Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình 27 x

Số nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 6 của bất phương trình 5 x - 1 3 > 12 - 2 x 3 là:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

Phương trình

Đặt thì phương trình trở thành:

Do đó

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.

Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

A. m ∈ [0; +∞]

B.

C.

D. m ∈ [–∞; 0]

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m + 1] log2 x – 2 < 0  [1]

Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈

[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 0, ∀ m ∈ ℝ

f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2

Khi đó cần

Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0

Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được

Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + [m – 1]․3x + m > 0 [1]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình [1] nghiệm đúng ∀ x > 1 .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A

Đặt t = 3x

Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + [m – 1]․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3

nghiệm đúng ∀ t > 3

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên [3; +∞] và

Yêu cầu bài toán tương

Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng [256; +∞]

A. 7

B. 10

C. 8

D. 9

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95

Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ [256; +∞]

Đặt

Yêu cầu bài toán

Xét hàm số trên khoảng [8; +∞]

Ta có

⇒ f[t] luôn nghịch biến trên khoảng [8; +∞]

Do đó

Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.

A m ≥ 6

B m > 6

C m ≤ 6

D m < 6

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện của bất phương trình: x > 0

Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1+ log2 [5x – 1]] ≥ m [1]

Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]

Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞].

Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6.

Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?

A. 6

B. 4

C. 9

D. 1

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 [*]

Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].

Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 6

Lời giải

Chọn A

Điều kiện của bất phương trình là x > 0.

Khi đó:

Đặt t = log2 x. Ta có:

Trả lại ẩn ta có .

Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2

Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.

Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?

A. m ≤ 3

B. m ≥ 1

C. –1 ≤ m ≤ 4

D. m ≥ 0

Lời giải

Chọn B.

Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m[4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x

⇔

Đặt 2x = t [t > 0]. Khi đó .

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0.

Đặt

Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1

Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ

A. m ∈ [–∞; 0]

B. m ∈ [0; +∞]

C. m ∈ [0; 1]

D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Đặt 2x = t [t > 0]. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]

Đặt

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.

Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

A. m ∈ [0; +∞]

B.

C.

D. m ∈ [–∞; 0]

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m – 1] log2 x – 2 < 0  [1]

Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈

[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0  [2]

Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt [2] có nghiệm thuộc

Xét bất phương trình [2] có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ

f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2

Khi đó cần

Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0

Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được

Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:

A. 12,3

B. 12

C. 12,1

D. 12,2

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 0 < x ≠ 1.

Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016

= [x3 – x2]2 + [x3 – 1]2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với

Đặt , ta có bất phương trình

Đặt . Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.

A. m ≥ 2

B. m ≤ 3

C. m ≤ 5

D. m ≥ 1

Lời giải

Chọn D

Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ [2x]2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0

Đặt 2x = t [t > 0]

Ta có bất phương trình tương đương với

Xét trên [0; +∞]

Bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1.

Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ [1; 64].

A. m ≤ 0

B. m ≥ 0

C. m < 0

D. m > 0

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt log2 x = t, khi x ∈ [1; 64] thì t ∈ [0; 6]

Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t [*]

Xét hàm số f[t] = –t2 –t với t ∈ [0; 6]

Ta có f’[t] = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ [0; 6]

Ta có bảng biến thiên:

Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ [1; 64] khi và chỉ khi bất phương trình [*] đúng với mọi t ∈ [0; 6] ⇔ m ≥ 0.

Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞]?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định

Hàm số xác định trên [32; +∞]

Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞].

Bất phương trình có dạng:

Xét hàm số trên [5; +∞] có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞]

Do và f [5] = 3 nên ta có 1 < f[t] ≤ 3

Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞] khi và chỉ bất phương trình có nghiệm duy nhất trên [5; +∞]

Khi đó: . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.

Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?

A. 6

B. 4

C. 9

D. 1

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 [*]

Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].

Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.

A. m ≥ 6

B. m > 6

C. m ≤ 6

D. m < 6

Lời giải

Chọn C

Điều kiện của bất phương trình: x > 0

Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1 + log2 [5x – 1]] ≥ m [1]

Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]

Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞]

Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6

Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?

A. m ≤ 3

B. m ≥ 1

C. –1 ≤ m ≤ 4

D. m ≥ 0

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m [4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x

⇔

Đặt 2x = t [Điều kiện t > 0 ].

Khi đó

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0

Đặt

Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1

Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ

A. m ∈ [–∞; 0]

B. m ∈ [0; +∞]

C. m ∈ [0; 1]

D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]

Đặt

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.