1. Định nghĩa tiếp tuyến
Tiếp tuyếncủa mộtđường congtại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là mộtđường thẳngchỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó.Leibnizđịnh nghĩa tiếp tuyến như mộtđường thẳngnối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong.Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường congy=f[x]tại điểmx=ctrên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm[c,f[c]]trên đường cong và có độ dốcf'[c]vớif'làđạo hàmcủaf. Một định nghĩa tương tự áp dụng cho các đường cong không gian và các đường cong trongkhông gian Eucliden-chiều.
Tính chất của tiếp tuyến:
- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng vuông góc đầu mút bán kính nằm trên đường tròn. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm giao nhau giữa đường tròn và bán kính chính là tiếp tuyến.
- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.
- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm. Theo đó, tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.
- Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.
2. Một số thuật ngữ đường tròn về tiếp tuyến, dây cung ở đường tròn
- Dây cung [gọi tắt là dây]: Là đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.
- Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.
- Đường kính: đoạn thẳng [hoặc độ dài đoạn thẳng] có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.
- Bán kính: là đoạn thẳng [hoặc độ dài đoạn thẳng] nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.
Các tính chất của dây cung ở đường tròn:
+ Các dây cung cách đều tâm khi chúng có chiều dài bằng nhau.
+ Đường trung trực của dây cung đi qua tâm đường tròn.
+ Trong trường hợp cả 2 đường thẳng chứa dây cung AB, CD cùng thuộc một đường tròn cắt nhau tại điểm P ta gọi chúng là hai cát tuyến và có hệ thức: PA x PB = PC x PD [tính chất phương tích của một điểm].
+ Trong trường hợp 2 góc cùng nằm trên một đường tròn chắn 2 dây cung bằng nhau hoặc cùng 1 dây cung thì chúng có số đo bằng nhau.
3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Tia tiếp tuyến và dây cung kết hợp với nhau sẽ tạo thành góc có đỉnh nằm trên đường tròn. Trong đó, một cạnh của góc này sẽ chứa tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn đó.
Định lý
Số đo của góc tạo bởi dây cung đường tròn và tia tiếp tuyến được xác định bằng ½ góc của cung bị chắn.
Hệ quả
Trong đường tròn, góc được tạo bởi dây cung và tia tiếp tuyến có số đo bằng góc nội tiếp cùng chắn dây cung đó.
4. Định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?
Cho[C]là đồ thị của hàm sốy=f[x]và điểmM[x0; y0]nằm trên[C]. Khi đó phương trình tiếp tuyến của[C]tại điểmMlà :
y=f′[x0].[x−x0]+f[x0]
Khi đó,f′[x0]là hệ số góc của tiếp tuyến tạiM[x0;y0]
5. Cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong các bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, để tìm được tiếp tuyến thì mấu chốt là ta phải tìm được điểm tiếp xúc hay giá trịx0trong công thức trên.
Ví dụ:
Chohàm sốvà điểmM[x0;y0]thuộc đồ thị hàm số. Biết rằngy′′[x0]=8. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểmM
Cách giải:
Ta có:
y' = 4x3 - 4x ⇔ y'' = 12x2 - 4
Vậy y''[xo] = 8 ⇔ 12xo2 - 4 =8 ⇔ x0 = 1 hoặc xo = -1
Nếux0=1thì ta có phương trình tiếp tuyến là :
y=y′[x0][x−x0]+y[x0]=−1
Tương tự, nếux0=−1thì phương trình tiếp tuyến là :
y=−1
Vậy phương trình tiếp tuyến tạiMlày=−1
Skip to contentBạn đang tìm hiểu thông tin về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ? Tất cả định nghĩa và tính chất của đường tiếp tuyến và dây cung sẽ được chúng tôi chúng tôi gửi đến các bạn đọc bài viết dưới đây.
Dây cung [gọi tắt là dây]: Là đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.
Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.
Đường kính: đoạn thẳng [hoặc độ dài đoạn thẳng] có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.
Bán kính: là đoạn thẳng [hoặc độ dài đoạn thẳng] nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.
- Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn là một đường tiếp tuyến với đường tròn.
- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.
- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
- Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc {\displaystyle {\widehat {BOA}}}và góc {\displaystyle {\widehat {BPA}}}bù nhau.
- Nếu AD tiếp xúc với đường tròn tại A và AQ một dây cung của đường tròn, thì {\displaystyle {\widehat {DAQ}}={\frac {\overset {\frown }{AQ}}{2}}}.
- Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.
Đường trung trực của dây cung đi qua tâm đường tròn. Do tính duy nhất của đường trung trực, ta có những mệnh đề tương đương sau: - Đường vuông góc hạ từ tâm xuống dây cung chia đôi dây cung đó.
- Đoạn thẳng nối tâm và trung điểm dây cung thì vuông góc với dây cung.
- Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn
- Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành c và d, thì ab = cd [gọi là phương tích của điểm đó].
- Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành m và n, thì a2 + b2 + m2 + n2 = d2 [với d là đường kính].
- Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2 – 4p2 [với r là bán kính đường tròn, p là khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó].
- Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.
Với những thông tin bên trên về dây cung và tia tiếp tuyến mong sẽ giúp được các bạn đang tìm hiểu về nó nhé.
Tiếp tuyến là một mảng kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh sẽ được tiếp xúc trong chương trình Toán lớp 9. Vậy tiếp tuyến là gì? Tính chất và dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến thế nào? Đừng bỏ qua bài viết sau của muahangdambao.com để có thể bổ sung thêm kiến thức cho mình nhé!
Tiếp tuyến là gì?
Theo định nghĩa tiếp tuyến lớp 9 thì đây là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm. Đồng thời nó cũng sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn tại chính điểm đó.
Khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là một đường thẳng tiếp xúc trực tiếp với đồ thị hàm số tại chính điểm đó. Và công thức để chúng ta có thể xác định được tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M[x1, x2] sẽ là: y = f’[x1][x-x1] + x2 .
Dựa vào công thức trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm sẽ chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến.
Tính chất của đường tiếp tuyến là gì?
Để có thể giải các bài tập có liên quan được chính xác và nhanh chóng hơn thì bạn nên nắm chắc được tính chất của loại đường này. Dưới đây là một số tính chất mà bạn nhất định phải ghi nhớ nhé!
- – Nếu một đường thẳng được xác định là tiếp tuyến của đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.
- – Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì sẽ đi qua tâm.
- – Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, chúng ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn đó.
- – Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại 1 điểm bất kỳ và điểm đó sẽ chính là khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.
+ Tia được kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn sẽ được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau thì sẽ được gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua các tiếp điểm.
- – Nếu 2 tiếp tuyến tại điểm A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA sẽ bù nhau.
Dấu hiệu để nhận biết đường tiếp tuyến là gì?
– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm nào đó nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bất kỳ bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến
Sau đây là một số cách viết pt tiếp tuyến mà bạn có thể tham khảo để ứng dụng vào việc giải bài tập
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b => ka = -1 => k = -[1/a].
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng cho trước với hệ số góc k = -[1/k].
Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
Tiếp tuyến d song song đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.
Sau khi đã lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ hãy kiểm tra lại tiếp tuyến đó xem có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì ta không nhận kết quả đó.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Bước 1. Cần tính đạo hàm y’=f[x]. Từ đó có thể suy ra hệ số góc tiếp tuyến k=y’[x0].
Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C] tại điểm M [x0, y0] có dạng là: y= y’[x0][x – x0] + y0.
Lưu ý:
– Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì cần tìm được y0 bằng cách thay thế x0 vào hàm số y = f[x0].
– Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì cần đi tìm y0 cũng bằng cách thế y0 vào hàm số y = f[x0].
– Nếu đề bài yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] với đường thẳng d: y = ax + b thì khi đó các hoành độ tiếp điểm x chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm [C] và d. Phương trình hoành độ giao điểm [C] và d sẽ có dạng là f[x] = ax + b.
Đặc biệt: Nếu trục hoành Ox thì sẽ có y = 0 và trục tung Oy thì sẽ có x = 0.
Ngoài ra bạn cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính toán như hướng dẫn sau:
Nhận xét: Việc sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thực chất chỉ là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công mà thôi. Sử dụng máy tính sẽ giúp các bạn tính toán được nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm trong dạng đề thi Đại học những năm gần đây thì sử dụng máy tính cầm tay sẽ là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh lựa chọn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
- Bước 1: Ta hãy gọi M [x0; f[x0]] là tiếp điểm. Sau đó tính hệ số góc tiếp tuyến k = f’[x0] dựa theo x0.
- Bước 2. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng d: y = f’[x0][x – x0] + f[x0].
Vì điểm A [xA; yA] thuộc d nên yA=f’[x0][xA – x0] + f[x0]. Giải phương trình trên ta sẽ tìm được x0.
- Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào phương trình ở bước 2 ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Xem thêm: Cát tuyến là gì? Tính chất và cách vẽ cát tuyến như thế nào?
Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0[x0;y0] ∈ [C]
Cách giải:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k[x – x0] + y0 [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
Cách giải:
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng phương trình [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
Cách giải:
-Giải phương trình y0 = f[x0] để tìm x0.
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì khi thay vào ta có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’[x0] = f’[x0]
Cách giải:
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’[x0] = f’[x0] để tìm x0
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Một số dạng bài khác
- -Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này
y’[x0]. a = -1 ⇔ y’[x0] = -1/a
… khi đó bài toán lại quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì điều này
⇔ y’[x0] = a…bài toán lại quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của [C] và đường thẳng đã cho. Khi đó bài toán lại quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là hệ số góc của đường thẳng d2. Thì:
Bài tập áp dụng:
Một số lưu ý quan trọng về tiếp tuyến của đường tròn
- – Bạn cần nắm vững các tính chất cũng như định lý có liên quan đến tiếp tuyến đường tròn.
- – Ghi chú hoặc tóm tắt lại thành hệ thống các thông tin trong đề để tránh thiếu sót.
- – Đọc kỹ đề bài để có thể nắm rõ các thông tin.
- – Thường xuyên làm thêm các bài tập về nhà để rèn luyện được tư duy nhanh nhạy.
- – Sử dụng máy tính cầm tay khi cần thiết để ra đáp án chính xác.
Bài viết trên đây về tiếp tuyến là gì, tính chất cũng như dấu hiệu của nó chắc hẳn đã giúp các bạn học sinh có thêm kiến thức để áp dụng vào bài tập. Chúc các bạn luôn có điểm số cao trong kỳ thi sắp tới. Và nếu bạn còn thắc mắc nào cần được chúng tôi giải đáp thì đừng ngần ngại để lại bình luận ngay dưới bài viết này nhé!