Video hướng dẫn giải - bài 3 trang 82 sgk đại số và giải tích 11
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\{ > {\rm{ }}2.\left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\{ > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left( {k + 1} \right) + 3}\end{array}\) Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n 2\), ta có các bất đẳng thức: LG a \(3^n> 3n + 1\) Phương pháp giải: Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\). Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\). Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\). Lời giải chi tiết: Với\(n=2\) ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k 2\), tức là \(3^k> 3k + 1\) (1). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh:\(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\) Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được: \(3^{k+1}> 9k + 3 \) \(\Leftrightarrow 3^{k+1}> 3k + 4 + 6k -1\) Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1}>3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3(k+1)+1).\) Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Vậy \(3^n> 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n 2\). LG b \(2^{n+1}> 2n + 3\) Lời giải chi tiết: Với \(n = 2\) thì\({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n =k 2\), tức là \(2^{k+1}> 2k + 3\) (2) Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \) \(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\) Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được: \({2^{k + 2}} > 4k + 6 \) \(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\) Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\). Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\). Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}}> 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n 2\). Cách khác: + Với \(n = 2\) thì bất đẳng thức\( \Leftrightarrow \;8 > 7\)(luôn đúng). + Giả sử bđt đúng khi \(n = k \ge 2\), nghĩa là\({2^{k + 1}}\; > 2k + 3.\) Ta chứng minh đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh:\({2^{k + 2}}\; > 2(k +1)+ 3.\) Thật vậy, ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}} (Vì \(2k + 4 >3\) với mọi \(k 2\)) \( \Rightarrow \;\left( 2 \right)\)đúng với \(n = k + 1\). Vậy \({2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;\)với mọi \(n 2\).
|