Câu hỏi: Mẹo đặt nhân tử chung?
Trả lời:
- Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc [] để làm nhân tử chung.
- Các số hạng bên trong dấu [] có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
Cùng Top lời giải tìm hiểu về mẹo đặt nhân tử chung và các cách phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
1. Khái niệm:
Phân tích đa thức thành nhân tử [hay thừa số] là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
2. Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình.
3. Phương pháp đặt nhân tử chung:
Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc [] để làm nhân tử chung.
Các số hạng bên trong dấu [] có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
4. Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
Có 8 cách phân tích đa thức thành nhan tử
- Phương phápđặtnhân tửchung.
-Phương phápdùng hằng đẳngthức.
-Phương phápnhóm nhiều hạngtử
-Phương pháptách.
-Phương phápthêm bớt cùng một hạngtử
-Phương phápđặt biến phụ
-Phương phápgiảm dần số mũ của lũy thừa.
-Phương pháphệ số bất định.
5. Bài tập vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a] 3x – 6y; b] 2/5 x2+ 5x3+ x2y;
c] 14x2y – 21xy2+ 28x2y2; d] 2/5x[y – 1] – 2/5y[y – 1];
e] 10x[x – y] – 8y[y – x].
Lời giải:
a] 3x – 6y = 3 . x – 3 . 2y = 3[x – 2y]
b] 2/5 x2+ 5x3+ x2y = x2[2/5+ 5x + y]
c] 14x2y – 21xy2+ 28x2y2= 7xy . 2x – 7xy . 3y + 7xy . 4xy = 7xy[2x – 3y + 4xy]
d] 2/5 x[y – 1] – 2/5y[y – 1] = 2/5[y – 1][x – y]
e] 10x[x – y] – 8y[y – x] =10x[x – y] – 8y[-[x – y]]
= 10x[x – y] + 8y[x – y]
= 2[x – y][5x + 4y]
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a] 15 . 91,5 + 150 . 0,85;
b] x[x – 1] – y[1 – x] tại x = 2001 và y = 1999.
Lời giải:
a] 15 . 91,5 + 150 . 0,85 = 15 . 91,5 + 15 . 8,5
= 15[91,5 + 8,5] = 15 . 100 = 1500
b] x[x – 1] – y[1 – x] = x[x – 1] – y[-[x – 1]]
= x[x – 1] + y[x – 1]
= [x – 1][x + y]
Tại x = 2001, y = 1999 ta được:
[2001 – 1][2001 + 1999] = 2000 . 4000 = 8000000
Bài 3: Tìm x, biết:
a] 5x[x -2000] – x + 2000 = 0;
b] x3– 13x = 0
Lời giải
a] 5x[x -2000] – x + 2000 = 0
5x[x -2000] – [x – 2000] = 0
[x – 2000][5x – 1] = 0
Hoặc 5x – 1 = 0 => 5x = 1 => x =1/5
Vậy x =1/5; x = 2000
b] x3– 13x = 0
x[x2– 13] = 0
Hoặc x = 0
Hoặc x2– 13 = 0 => x2= 13 => x = ±√13
Vậy x = 0; x = ±√13
Bài 4: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 [với n là số tự nhiên]
Bài giải:
55n + 1– 55nchia hết cho 54 [n∈ N]
Ta có 55n + 1– 55n= 55n. 55 – 55n
= 55n[55 – 1]
= 55n. 54
Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n . 54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.
Vậy 55n + 1– 55nchia hết cho 54.
Bài 5:Tính nhanh:
a, 85.12,7 + 5.3.12,7
b, 52.143 – 52.39 – 8.26
Lời giải:
a, 85.12,7 + 5.3.12,7
= 12,7.[85 + 5.3]
= 12,7.100 = 1270
b, 52.143 – 52.39 – 8.26
= 52.143 – 52.39 – 52.4
= 52.[143 – 39 – 4]
= 52.100 = 5200
Bài 6:Phân tích thành nhân tử:
a, 5x – 20y
b, 5x[x – 1] – 3x[x – 1]
c, x[x + y] – 5x – 5y
Lời giải:
a, 5x – 20y = 5x – 5.4y = 5[x – 4y]
b, 5x[x – 1] – 3x[x – 1] = x[x – 1][5 – 3] = 2x[x – 1]
c, x[x + y] – 5x – 5y = x[x + y] – 5[x + y] = [x + y][x – 5]
Bài 7:Tính giá trị của các biểu thức sau:
a, x2+ xy + x tại x = 77 và y = 22
b, x[x – y] + y[y – x] tại x= 53 và y =3
Lời giải:
a, Ta có: x2+ xy + x = x[x + y + 1]
Thay x = 77, y = 22 vào biểu thức, ta được:
x[x + y + 1] = 77.[77 + 22 + 1] = 77.100 = 7700
b, Ta có: x[x – y] + y[y – x] = x[x – y] – y[x – y] = [x – y][x – y] = [x – y]2
Thay x = 53, y = 3 vào biểu thức ta được:
[x – y]2= [53 – 3]2= 502= 2500
Bài 8:Tìm x biết:
a, x + 5x2= 0
b, x + 1 = [x + 1]2
c, x3+ x = 0
Lời giải:
a, Ta có: x + 5x2= 0⇔ x[1 + 5x] = 0⇔ x = 0 hoặc 1 + 5x = 0
1 + 5x = 0⇒ x = - 1/5 . Vậy x = 0 hoặc x = - 1/5
b, Ta có: x + 1 = [x + 1]2
⇔ [x + 1]2– [x + 1] = 0
⇔ [x + 1][[x + 1] – 1] = 0
⇔ [x + 1].x = 0
⇔ x = 0 hoặc x + 1 = 0
x + 1 = 0⇒ x = -1.
Vậy x = 0 hoặc x = -1.
c, Ta có: x3+ x = 0⇒ x[x2+ 1] = 0
Vì x2≥ 0 nên x2+ 1 ≥ 1 với mọi x
Vậy x = 0
Bài 9:Chứng minh rằng: n2[n + 1] + 2n[n + 1] luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Lời giải:
Ta có n2[n + 1] + 2n[n + 1] = n[n + 1][n + 2]
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên [n + 1]⋮ 2
n, n + 1, n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp,
nên n[n + 1][n + 2]⋮ 3 mà ƯCLN [2;3] = 1
vậy n[n + 1][n + 2]⋮ [2.3] = 6
Bài tập Toán lớp 4: Dạng toán tính nhanh
A. Một số công thức cần nhớ để thực hiện tính nhanh
1. Tính chất của phép cộng
+ Tính chất giao hoán:Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi
a + b = b + a
+ Tính chất kết hợp:Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = [a + b] + c = a + [b + c]
2. Tính chất của phép trừ
+ Trừ một số cho một tổng:Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại
a – [b + c] = [a – b] - c
+ Trừ một tổng cho một số:Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
[a + b] – c = [a – c] + b = [b – c] + a
3. Tính chất của phép nhân
+ Tính chất giao hoán:Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a x b = b x a
+ Tính chất kết hợp:Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
a x b x c = [a x b] x c = a x [b x c]
+ Nhân với số 1:Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.
a x 1 = 1 x a = a
+ Nhân một số với một tổng:Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
a x [b + c] = a x b + a x c
+ Nhân một số với một hiệu:Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau
a x [b – c] = a x b – a x c
4. Tính chất của phép chia
+ Chia một tổng cho một số:Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
[a + b] : c = a : c + b : c
+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau
[a – b] : c = a : c – b : c
+ Chia một số cho một tích:Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : [b x c] = a : b : c = a : c : b
+ Chia một tích cho một số:Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó [nếu chia hết], rồi nhân kết quả với thừa số kia.
[a x b] : c = a : c x b = b : c x a
+ Chia cho số 1:Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó
a : 1 = a
HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍNH NHANH
Dạng 1:Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng [hoặc hiệu] là các số tròn chục , tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng [trừ] các kết quả lại.
Ví dụ: Tính nhanh:
VD1: 349 + 602 + 651 +398
= [346 + 651 ] + [602 +398]
= 1000 + 1000
= 2000
VD2: 3145 - 246 + 2347 - 145+4246 -347
=[3145 - 145] + [4246 -246]+ [2347 -347]
= 3000 + 4000 + 2000
= 7000 + 2000
= 9000
* Bài tập tương tự:
a. 815 - 23 - 77 + 185
b. 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653
c. 1 + 3+5+ 7 + 9+ 11 + 13 + 15 + 17 +19
d. 52 - 42 + 37 + 28 - 38 + 63
Dạng 2:Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….
Khi hướng dẫn học sinh làm dạng bài tập này, giáo viên cần giúp học sinh nắm được các kiến thức về : một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….
+ Một số nhân với một tổng: a x [b + c] = a x b + a x c
a x b + a x c = a x [b +c]
+ Một số nhân vớimộthiệu: a x [b - c] = a x b - a xc
a x b - a x c = a x [b - c]
+ Một tổng chia cho một số: [a + b + c] : d = a : d + b : d + c : d
a: d + b : d + c: d = [a + b + c] : d
Ví dụ: 19 x 82 + 18x19 15 : 3 + 45 : 3 + 27 :3
= 19 x [ 82+ 18] = [15 + 45 + 27] :3
= 19x100= 87 : 3
=1900=29
- Với những biểu thức chưa có thừa số chung, Gv gợi ý để học sinh tìm ra thừa số chung bằng cách phân tích một số ra một tích hoặc từ một tích thành một số....
VD 1: 35 x 18 - 9 x 70 + 100
= 35 x 2 x 9 - 9 x 70 + 100
= 70 x 9 - 9 x 70 + 100
= 0 + 100
= 100
Trường hợp này giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh phân tích số 18 = 9 x 2 để làmbài
VD 2: 326 x 78 + 327 x 22
Biểu thức này chưa có thừa số chung, GV cần gợi ý để học sinh nhận thấy:327
= 326 + 1. Từ đó học sinh sẽ tìm được thừa số chung là 326 và tính nhanh dễ dàng
326 x 78 + 327 x 22
= 326 x 78 + [326 + 1] x22
= 326 x 78 + 326 x 22 + 1 x 22
= 326 x [78 + 22] + 22
= 326 x 100 + 22
= 32600 + 22
= 32622
VD3: 4 x 113 x 25 - 5 x 112 x 20
Với biểu thức này, GV cần gợi ý giúp học sinh nhận thấy được 4 x 25 = 100 và 5 x 20 = 100. Từ đó học sinh sẽ đặt được thừa số chung là 100 . Cụ thể:
4 x 113 x 25 - 5 x 112 x 20
= 4 x 25 x 113 - 5 x 20 x 112
=100 x 113 - 100 x112
= 100 x [ 113 - 112]
= 100 x 1
= 100
* Bài tập tương tự:
54 x 113 + 45 x 113 +113
54 x 47 - 47 x 53 - 20 -27
10000 - 47 x 72 - 47 x 28
[145 x 99 + 145] - [143 x 101 - 143]
1002 x 9 - 18
8 x 427 x 3 + 6 x 573 x4
2008 x 867 + 2009 x133
Dạng 3: Vận dụng tính chất của các phép tính để tính giá trị của biểu thức bằng cách thuận tiện nhất
Đó là các tính chất: 0 nhân với một số, 0 chia cho một số, nhân với 1 , chia cho1,….
Khi tính nhanh giá trị biểu thức dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quan sát biểu thức, không vội vàng làm ngay. Thay vì việc học sinh loay hoay tính giá trị các biểu thức phức tạp, học sinh cần quan sát để nhận biết được biểu thức đó có phép tính nào có kết quả đặc biệt hay không [cho kết quả bằng 0, bằng 1,…] Từ đó thực hiện theo cách thuận tiện nhất.
Ví dụ 1: [20 + 21 + 22 +23 + 24 + 25] x [16 - 2 x 8]
Ta nhận thấy 16 - 2 x 8 = 16 - 16 = 0
Mà bất kì số nào nhân với 0 cũng bằng 0 nên giá trị biểu thức trên bằng 0 Ví dụ 2: 1235 x 6789 x [630 - 315 x 2]: 1996
Ta nhận thấy: 630 - 315 x 2 = 630 - 630 = 0
Vì vậy 1235 x 6789 x [630 - 315 x 2] = 0
Giá trị của biểu thức trên bằng 0 vì 0 chia cho bất kì số nào cũng bằng 0 Ví dụ 3: [m : 1 - m x 1] : m x 2008 + m + 2008] với m là số tự nhiên
Ta xét số bị chia: m : 1 - m x 1 = m - m = 0
Giá trị biểu thức trên sẽ bằng 0 vì 0 chia cho bất kì số nào cũng bằng 0
* Bài tập tương tự:
a. [72 - 8 x9 ] : [ 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25]
b. [500 x 9 - 250 x18 ] x [1 + 2 + 3 + ...+9]
c. [11 + 13 + 15 + ...+ 19] x [6 x 8 - 48]
Dạng 4: Vận dụng một số kiến thức về dãy số để tính giá trị của biểu thức theo cách thuận tiện nhất
- Giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức về cách tìm số số hạng của một dãy số cách đều để từ đó học sinh vận dụng vào tính nhanh tổng của một dãy số cáchđều
Số các số hạng = [Số hạng cuối - số hạng đầu] : khoảng cách + 1
- Sau khi học sinh nắm được cách tìm số hạng của một dãy số cách đều, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tính nhanh tổng dãy số cách đều theo các bước:
Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó
Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó [ Lấy số các số hạng chia 2]
Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp, thông thường nhóm số hạng đầu tiên với số cuối cùng của dãy số, cứ lần lượt làm như vậy đếnhết
Bước 4: Tính giá trị của một cặp [ các giá trị của từng cặp là bằng nhau]
Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấy số cặp nhân với giá trị của một cặp
* Lưu ý trường hợp khi chia số cặp còn dư 1, ta cũng làm tương tự nhưng có một số không ghép cặp, ta nên chọn số không ghép cặp đó cho phù hợp, thông thường ta nên chọn số đứng đầu tiên của dãy hoặc số đứng cuối cùng của dãy
Ví dụ 1: Tính tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 100 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 98 + 99 + 100
Dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 có số các số hạng là: [100 - 1 ] : 1 + 1 = 100 [số]
100 số tạo thành số cặp là: 100 : 2 = 50 [cặp]
Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 +5+...........+ 96 + 97 + 98 + 99 +100
= [1 + 100] + [2 + 99] + [3 + 98] + [4 + 97] + [5 + 96]+.....
= 101 + 101 + 101 + 101 +101 +......
= 101 x 50 = 5050
Với bài tập này, GV có thể khuyến khích học sinh khá giỏi hơn lựa chọn cách ghép cặp:
[1 + 99 ] + [2 + 98] + [3 + 97] +..........+ 100 +50
= 50 x 100 + 50 = 5050
Ví dụ 2: Tính nhanh tổng các số chẵn có hai chữ số
Các số chẵn có hai chữ số lập thành một dãy số bắt đầu từ 10, kết thúc là 98, cách đều nhau 2 đơn vị
Ta có tổng các số chẵn có hai chữ số là:
10 + 12 + 14 + 16+...... +92 + 94 + 96 +98
Dãy số trên có số các số hạng là:
[98 - 10] : 2 + 1 = 45[số]
45 số tạo thành số cặplà:
45 : 2 = 22 cặp [dư 1 số]
[Trong các số của dãy, ta chọn để riêng 10 và ghép cặp các số còn lại là phù hợpnhất]
Ta có : 10 + 12 + 14 +16+...........+92 + 94 + 96 +98
=10 + [12 + 98] + [14 + 96] + [16 + 94] +........
= 10 + 110 x 22
= 2430
B. Bài tập nâng cao lớp 4
Bài 1:Tính nhanh:
| a, 237 + 357 + 763 | b, 2345 + 4257 - 345 |
| c, 4276 + 2357 + 5724 + 7643 | d, 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653 |
| e, 2376 + 3425 - 376 - 425 | g, 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347 |
Bài 2:Tính nhanh:
a, 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
b, 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25
c, 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15
d, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
e, 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25
C. Đáp án bài tập nâng cao Toán lớp 4
Bài 1:
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng để giải bài toán.
Lời giải:
a, 237 + 357 + 763 = [237 + 763] + 357 = 1000 + 357 = 1357
b, 2345 + 4257 - 345 = [2345 - 345] + 4257 = 2000 + 4257 = 6257
c, 4276 + 2357 + 5724 + 7643 = [4276 + 5724] + [2357 + 7643] = 10000 + 10000 = 20000
d, 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653
= 3145 + [2496 + 7504] + [5347 + 4653]
= 3145 + 10000 + 10000
= 3145 + 20000 = 23145
e, 2376 + 3425 - 376 - 425
= [2376 - 376] + [3425 - 425]
= 2000 + 3000 = 5000
g, 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347
= [3145 - 145] + [4246 - 246] + [2347 - 347]
= 3000 + 4000 + 2000 = 9000
Bài 2:
Hướng dẫn:
Mỗi quan hệ giữa tổng các số hạng giống nhau và phép nhân:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 = 2 x 5
Lời giải:
a, 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 10 = 50
b, 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 = 25 x 8 = 200
c, 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15 = 45 x 4 + 15 x 4 = 180 + 60 = 240
d, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
= [2 + 18] + [4 + 16] + [6 + 14] + [8 + 12] + 10
= 20 + 20 + 20 + 20 + 10
= 20 x 4 + 10 = 80 + 10 = 90
e, 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25
= 125 + 125 + 125 + 125 - [25 + 25 + 25 + 25]
= 125 x 4 - 25 x 4
= 500 - 100 = 400