Bài viết Cách xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số.
Cách xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số [cực hay]
1. Phương pháp giải.
Quảng cáo
C1: Cho hàm số y = f[x] xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f[x1 ]-f[x2 ]
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
C2: Cho hàm số y = f[x] xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng [1; + ∞]
- y = 3/[x-1]
- y = x + 1/x
Hướng dẫn:
- Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞]; x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1 nên
Do đó hàm số y = 3/[x-1] nghịch biến trên khoảng [1; + ∞].
- Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞]; x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1
nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng [1; + ∞].
Quảng cáo
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] = x2 - 4
- Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên [- ∞;0] và trên [0;+ ∞]
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R.
- ∀ x1; x2 ∈ R; x1 < x2 ⇒ x2 - x1 > 0
Ta có T = f[x2 ] - f[x1 ]=[x22 - 4] - [x12 - 4] = [x2 - x1 ][x2 + x1 ]
Nếu x1; x2 ∈ [- ∞;0] thì T < 0. Vậy hàm số y=f[x] nghịch biến trên [- ∞;0].
Nếu x1; x2 ∈ [0; + ∞] thì T > 0. Vậy hàm số y = f[x] đồng biến trên [0; + ∞].
- Bảng biến thiên của hàm số y = f[x] = x2 - 4 trên [-1; 3]
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.
Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốtrên tập xác định của nó.
Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Quảng cáo
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞]
Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞], x1 ≠ x2, ta có:
Nên hàm sốđồng biến trên khoảng [1; + ∞].
- Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞] nên
Nếu x > 1 ⇒ f[x] > f[1] hay
Suy ra phương trìnhkhông có nghiệm x > 1.
Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b]
ĐKXĐ: x ≥ 1
Đặt x2 + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x2 = t - 1
Do x ≥ 1 nên x = √[t-1]. Khi đó phương trình trở thành:
⇔ f[x]=f[t]
Nếu x > t ⇒ f[x] > f[t] hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.
Quảng cáo
Nếu x < t ⇒ f[x]< f[t] hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.
Vậy f[x] = f[t] ⇔ x = t hay x2 + 1 = x ⇔ x2 - x + 1 = 0 [vô nghiệm]
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét:
Hàm số y = f[x] đồng biến [hoặc nghịch biến] trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f[x]=0 có tối đa một nghiệm.
Nếu hàm số y = f[x] đồng biến [nghịch biến] trên D thì f[x] > f[y] ⇔ x > y [x < y] và f[x] = f[y] ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- [mới] Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- [mới] Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- [mới] Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Xét tính đơn điệu hàm số là gì?
Tính đơn điệu của hàm số là một thuộc tính quan trọng để nghiên cứu sự biến đổi của hàm số trên một khoảng cụ thể. Một hàm số được coi là đơn điệu trên một khoảng nào đó nếu giá trị của hàm này luôn thay đổi theo cùng một hướng khi biến đổi độc lập của biến đầu vào trên khoảng đó.
Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là gì?
Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là việc xác định sự tăng hoặc giảm của hàm số lượng giác trên một khoảng xác định. Để tính đơn điệu của hàm số lượng giác, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giá trị: Đầu tiên, ta cần xác định miền giá trị của hàm số lượng giác.
Hàm số không đơn điệu khi nào?
- Hàm không giảm hoặc không tăng đơn điệu: hàm số được gọi là hàm không giảm đơn điệu nếu với mọi cặp giá trị x1 và x2 sao cho x1 < x2 thì f[x1] f[x2] điều này có nghĩa là giá trị hàm số không giảm hoặc không giảm khi giá trị đầu vào tăng . Ví dụ hàm số F[x] = x² và một hàm không giảm đơn điệu.
K là gì trong hàm số?
Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.