn!!!]
4. Phương pháp hằng số biến thiên
Ví dụ: Giải pt
Giải: a] đặt t=4, pt t2-2tx-x4-2x3=0 => ∆t=[x[x+1]]2=>t=4=x2+2x =>
b] * Cách 1: đặt u=
* Cách 2: bình phương 2 vế, pt
Đặt u=5, pt
Bài tập luyện tập
1. Gpt:
2. GPT:
5] Phương pháp khử căn bằng trị tuyệt đối
Lưu ý. Đưa các biểu thức sau về hằng đẳng thức.
a] A=
Ví dụ: Gpt
Giải: pt
* Với .
Pt Giải phương trình này được:
* Với
Pt x=5
Vậy phương trình có nghiệm: x=5 ;
Bài tập luyện tập
1]2]
3]
4]
5]
6]Phương pháp đánh giá hai vế
Chú ý:
1]. A2+α ≥ α; với mọi α
2] α - A2 ≤ α; với mọi α3] A2≥0; với mọi A.
4]
5]
6]
Ví dụ: Gpt:
Giải: ta có
Cách 2: đặt t=
Bài tập luyện tập
1. *Nếu x
, trong đó
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
1].
2].
Giải:
1] Ta thấy pt có hai nghiệm x=0;x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số g[x]=2003x+2005x-4006x-2 có g''[x]>0 [và khi đó theo đ/l 3 suy ra g'[x]=0 có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g[x] có nhiều nhất hai nghiệm], điều này luôn đúng với g''[x]=2003xln22003+2005xln2005>0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0;x=1.
2] Đk: x>-1/2.
pt 3x+x=[1+2x]+log3[1+2x]
Do đó: 3x=2x+1
Xét hàm số:
nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0;x=1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất: x5-x2-2x-1=0
Giải:
Để chứng minh phương trình f[x]=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
* Chứng minh phương trình f[x]=0 luôn có nghiệm:
+ f[x] liên tục trên D.
+ Tồn tại hai số a,b sao cho [f[a].f[b]