Bài tập chứng minh độc lập tuyến tính năm 2024
Điều hướng bài viếtCho hệ véctơ chiều Véctơ được biểu diễn tuyến tính qua véctơ nếu tồn tại số thực sao cho Đẳng thức trên tương đương với: là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm phương trình và ẩn có ma trận hệ số mở rộng trong đó các véctơ được viết dưới dạng cột: Show Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Giải. Xét biểu diễn Ví dụ 2: Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Giải. Xét biểu diễn m n X 1 , X 2 ,... , Xm. X ∈ Rn m X 1 , X 2 ,... , Xm m α 1 , α 2 ,... , αm X = α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm. α 1 , α 2 ,... , αm n m α 1 , α 2 ,... , αm ̄ A ̄ ̄ ̄ = (X 1 X 2... Xm X) X 1 , X 2 ,... , Xm, X X = (3, −5, −10, 15) X 1 = (3, −2, 4, 5), X 2 = (1, 1, 7, −3), X 3 = (0, 2, 3, −4). X = xX 1 + yX 2 + zX 3 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩3 x + y = 3 −2x + y + 2z = − 4 x + 7y + 3z = − 5 x − 3y − 4z = 15 ⇔⎧⎨⎩x = 2 y = − z = 1 ⇒ X = 2X 1 − 3X 2 + X 3.X = (1, −2, 10, 197)X 1 = (1, 3, 4, 5), X 2 = (2, 2, −1, 3), X 3 = (3, 5, 1, −2), X 4 = (−4, 7, 2, 4).X = xX 1 + yX 2 + zX 3 + tX 4 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x + 2y + 3z − 4t = 1 3 x + 2y + 5z + 7t = − 4 x − y + z + 2t = 10 5 x + 3y − 2z + 4t = 197 ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x = 14 y = 27 z = − t = 1 ⇒ X = 14X 1 + 27X 2 − 21X 3 + X 4.Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính. Ví dụ 4: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Giải. Xét ma trận nhận các véctơ đã cho là véctơ cột +) Với Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác nên hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính. +) Với hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 5: Cho hệ véctơ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Giải. Xét Do độc lập tuyến tính nên Vậy độc lập tuyến tính. Bằng cách lập luận tương tự ta tổng quát được bài toán sau: Xét hệ véctơ độc lập tuyến tính, khi đó: Hệ véctơ (i) độc lập tuyến tính khi n lẻ; (ii) phụ thuộc tuyến tính khi n chẵn. Ví dụ 6: Tìm để hệ véctơ độc lập tuyến tính. aX 1 + bX 2 + cX 3 + dX 4 = 0n ⇔ a (A 1 − 4A 2 + A 3 − A 4 ) + b (2A 2 + A 3 + 8A 4 ) + c (−A 1 + 2A 2 − 2A 3 + 3A 4 ) + d (A 1 + 2A 2 + A 3 + 9A 4 ) = 0n ⇔ (a − c + d) A 1 + (−4a + 2b + 2c + 2d) A 2 + (a + b − 2c + d) A 3 + (−a + 8b + 3c + 9d) A 4 = 0n ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a − c + d = 0 −4a + 2b + 2c + 2d = 0 a + b − 2c + d = 0 −a + 8b + 3c + 9d = 0 ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a = 0 b = 0 c = 0 d = 0 .{X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }{A 1 = (0, 1, 2, 3) , A 2 (−3, 2, 3, 0) , A 3 (3, −1, −1, k)}. A =⎛⎜ ⎜⎜⎝0 −3 31 2 −2 3 −3 0 k ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 −0 −3 32 3 −3 0 k ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 −0 −3 30 −1 10 −6 k + 3 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 −0 0 00 −1 10 0 k − 3 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 2 −0 −1 10 0 k − 3 ⎞⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 2 −2d 1 +d 3 −3d 1 +d 4 −3d 3 +d 2 −6d 3 +d 4 bo_di_d 2 k − 3 ≠ 0. k − 3 = 0 ⇔ k = 3 U = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } V = {e 1 + e 2 , 2e 2 + 2e 3 , 3e 3 + 3e 4 , 4e 4 + 4e 5 , 5e 5 + 5e 1 }. x 1 (e 1 + e 2 ) + x 2 (2e 2 + 2e 3 ) + x 3 (3e 3 + 3e 4 ) + x 4 (4e 4 + 4e 5 ) + x 5 (5e 5 + 5e 1 ) = 0 ⇔ (x 1 + 5x 5 ) e 1 + (x 1 + 2x 2 ) e 2 + (2x 2 + 3x 3 ) e 3 + (3x 3 + 4x 4 ) e 4 + (4x 4 + 5x 5 ) e 5 = 0 U⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩1 + 55 = 01 + 22 = 022 + 33 = 033 + 44 = 044 + 55 = 0⇒ 5x 5 = −x 1 = 2x 2 = −3x 3 = 4x 4 = −5x 5 ⇔ x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 0. V U = {e 1 , e 2 ,... , en} V = {e 1 + e 2 , 2e 2 + 2e 3 ,... , (n − 1) en−1 + (n − 1) en, nen + ne 1 } m X 1 = (−1, 3, 2, 1), X 2 = (2, 4, −3, −1), X 3 = (1, 2, 3, 4), X 4 = (5, 5, 5, m) Giải. Xét hệ phương trình thuần nhất có ma trận hệ số: Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính Ví dụ 7: Cho các véctơ
Giải. Xét ma trận Biến đổi sơ cấp cho ma trận này độc lập tuyến tính Biểu diễn tuyến tính các véctơ qua hệ véctơ Ta có Ta có Ví dụ 8: Cho hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính và hệ véctơ độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ Giải. Vì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số thực không đồng thời bằng 0 sao cho Nếu vì hệ véctơ độc lập tuyến tính, lúc này mâu thuẫn với giả thiết các số thực không đồng thời bằng 0. Vậy Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 9: Trong không gian véctơ các đa thức hệ số thực có bậc không vượt quá 3 và cả đa thức 0. Xét hệ véctơ A =⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 53 4 2 52 −3 3 51 −1 4 m ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 1 5 150 1 5 m + 5 ⎞⎟ ⎟⎟⎠3d 1 +d 2 2d 1 +d 3 d 1 +d 4 −−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 0 45 1300 0 45 10 m + 30 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 0 45 1300 0 0 10 m − 100 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−d 2 +10d 3 −d 2 +10d 4 −d 3 +d 4 ⇔ 10m − 100 ≠ 0 ⇔ m ≠ 10. X 1 =⎛⎜⎝121⎞⎟⎠; X 2 =⎛⎜⎝211⎞⎟⎠; X 3 =⎛⎜⎝122⎞⎟⎠; X 4 =⎛⎜⎝312⎞⎟⎠; X 5 =⎛⎜⎝301⎞⎟⎠.{X 2 , X 4 , X 5 }{X 2 , X 4 , X 5 }.A = (X 2 X 4 X 5 X 1 X 3 ) =⎛⎜⎝2 3 3 1 11 1 0 2 21 2 1 1 2⎞⎟⎠A −−−−−→⎛⎜⎝1 2 3 −1 −1 1 0 2 21 2 1 1 2⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 2 3 −1 10 −1 −3 3 30 0 −2 2 3⎞⎟⎠−d 2 +d 1 −d 1 +d 2 −d 1 +d 3 ⇒ {X 2 , X 4 , X 5 }X 1 , X 3 {X 2 , X 4 , X 5 }.X 1 = xX 2 + yX 4 + zX 5 ⇒ ⎧⎨⎩x + 2y + 3z = − −y − 3z = 3 −2z = 2 ⇔⎧⎨⎩x = 2 y = 0 z = − ⇒ X 1 = 2X 2 − X 5X 3 = xX 2 + yX 4 + zX 5 ⇒ ⎧⎨⎩x + 2y + 3z = 1 −y − 3z = 3 −2z = 3 ⇔⎧⎪⎨⎪⎩x = 5/ y = 3/ z = −3/ ⇒ X 3 = 5 X 2 + X 4 − X 5.23232{u 1 , u 2 ,... , un, un+1} {u 1 , u 2 ,... , un} un+1 {u 1 , u 2 ,... , un}. {u 1 , u 2 ,... , un, un+1} n + 1 a 1 , a 2 ,... , an, an+ a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun + an+1un+1 = O. an+1 = 0 ⇒ a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun = O ⇔ a 1 = a 2 =... = an = 0 {u 1 , u 2 ,... , un} an+1 ≠ 0 ⇒ un+1 = − (a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun). 1an+ V S = {p 1 (x) , p 2 (x) , p 3 (x) , p 4 (x)} Ví dụ 11: Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin, xét các hàm số: Chứng minh rằng
Giải. a) Xét Thay lần lượt vào (1) ta được Vậy các hàm số độc lập tuyến tính trong V.
Xét hàm số Và nên hàm số này không có đạo hàm tại điểm Từ (*) suy ra hàm số có đạo hàm tại hoàn toàn tương tự ta có Vậy (*) lúc này tương đương với đã thực hiện trong ý a) Vậy các hàm số độc lập tuyến tính trong V. Câu hỏi cho bạn đọc tự luyện: fi (x) = sin(ix); gi (x) = sin|x − iπ|, i = 1, 2, 3. f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) , g 1 (x) , g 2 (x) , g 3 (x) a 1 sin x + a 2 sin(2x) + a 3 sin(3x) = 0 (1) x = ; x = ; x = π 2 π 3 π 4 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩a 1 − a 3 = 0 a 1 + a 2 = 0 a 1 + a 2 + a 3 = 0 ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = 0 √2√21√1√f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) a 1. f 1 (x) + a 2. f 2 (x) + a 3 f 3 (x) + a 4. g 1 (x) + a 5. g 2 (x) + a 6. g 3 (x) = 0 ⇔ a 1 sin x + a 2 sin(2x) + a 3 sin(3x) + a 4 sin|x − π| + a 5 sin|x − 2π| + a 6 sin|x − 3π| = 0 (∗) f (x) = sin|x − a| = { sin(x − a), x ⩾ a − sin(x − a), x < a ⇒ f ′ (x) = { cos(x − a), x > a − cos(x − a), x < a limx→a+ = limx→a+ = 1; limx→a− = limx→a− = − f (x) − f (a) x − a sin(x − a) x − a f (x) − f (a) x − a − sin(x − a) x − a x = a. y = a 4 sin|x − π| = − (a 1 sin x + a 2 sin(2x) + a 3 sin(3x) + a 5 sin|x − 2π| + a 6 sin|x − 3π|) x = π ⇒ a 4 = 0; a 5 = a 6 = 0. a 1 sin x + a 2 sin(2x) + a 3 sin(3x) = 0 ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = 0 f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) , g 1 (x) , g 2 (x) , g 3 (x) Ví dụ 12: Trong không gian véctơ V gồm các hàm số dạng xét các hàm số: Chứng minh rằng các hàm số độc lập tuyến tính trong V. Ví dụ 13: Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin và cos, xét các hàm số: Chứng minh rằng các hàm số độc lập tuyến tính trong V. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyếntínhĐịnh lí 1: Một hệ véctơ chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại. Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tỷ lệ và ngược lại độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không tỷ lệ. Định lí 2: Cho hai hệ véctơ chiều và Nếu và mọi véctơ được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ thì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả: Mọi hệ véctơ chiều có số véctơ lớn hơn số chiều (lớn hơn ) thì hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính. >>Xem thêm Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch>>Xem thêm Phép nhân ma trận và các tính chấtVí dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính và véctơ khôngbiểu diễn tuyến tính qua các véctơ thì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Giải. Vì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số thực không đồng thời bằng 0 sao cho Do không biểu diễn tuyến tính qua các véctơ nên Vậy y = α(x + β)−1, (α, β ∈ R; α ≠ 0) , fi (x) = 1 , i = 1, 2,... , n. x + i f 1 (x) , f 2 (x) ,... , fn (x) fi (x) = sin(ix); gi (x) = cos(ix), i = 1, 2,... , n. f 1 (x) , f 2 (x) ,... , fn (x) , g 1 (x) , g 2 (x) ,... , gn (x) n X, Y X, Y X, YX, Yn {X 1 , X 2 ,... , Xm} {Y 1 , Y 2 ,... , Yk}. m > k Xi(i = 1, 2,... , m) {Y 1 , Y 2 ,... , Yk} {X 1 , X 2 ,... , Xm} n n {X 1 , X 2 ,... , Xm} Xm X 1 , X 2 ,... , Xm−1 {X 1 , X 2 ,... , Xm−1} {X 1 , X 2 ,... , Xm} m α 1 , α 2 ,... , αm α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm = On. Xm X 1 , X 2 ,... , Xm−1 αm = 0. α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αm−1Xm−1 = On. Câu 1 [Q385663146] Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Câu 2 [Q977336693] Hãy biểu diễn véctơ qua các véctơ Câu 3 [Q000002043] Tìm để véctơ biểu diễn tuyến tính qua các véctơ Câu 4 [Q625538253] Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Câu 5 [Q010397761] Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Câu 6 [Q337764680] Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Câu 7 [Q640367350] Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ qua các véctơ Câu 8 [Q937054358] Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Câu 9 [Q923620454] Tìm để hệ véctơ độc lập tuyến tính. Câu 10 [Q646314567] Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau: a)
e) Câu 11 [Q343667764] Tìm để véctơ biểu diễn tuyến tính qua các véctơ Câu 12 [Q665660364] Chứng minh rằng với mọi hệ véctơ độc lập tuyến tính. Câu 13 [Q463701367] Chứng minh rằng với mọi véctơ luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ Câu 14 [Q067633837] Chứng minh độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ qua các véctơ Câu 15 [Q508823863] Chứng minh rằng nếu hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính và véctơ khôngbiểu diễn tuyến tính qua các véctơ thì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Câu 16 [Q939555586] Chứng minh rằng nếu hệ véctơ độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ thì Câu 17 [Q503698666] Tìm để hệ véctơ độc lập tuyến tính. THI ONLINE - [PROS1] - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀPHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (vted) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................ X = (16, 7, −1) X 1 = (1, −1, 3), X 2 = (2, 1, 1), X 3 = (5, 3, −1). X = (7, 11, −6) X 1 = (1, 3, −2), X 2 = (3, 4, −1), X 3 = (5, 5, 1). m X = (3, −1, 11, m) X 1 = (2, 1, 3, 8), X 2 = (1, 3, 0, 5), X 3 = (−1, 2, 2, 2). X = (−3, 1, −20, 25) X 1 = (1, 2, 3, 4), X 2 = (−1, 5, 6, 1), X 3 = (−2, 3, −2, 5). X = (7, 26, −7, −28) X 1 = (4, 2, 1, −1), X 2 = (1, −4, 2, 5). X = (3, −5, −10, 15) X 1 = (3, −2, 4, 5), X 2 = (1, 1, 7, −3), X 3 = (0, 2, 3, −4). X = (1, −2, 10, 197) X 1 = (1, 3, 4, 5), X 2 = (2, 2, −1, 3), X 3 = (3, 5, 1, −2), X 4 = (−4, 7, 2, 4). X 1 = (2, 1, −1), X 2 = (1, 5, −2), X 3 = (3, −7, 2). m X 1 = (−1, 3, 2), X 2 = (2, 4, −3), X 3 = (5, 5, m) ⎧⎪⎨⎪⎩X 1 = (2, 1, −1)X 2 = (1, 5, −2)X 3 = (3, −7, 2).⎧⎪⎨⎪⎩X 1 = (1, 1, −1, −1)X 2 = (2, 6, 3, 2)X 3 = (5, 9, 0, −1).⎧⎪⎨⎪⎩X 1 = (1, −2, 1, −1)X 2 = (3, 3, 5, −2)X 3 = (0, −9, −2, 1).⎧⎪⎨⎪⎩X 1 = (1, 1, −1, −1)X 2 = (2, 6, 3, 2)X 3 = (5, 9, 0, −1).⎧⎪⎨⎪⎩X 1 = (4, 3, −1, 2)X 2 = (2, −2, 4, 5)X 3 = (−2, 9, −13, −13).m X = (−3, −2, 1, m) X 1 = (2, 1, m, −1), X 2 = (1, 3, −1, 2), X 3 = (2, −1, −3, −1). m X 1 = (2, 3, 4, −1), X 2 = (−1, 2, −2, 1), X 3 = (3, m, 4, 2) m X = (−m, 2, m) X 1 = (1, 3, m), X 2 = (−2, −1, 1), X 3 = (4, 2, −3). X 1 = (1, 1, 1), X 2 = (1, 1, 2), X 3 = (1, 2, 3) X = (6, 9, 14) X 1 , X 2 , X 3. {X 1 , X 2 ,... , Xm} Xm X 1 , X 2 ,... , Xm−1 {X 1 , X 2 ,... , Xm−1} {X 1 , X 2 ,... , Xm} ⊂ Rn X ∈ Rn {X 1 , X 2 ,... , Xm} m ≤ n − 1. m X 1 = (−1, 3, 2, 1), X 2 = (2, 4, −3, −1), X 3 = (1, 2, 3, 4), X 4 = (5, 5, 5, m) Câu 36 [Q609694520] Cho các véctơ
Câu 37 [Q239806223] Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Câu 38 [Q376911603] Cho hệ gồm các véctơ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ véctơ với Câu 39 [Q188966004] Cho hệ véctơ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Câu 40 [Q145685148] Cho hệ véctơ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ Câu 41 [Q783771346] Trong không gian véctơ V các đa thức hệ số thực có bậc không vượt quá 3 và cả đa thức 0. Xét hệ véctơ trong đó
Chứng minh rằng là một số nguyên chia hết cho 3. Câu 42 [Q436605452] Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin, xét các hàm số: Chứng minh rằng
Câu 43 [Q048449036] Trong không gian véctơ V gồm các hàm số dạng xét các hàm số: Chứng minh rằng các hàm số độc lập tuyến tính trong V. Câu 44 [Q801102138] Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin và cos, xét các hàm số: Chứng minh rằng các hàm số độc lập tuyến tính trong V. HƯỚNG DẪN X 1 =⎛⎜⎝121⎞⎟⎠; X 2 =⎛⎜⎝211⎞⎟⎠; X 3 =⎛⎜⎝122⎞⎟⎠; X 4 =⎛⎜⎝312⎞⎟⎠; X 5 =⎛⎜⎝301⎞⎟⎠.{X 2 , X 4 , X 5 }{X 2 , X 4 , X 5 }.{A 1 = (0, 1, 2, 3) , A 2 (−3, 2, 3, 0) , A 3 (3, −1, −1, k)}. A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ∈ Rn {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩X 1 = A 1 − 4A 2 + A 3 − A 4X 2 = 2A 2 + A 3 + 8A 4X 3 = −A 1 + 2A 2 − 2A 3 + 3A 4X 4 = A 1 + 2A 2 + A 3 + 9A 4.U = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } V = {e 1 + e 2 , 2e 2 + 2e 3 , 3e 3 + 3e 4 , 4e 4 + 4e 1 }. U = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } V = {e 1 + e 2 , 2e 2 + 2e 3 , 3e 3 + 3e 4 , 4e 4 + 4e 5 , 5e 5 + 5e 1 }. S = {p 1 (x) , p 2 (x) , p 3 (x) , p 4 (x)} p 1 (x) = 1; p 2 (x) = x − 1; p 3 (x) = (x − 1) (x − 2) ; p 4 (x) = (x − 1) (x − 2) (x − 3). S p (x) = ax 3 + bx 2 + bx + 2023 a, b p (x) S p (x) = m 1 p 1 (x) + m 2 p 2 (x) + m 3 p 3 (x) + m 4 p 4 (x). m 2 + 2m 3 + 2m 4 fi (x) = sin(ix); gi (x) = sin|x − iπ|, i = 1, 2, 3. f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) f 1 (x) , f 2 (x) , f 3 (x) , g 1 (x) , g 2 (x) , g 3 (x) y = α(x + β)−1, (α, β ∈ R; α ≠ 0) , fi (x) = , i = 1, 2,... , n. 1x + i f 1 (x) , f 2 (x) ,... , fn (x) fi (x) = sin(ix); gi (x) = cos(ix), i = 1, 2,... , n. f 1 (x) , f 2 (x) ,... , fn (x) , g 1 (x) , g 2 (x) ,... , gn (x) Câu 1 Giả sử khi đó là nghiệm của hệ phương trình Vậy Câu 2 Giả sử khi đó là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng Vậy Vậy Câu 3 Giả sử khi đó là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng Vậy hệ có nghiệm Câu 4 Có khi đó là nghiệm của hệ phương trình Vậy Câu 5 Có Vậy Câu 6 Xé biểu diễn X = α 1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 α 1 , α 2 , α 3 ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 16 −α 1 + α 2 + 3α 3 = 7 3 α 1 + α 2 − α 3 = − ⇔⎧⎪⎨⎪⎩α 1 = 2 α 2 = − α 3 = 4 .X = 2X 1 − 3X 2 + 4X 3.X = α 1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 α 1 , α 2 , α 3 ̄ A ̄ ̄ ̄ = ⎛⎜⎝1 3 5 73 4 5 11−2 −1 1 −⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 3 5 70 −5 −10 −0 5 11 8⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 3 5 70 −5 −10 −0 0 −1 −⎞⎟⎠.−3d 2d 1 +d 2 1 +d 2 d 2 +d 3 ⎧⎨⎩α 1 + 3α 2 + 5α 3 = 7 −5α 2 − 10α 3 = − α 3 = − ⇔⎧⎨⎩α 1 = − α 2 = 6 α 3 = − . X = −X 1 + 6X 2 − 2X 3.X = α 1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 α 1 , α 2 , α 3 ̄ A ̄ ̄ ̄ =⎛⎜ ⎜⎜⎝2 1 −1 31 3 2 −3 0 2 118 5 2 m ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 3 2 −2 1 −1 33 0 2 118 5 2 m ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 3 2 −0 −5 −5 50 −9 −4 140 −19 −14 m + 8 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 3 2 −0 1 1 −0 −9 −4 140 −19 −14 m + 8 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 3 2 −0 1 1 −0 0 5 50 0 5 m − 11 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 3 2 −0 1 1 −0 0 5 50 0 0 m − 16 ⎞⎟ ⎟⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 2 −2d 1 +d 2 −3d 1 +d 3 −8d 1 +d 4 − 15 d 2 9d 2 +d 3 19d 2 +d 4 −d 3 +d 4 ⇔ m − 16 = 0 ⇔ m = 16. X = α 1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 α 1 , α 2 , α 3 ⎧⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎩ α 1 − α 2 − 2α 3 = − 2 α 1 + 5α 2 + 3α 3 = 1 3 α 1 + 6α 2 − 2α 3 = − 4 α 1 + α 2 + 5α 3 = 25 ⇔⎧⎪⎨⎪⎩α 1 = 2 α 2 = − α 3 = 4 .X = 2X 1 − 3X 2 + 4X 3.X = xX 1 + yX 2 ⇔ (7, 26, −7, −28) = x(4, 2, 1, −1) + y(1, −4, 2, 5) ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩4 x + y = 7 2 x − 4y = 26 x + 2y = − −x + 5y = − ⇔ { x = 3 y = −. X = 3X 1 − 5X 2. X = xX 1 + yX 2 + zX 3 ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩3 x + y = 3 −2x + y + 2z = − 4 x + 7y + 3z = − 5 x − 3y − 4z = 15 ⇔⎧⎨⎩x = 2 y = − z = 1 ⇒ X = 2X 1 − 3X 2 + X 3.Câu 13 Xét Biến đổi ma trận hệ số mở rộng: Hệ luôn có nghiệm và ta có điều phải chứng minh. Câu 14 Có Vậy Câu 15 Vì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số thực không đồng thời bằng 0 sao cho Do không biểu diễn tuyến tính qua các véctơ nên Vậy Mặt khác số thực không đồng thời bằng 0 nên hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính. Câu 16 Giả sử suy ra hệ véctơ có số véctơ là lớn hơn số chiều của nên phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy tồn tại số thực không đồng thời bằng 0 sao cho Do khôngbiểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ nên Vậy (do hệ véctơ độc lập tuyến tính). Vậy (mâu thuẫn với số thực không đồng thời bằng 0). Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 17 Xét hệ phương trình thuần nhất có ma trận hệ số: Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính X = xX 1 + yX 2 + zX 3 ⇔ ⎧⎪⎨⎪⎩x − 2y + 4z = −m 3 x − y + 2z = 2 mx + y − 3z = m .̄ A ̄ ̄ ̄ = ⎛⎜⎝1 −2 4 −m 3 −1 2 2 m 1 −3 m ⎞⎟⎠−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −2 4 −m 0 5 −10 3 m + 2 0 2 m + 1 −4m − 3 m 2 + m ⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎝1 −2 4 −m 0 5 −10 3 m + 2 0 0 −1 − ⎞⎟⎟⎠.−3d 1 +d 2 −md 1 +d 3 − 2m+1 5 d 2 +d 3 m 2 +2m+ 5 ̄ A ̄ ̄ ̄ = ⎛⎜⎝1 1 1 61 1 2 91 2 3 14⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 1 1 60 0 1 30 1 2 8⎞⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 1 1 60 1 2 80 0 1 3⎞⎟⎠.−d −d 1 +d 2 1 +d 3 doi_cho_d 1 &d 3 X = xX 1 + yX 2 + zX 3 ⇔ ⎧⎨⎩x + y + z = 6 y + 2z = 8 z = 3 ⇔⎧⎨⎩x = 1 y = 2 z = 3 ⇒ X = X 1 + 2X 2 + 3X 3.{X 1 , X 2 ,... , Xm} m α 1 , α 2 ,... , αm α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm = On. Xm X 1 , X 2 ,... , Xm−1 αm = 0. α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αm−1Xm−1 = On. m − 1 α 1 , α 2 ,... , αm−1 {X 1 , X 2 ,... , Xm−1} m > n − 1 X 1 , X 2 ,... , Xm, X m + 1 > n Rn m + 1 α 1 , α 2 ,... , αm, α α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm + αX = On. X {X 1 , X 2 ,... , Xm} α = 0. α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm = On ⇔ α 1 = α 2 =... = αm = 0 {X 1 , X 2 ,... , Xm} ⊂ Rn α 1 = α 2 =... = αm = α = 0 m + 1 α 1 , α 2 ,... , αm, α A =⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 53 4 2 52 −3 3 51 −1 4 m ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 1 5 150 1 5 m + 5 ⎞⎟ ⎟⎟⎠3d 1 +d 2 2d 1 +d 3 d 1 +d 4 −−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 0 45 1300 0 45 10 m + 30 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 50 10 5 200 0 45 1300 0 0 10 m − 100 ⎞⎟ ⎟⎟⎠−d 2 +10d 3 −d 2 +10d 4 −d 3 +d 4 ⇔ 10m − 100 ≠ 0 ⇔ m ≠ 10. Câu 18 Vì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số thực không đồng thời bằng 0, sao cho Nếu (do hệ véctơ độc lập tuyến tính), điều này mâu thuẫn với giả thiết số thực khôngđồng thời bằng 0. Vậy Điều đó chứng tỏ được biểu diễn tuyến tính qua các véctơ Ta chứng minh biểu diễn duy nhất Thật vậy, giả sử có hai biểu diễn tuyến tính Ta có điều phải chứng minh. Câu 21 Giả sử ngược phụ thuộc tuyến tính khi đó tồn tại 3 số thực không đồng thời bằng 0 sao cho (vô lí). Vậy độc lập tuyến tính. Câu 22 Xét điều kiện: Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính. {X 1 , X 2 ,... , Xm, X} m + 1 α 1 , α 2 ,... , αm, α α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm + αX = O. α = 0 ⇒ α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm = O ⇔ α 1 = α 2 =... = αn = 0 {X 1 , X 2 ,... , Xm} ⊂ Rn m + 1 α 1 , α 2 ,... , αm, α α ≠ 0 ⇒ X = − α 1 (α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm). X X 1 , X 2 ,... , Xm. X = α 1 X 1 + α 2 X 2 +... +αmXm = β 1 X 1 + β 2 X 2 +... +βmXm ⇔ (α 1 − β 1 )X 1 + (α 2 − β 2 )X 2 +... +(αm − βm)Xm = O ⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩α 1 − β 1 = 0 α 2 − β 2 = 0 ... αm − βm = 0 ⇒ αi = βi, ∀i = 1, 2,... , m. Q = {A, B, A + 2C} α 1 , α 2 , α 3 α 1 A + α 2 B + α 3 (A + 2C) = O ⇔ (α 1 + α 3 )A + α 2 B + 2α 3 C = O ⇔ ⎧⎪⎨⎪⎩α 1 + α 3 = 0 α 2 = 0 2 α 3 = 0 ⇔ α 1 = α 2 = α 3 = 0. Q = {A, B, A + 2C}a(v 1 + v 2 ) + b(v 2 + v 3 ) + c(v 3 + v 1 ) = O ⇔ (a + c)v 1 + (a + b)v 2 + (b + c)v 3 = O ⇔⎧⎪⎨⎪⎩a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0 ⇔ a = b = c = 0. B 2 = {v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 3 + v 1 } Câu 29 Vì hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại số thực không đồng thời bằng 0 sao cho Nếu vì hệ véctơ độc lập tuyến tính, lúc này mâu thuẫn với giả thiết các số thực không đồng thời bằng 0. Vậy Ta có điều phải chứng minh. Câu 30 a) Xét phương trình: Trong (*) thay chia hai vế cho ta được tiếp tục thay Tương tự như vậy có Vậy các đa thức độc lập tuyến tính trong Câu 31 Xét điều kiện: Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính. {u 1 , u 2 ,... , un, un+1} n + 1 a 1 , a 2 ,... , an, an+ a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun + an+1un+1 = O. an+1 = 0 ⇒ a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun = O ⇔ a 1 = a 2 =... = an = 0 {u 1 , u 2 ,... , un} an+1 ≠ 0 ⇒ un+1 = − 1 (a 1 u 1 + a 2 u 2 +... +anun). an+ 6 ∑ i= biBi = 0 ⇔ 6 ∑ i= bixi(1 − x)6−i = 0(∗). x = 0 ⇒ b 0 = 0 ⇒ 6 ∑ i= bixi(1 − x)6−i = 0, x b 1 + 6 ∑ 2= bixi−1(1 − x)6−i = 0, x = 0 ⇒ b 1 = 0. b 2 = b 3 =... = b 6 = 0. B 0 , B 1 ,... , B 6 V. a 1 (u 1 + u 2 ) + a 2 (u 2 + u 3 )+... +an−1(un−1 + un) + an(un + u 1 ) = On ⇔ (a 1 + a 2 ) u 2 + (a 2 + a 3 ) u 3 +... + (an−2 + an−1) un−1 + (an−1 + an) un + (an + a 1 ) u 1 = On |
