Tìm m để phương trình có nghiệm toán 12 năm 2024
|
Bài viết Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện. Show Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện (cực hay)Bài giảng: Cách giải bài toán Tương giao của hai đồ thị - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) A. Phương pháp giải & Ví dụQuảng cáo - Về phương trình Phương trình bậc hai y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) - Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0 - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác xo khi và chỉ khi - Các công thức cần nhớ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1) và B(x2 , y2) tùy ý ta có: AB=√((x2 -x1 )2 +(y2 - y1)2 ) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(xo , yo) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức d(M,Δ)= |Axo + Byo + C|/√(A2 + B2 ) Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có: S = (1/2)aha = (1/2)bhb = (1/2)chc = abc/4R = pr Trong đó: a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi. ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c. R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác. Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho hàm số y = x4 - (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d x4 - (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 - (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔ Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0} Quảng cáo Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1) Điều kiện x ≠ -2 Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2) (d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2 Đặt A(x1 ; 2x1 - 1); B(x2 ; 2x2 - 1) với x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (2) Theo định lí Vi ét ta có Khi đó AB = √((x1 - x2)2 + 4(x1 - x2)2 ) = √10 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ] = 10 ⇔ ((m - 3)/2)2 + 2 = 2 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) Vậy giá trị cần tìm là m = 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2x2 + (1 - m)x + m có đồ thị (Cm). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x12 +x22 +x32 =4. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: x3 - 2x2 +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - m) = 0 (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Gọi x1 = 1 còn x2 ,x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ 1+(x2 +x3)2 -2x2 x3=4 ⇔ 1 + 12 + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1 Quảng cáo B. Bài tập vận dụngCâu 1: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị (H):y= (x + 1)/(x - 1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (H). Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H): (x + 1)/(x - 1) = mx + 1 Gọi A(x1;y1 ); B(xx2; yx2) lần lượt là giao điểm của (d) và (H) thì ta có x1, xx2 là các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời do A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có x1 < 1 < xx2 ⇔ (x1 - 1)(xx2 - 1) < 0 Khi đó f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1, xx2 thỏa mãn (x1 - 1)(xx2-1) < 0 Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = (0; +∞) Câu 2: Cho hàm số y = x3-3x2+(m-1)x+1 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng d: y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1),B,C sao cho BC = √10 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm x3 - 3x2 + (m - 1)x + 1 = x + 1 (1) ⇔ x(x2 - 3x + m - 2) = 0 (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Đặt B(x1; x1 + 1); C(xx2; xx2 + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm của cuả phương trình (2) Theo định lí Vi ét ta có ⇔ 9 - 4(m - 2) = 5 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) Vậy giá trị m cần tìm là m = 3 Câu 3: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm k để đường thẳng d: y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = kx + 2k + 1 (1) Điều kiện xác định x ≠ -1 Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1 ) ⇔ kx2+(3k - 1)x + 2k = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1 Khi đó đặt A(x1; kx1 + 2k + 1);B(xx2; kxx2 + 2k + 1) với x1, xx2 là hai nghiệm của cuả phương trình (2) Theo định lí Vi ét ta có Ta có d(A; Ox) = d(B; Ox) ⇔ |kx1 + 2k + 1| = |kxx2 + 2k + 1| ⇔ k(x1+ xx2) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = -3 Vậy k = -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 4: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là √3 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = -2x + m (1) Điều kiện xác định x ≠ -1 Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(-2x + m ) ⇔ 2x2 + (4 - m)x + 1 - m = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1 Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m. Gọi A(x1,y1 ),B(xx2,yx2 ) trong đó y1 = -2x1 + m; yx2 = -2xx2 + m và x1, xx2 là các nghiệm của (2). Theo định lí Vi ét ta có Tính được : Vậy các giá trị m cần tìm là m = 2; m = -2 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = x - 2m cắt đồ thị hàm số y= (x - 3)/(x + 1) (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm (x - 3)/(x + 1) = x - 2m (x ≠ -1) ⇔ x - 3 = (x - 2m)(x + 1) ⇔ x2 - 2mx - 2m + 3 = 0 (*) Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Vậy giá trị tham số m cần tìm là 1 < m < 3/2 Câu 6: Tìm m, n để đường thẳng d: y = mx + 3n - 9 cắt đồ thị (H) của hàm số y = (3x + 1)/(x - 1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O. Lời giải: Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O tức là 3n - 9 = 0⇔ n = 3 Khi đó phương trình đường thẳng d viết được dưới dạng y = mx Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d: Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x)=0 phải có hai nghiệm phân biệt x1,xx2 khác 1. Mặt khác do A, B đối xứng qua O nên ta có x1+xx2=0⇔ (m + 3)/m = 0⇔ m = -3(loại) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Quảng cáo Câu 7: Tìm m để đường thẳng d: y = x - m cắt đồ thị (Cm): y = x3 + 3x2 + mx - 3(m là tham số) tại ba điểm phân biệt x1,2,3 sao cho biểu thức T = 2(x12 + 22 + 32 ) + 3x12 2232 - 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm ): x3 + 3x2 + mx - 3 = x - m ⇔ x3 + 3x2 + (m - 1)x + m - 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + m - 3) = 0 ⇔ Để d cắt (Cm ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,xx2 khác -1 (ta đặt x1 = -1) Theo định lí Vi ét ta có Do đó T = 2(x12 + xx22 + xx32) + 3x12xx22xx32 - 5 = 2(1 + xx22 + xx32 ) + 3xx22xx32 - 5 \= 2 + 2[(xx2 + xx3)2 - 2xx2xx3] + 3xx22xx32-5 = 2 + 2[4 - 2(m - 3)] + 3(m - 3)2 - 5 \= 3m2 - 22m + 44 = 3(m - 11/3)2 + 11/3 ≥ 11/3 Dấu bằng xảy ra khi m = 11/3. Vậy ta có minT = 11/3 và m = 11/3 là giá trị cần tìm. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
