2 đường của họ đường cong là gì năm 2024
Giải Đường thẳng, đường cong, đường gấp khúc trang 86, 87 SGK Toán 2 Cánh diềuLựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Show Bài 1 Bài 1 (trang 86 SGK Toán 2 tập 1) Chỉ ra đường thẳng, đường cong trong mỗi hình sau: Phương pháp giải: Quan sát kĩ các hình đã cho rồi chỉ ra đường thẳng, đường cong trong mỗi hình. Lời giải chi tiết:
Bài 2 Bài 2 (trang 87 SGK Toán 2 tập 1) Nêu tên ba điểm thẳng hàng: Phương pháp giải: Quan sát kĩ hình vẽ đã cho, nếu ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì ba điểm đó thẳng hàng. Lời giải chi tiết: Ba điểm thẳng hàng là có trong hình là: - B, D, E là ba điểm thẳng hàng. - A, B, C là ba điểm thẳng hàng. Bài 3 Bài 3 (trang 87 SGK Toán 2 tập 1) Nêu tên các đoạn thẳng của mỗi đường gấp khúc dưới đây: Phương pháp giải: Quan sát kĩ hình vẽ đã cho rồi nêu tên các đoạn thẳng của mỗi đường gấp khúc. Lời giải chi tiết: Đường gấp khúc ABCD gồm ba đoạn thẳng AB, BC và CD. Đường gấp khúc MNPQ gồm ba đoạn thẳng MN, NP và PQ. Đường gấp khúc TUVXY gồm bốn đoạn thẳng TU, UV, VX và XY. Đường gấp khúc EGHIKLM gồm sáu đoạn thẳng EG, GH, HI, IK, KL và LM. Bài 4 Bài 4 (trang SGK Toán 2 tập 1) Tìm hai hình ảnh tạo bởi đường cong, đường gấp khúc trong bức tranh sau: Phương pháp giải: Quan sát kĩ bức tranh đã cho rồi tìm hai hình ảnh tạo bởi đường cong, đường gấp khúc trong bức tranh Lời giải chi tiết: Hai hình ảnh tạo bởi đường cong trong bức tranh là hình ảnh hai đám mây. Hai hình ảnh tạo bởi đường gấp khúc trong bức tranh là hình ảnh đám cỏ màu xanh và hình ảnh các ngọn núi liền nhau. Không có gì Course Kế toán (k24)257 Documents Students shared 257 documents in this course Academic year: 2022/2023 Uploaded by: CommentsPreview textTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài GiảngGIẢI TÍCH II(lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải Hà Nội- 2009 MỤC LỤCMỤC LỤC
6 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
(d) : f ′ x (M) . (x − x 0 ) + f ′ y (M) . (y − y 0 ) = 0.
′ ): x − x 0 f ′ x (M) = y − y 0 f ′ y (M) Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x 0 , y 0 ) chính quy là y − y 0 = f ′ (x 0 )(x − x 0 ). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương trình phổ thông.
trình tham số x = x (t) y = y (t) tại điểm M (x (t 0 ) , y (t 0 )) chính quy:
(d) : x − x (t 0 ) x′ (t 0 ) \= y − y (t 0 ) y′ (t 0 )
d ′ ) : x ′ (t 0 ). (x − x (t 0 )) + y ′ (t 0 ). (y − y (t 0 )) = 0. 1 Độ cong của đường cong.
|y ′′ | ( 1 + y ′ 2 ) 3/
x = x (t) y = y (t) thì: C (M) =∣∣∣∣∣ x ′ y ′ x ′′ y ′′ ∣∣∣∣∣ (x′ 2 + y′ 2 ) 3/
∣r 2 + 2 r′ 2 − rr′′ ∣∣ (r 2 + r′ 2 ) 3/
1 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số
đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L).
Định lý 1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khử c từ hệ phương trình F (x, y, c) = 0 F ′ c (x, y, c) = 0 ( 1 )
(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho. Bài tập 1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
3 + 2 x 2 − 4 x − 3 tại (−2, 5). Lời giải. Phương trình tiếp tuyến y = 5 Phương trình pháp tuyến x = − 2
1 −x 2 tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1. Lời giải. – Tại M 1 (−1, 1), Phương trình tiếp tuyến 2 x − y + 3 = 0 Phương trình pháp tuyến x + 2 y − 1 = 0
Phương trình tiếp tuyến 2 x + y − 3 = 0 Phương trình pháp tuyến x − 2 y + 1 = 0 c. { x = 1 +t t 3 y = 3 2 t 3 + 1 2 t tại A(2, 2). Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến y = x.
2 + c 2 y = 1
2 (x − c) 2 Lời giải. a. Đặt F (x, y, c) := y − x c − c 2 = 0. Điều kiện: c 6 = 0. Xét hệ phương trình: {F ′ x (x, y, c) = 0 F ′ y (x, y, c) = 0 ⇔{F ′ x (x, y, c) = 0 1 = 0 , hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có { F (x, y, c) = 0 F ′ c (x, y, c) = 0 ⇔{ y − x c − c 2 = 0 − 2 c + x c 2 \= 0⇔{ x = 2 c 3 y = 3 c 2 nên ( x 2 ) 2− ( y 3 ) 3 \= 0. Do điều kiện c 6 = 0 nên x, y 6 = 0. Vậy ta có hình bao của họ đường cong là đường ( x 2 ) 2−( y 3 ) 3 \= 0 trừ điểm O (0, 0).
2 + c 2 y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã cho nên điều kiện: c 6 = 0. Xét hệ phương trình: {F ′ x (x, y, c) = 0 F ′ y (x, y, c) = 0 ⇔{ 2 cx = 0 c 2 = 0 ⇔ x = c = 0 , nhưng điểm kì dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có { F (x, y, c) = 0 F ′ c (x, y, c) = 0 ⇔{ cx 2 + c 2 y = 1 x 2 + 2 cx = 0 ⇔{ x = 2 c y = − 1 c 2 Do đó x, y 6 = 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = − x 4 4 trừ điểm O(0, 0).
2 (x − c) 2 − y = 0. Xét hệ phương trình: {F ′ x (x, y, c) = 0 F ′ y (x, y, c) = 0 ⇔{F ′ x = 0 − 1 = 0 , hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có { F (x, y, c) = 0 F ′ c (x, y, c) = 0 ⇔{ c 2 (x − c) 2 − y = 0 ( 1 ) 2 c (x − c) − 2 c 2 (x − c) = 0 ( 2 ) ( 2 ) ⇔ c = 0 c = x c = x 2 , thế vào ( 1 ) ta được y = 0, y = x 4 16 . Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y = x 4 16 . 10 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học §2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONGHÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2 Hàm véctơGiả sử I là một khoảng trong R.
n t 7 → − −→ r (t) ∈ R n được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu n = 3 , ta viết −−→ r (t) = x (t). −→ i + y (t). −→ j + z (t). −→
M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ −−→ r (t).
a khi t → t 0 nếu lim t→t 0 ∣∣∣−−→ r (t) − − → a ∣∣∣ =−→ 0 , kí hiệu lim t→t 0 −−→ r (t) = −→ a.
r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t 0 ∈ I nếu lim t→t 0 −−→ r (t) = −−→ r (t 0 ). (tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , y (t) , z (t))
∆ −→ r h \= lim h→ 0 −→ r (t 0 +h)−− → r (t 0 ) h được gọi là đạo hàm của hàm véctơ −−→ r (t) tại t 0 , kí hiệu −→ r ′ (t 0 ) hay d −→ r (t 0 ) dt , khi đó ta nói hàm véctơ −−→ r (t) khả vi tại t 0. Nhận xét rằng nếu x (t) , y (t) , z (t) khả vi tại t 0 thì −−→ r (t) cũng khả vi tại t 0 và −→ r ′ (t 0 ) = x ′ (t 0 ). −→ i + y ′ (t 0 ). −→ j + z ′ (t 0 ). −→ k. 2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đườngcong cho dưới dạng tham sốCho đường cong x = x(t) y = y(t) z = z(t) và M(x 0 , y 0 , z 0 ) là một điểm chính quy.
(d) : x − x (t 0 ) x ′ (t 0 ) \= y − y (t 0 ) y ′ (t 0 ) \= z − z (t 0 ) z ′ (t 0 ) .
(P) : x ′ (t 0 ). (x − x (t 0 )) + y ′ (t 0 ). (y − y (t 0 )) + z ′ (t 0 ). (z − z (t 0 )) = 0. 12 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học b. d dt ( α (t) −→ p (t) ) \= α (t) d −→ p (t) dt
′ (t) −→ p (t) c. d dt (−→ p (t) −→ q (t) )=−→ p (t) d −→ q (t) dt + d −→ p (t) dt −→ q (t) d. d dt (−→ p (t) ∧ − → q (t) )=−→ p (t) ∧ d −→ q (t) dt + d −→ p (t) dt ∧ −→ q (t) Lời giải. a. Giả sử −→ p (t) = (p 1 (t) , p 2 (t) , p 3 (t)) , −→ q (t) = (q 1 (t) , q 2 (t) , q 3 (t)), khi đó: d dt (−→ p (t) + −→ q (t) )= d dt (p 1 (t) + q 1 (t) , p 2 (t) + q 2 (t) , p 3 (t) + q 3 (t)) \=( p ′ 1 (t) + q ′ 1 (t) , p ′ 2 (t) + q ′ 2 (t) , p ′ 3 (t) + q ′ 3 (t) )=( p ′ 1 (t) , p ′ 2 (t) , p ′ 3 (t) )+( q ′ 1 (t) , q ′ 2 (t) , q ′ 3 (t) )= d −→ p (t) dt + d −→ q (t) dt b. d dt ( α (t) −→ p (t) )=( [α (t) p 1 (t)] ′ , [α (t) p 2 (t)] ′ , [α (t) p 3 (t)] ′ )=( α ′ (t) p 1 (t) + α (t) p ′ 1 (t) , α ′ (t) p 2 (t) + α (t) p ′ 2 (t) , α ′ (t) p 3 (t) + α (t) p ′ 3 (t) )=( α ′ (t) p 1 (t) , α ′ (t) p 2 (t) , α ′ (t) p 3 (t) )+( α (t) p ′ 1 (t) , α (t) p ′ 2 (t) , α (t) p ′ 3 (t) ) \= α (t) d −→ p (t) dt
′ (t) −→ p (t)
d. d dt (−→ p (t) ∧ − → q (t) )= d dt (∣∣∣∣∣ p 2 (t) p 3 (t) q 2 (t) q 3 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p 3 (t) p 1 (t) q 3 (t) q 1 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p 1 (t) p 2 (t) q 1 (t) q 2 (t) ∣∣∣∣∣)= ...=(∣∣∣∣∣ p 2 (t) p ′ 3 (t) q 2 (t) q ′ 3 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p 3 (t) p ′ 1 (t) q 3 (t) q ′ 1 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p 1 (t) p ′ 2 (t) q 1 (t) q ′ 2 (t) ∣∣∣∣∣)+(∣∣∣∣∣ p ′ 2 (t) p 3 (t) q ′ 2 (t) q 3 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p ′ 3 (t) p 1 (t) q ′ 3 (t) q 1 (t) ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ p ′ 1 (t) p 2 (t) q ′ 1 (t) q 2 (t) ∣∣∣∣∣)=−→ p (t) ∧ d −→ q (t) dt + d −→ p (t) dt ∧ −→ q (t) Bài tập 1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
a. x = a sin 2 t y = b sin t cos t z = c cos 2 t tại điểm ứng với t = π 4 , (a, b, c > 0 ). b. x = e t √sin t 2 y = 1 z = et √cos t 2 tại điểm ứng với t = 2. Lời giải. a. – Phương trình tiếp tuyến: (d) : x− a 2 a \= y− b 2 0 \= z− c 2 −c
x − a 2 ) − c ( z − c 2 )= 0.
\= y− 1 0 \= z− √ 2 √ 2 2 2 .
√ 2 2 x + √ 2 2 ( z − √ 2 2 )= 0. Bài tập 1. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
2 − 4 y 2 + 2z 2 = 6 tại điểm (2, 2, 3).
2 + 4 y 2 tại điểm (2, 1, 12).
Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến: (d) : x− 2 4 \= y− 2 − 16 \= z− 3 12
x− 2 8 \= y− 1 8 \= z− 12 − 1
x+ 1 2 \= y− 3 1 \= z − 1
Bài tập 1. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: a. { x 2 + y 2 = 10 y 2 + z 2 = 25 tại điểm A (1, 3, 4) b. { 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 47 x 2 + 2 y 2 = z tại điểm B (−2, 6, 1) CHƯƠNG 2TÍCH PHÂN BỘI§1. TÍCH PHÂN KÉP2 Định nghĩaĐịnh nghĩa 2. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là ∆S 1 , ∆S 2 , ..., ∆Sn. Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M (xi, yi) và thành lập tổng tích phân In = n ∑ i= 1 f (xi, yi) ∆Si. Nếu khi n → ∞ sao cho max {∆Si → 0 } mà In tiến tới một giá trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D , kí hiệu là ∫∫ D f (x, y) dS Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y) khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D thành hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viết ∫∫ D f (x, y) dS = ∫∫ D f (x, y) dxdy Tính chất cơ bản:
∫∫ D [ f (x, y) + g (x, y)] dxdy = ∫∫ D f (x, y) dxdy + ∫∫ D g (x, y) dxdy 16 Chương 2. Tích phân bội ∫∫ D k f (x, y) dxdy = k ∫∫ D f (x, y) dxdy
∫∫ D f (x, y) dxdy = ∫∫ D 1 f (x, y) dxdy + ∫∫ D 2 f (x, y) dxdy 1 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ DescartesĐể tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.
trong hai tích phân lặp ∫∫ D f (x, y) dxdy = ∫ b a dx ∫ d c f (x, y) dy = ∫ d c dy ∫ d c f (x, y) dx
y 6 ψ (x) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau. ∫∫ D f (x, y) dxdy = ∫ b a dx ψ∫(x) φ(x) f (x, y) dy
x 6 ψ (y) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau. ∫∫ D f (x, y) dxdy = ∫ d c dy ψ∫(y) φ(y) f (x, y) dx
miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tính để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4. Các dạng bài tập cơ bản 18 Chương 2. Tích phân bội b) ∫ 1 0 dy 1 + √ 1 −y 2 ∫ 2 −y f (x, y) dx 1 2 x y 21O Hình 2 b) Lời giải. Ta có: D : 1 6 x 6 2 2 − x 6 y 6 √ 2 x − x 2 nên: I = ∫ 2 1 dx √ 2 ∫x−x 2 2 −x f (x, y) dy c) ∫ 2 0 dx √ ∫ 2 x √ 2 x−x 2 f (x, y) dx 1 2 x y 21O Hình 2 c) Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, D 1 : 0 6 y 6 1 y 2 2 6 x 6 1 − √ 1 − y 2 , D 2 : 0 6 y 6 1 1 +√ 1 − y 2 6 x 6 2 , D 3 : 1 6 y 6 2 y 2 2 6 x 6 2 Vậy: I = ∫ 1 0 dy 1 − √ 1 −y 2 ∫ y 2 2 f (x, y) dx+ ∫ 1 0 dy ∫ 2 1 + √ 1 −y 2 f (x, y) dx + ∫ 2 1 dy ∫ 2 y 2 2 f (x, y) dx
d) √ ∫ 2 0 dy y ∫ 0 f (x, y) dx+ ∫ 2 √ 2 dy √ 4 −y 2 ∫ 0 f (x, y) dx √ x 2 y √2O Lời giải. Hình 2 d) D : 0 6 x 6 √2 x 6 y 6 √ 4 − x 2 nên: I = √ ∫ 2 0 dx √ ∫ 4 −x 2 x f (x, y) dy Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tích phân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây: Bài tập 2. Tính I = ∫ 1 0 dx ∫ 1 x 2 xe y 2 dy. x 1 y 2O Hình 2. Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f (x, y) = xe y 2 liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo |
