- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn : [C1] :\[{x^2} + {y^2} + 10x = 4\] và [C2] : \[{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\] có tâm lần lượt là I, J.
LG a
Viết phương trình đường tròn [C] đi qua giao điểm của [C1] , [C2] và có tâm nằm trên đường thẳng \[d:x - 6y + 6 = 0\].
Lời giải chi tiết:
[C1] có tâm I[-5 ; 0], bán kính \[{R_1} = 5\]. [C2] có tâm I[2 ; 1], bán kính \[{R_2} = 5\]
Tọa độ của giao điểm A, B của [C1] và [C2] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 10x = 0\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14x + 2y + 20 = 0\\{x^2} + {y^2} + 10x = 0\end{array} \right.\]
Ta được A[-1 ; -3], B[-2 ; 4].
Gọi K là tâm của [C] ta có \[KA = KB = R \Rightarrow K \in IJ.\]
Phương trình IJ là : \[x - 7y + 5 = 0.\]
Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 7y + 5 = 0\\x - 6y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 12\\y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy K[-12 ; -1]. Ta có \[{R^2} = K{A^2} = 125.\]
Vậy phương trình của đường tròn [C] là : \[{\left[ {x + 12} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 125.\]
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến chung của [C1] và [C2]. Gọi \[{T_1},{T_2}\] lần lượt là tiếp điểm của [C1] , [C2] với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] qua trung điểm của \[{T_1},{T_2}\] và vuông góc với IJ.
Lời giải chi tiết:
\[{R_1} = {R_2} = 5\]
\[ \Rightarrow \] tiếp tuyến chung \[l\] của [C1] và [C2] song song với IJ. Phương trình \[l\] có dạng :
\[x - 7y + c = 0.\]
Ta có \[d[I,l] = {R_1}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 5 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + 49} }} = 5\\ \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 25\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow c = 5 \pm 25\sqrt 2 .\end{array}\]
Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của [C1] và [C2] là :
\[x - 7y + 5 \pm 25\sqrt 2 = 0.\]
Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của \[{T_1}{T_2}\] và vuông góc với IJ.
Phương trình của AB là : \[7x + y + 10 = 0.\]