Giải tích (Tập 1): Giáo trình lí thuyết và bài tập có hướng dẫn - Nguyễn Xuân Liêm giới thiệu đến các bạn những nội dung sau: Tập số thực, giới hạn, đạo hàm, tích phân, không gian R, hàm liên tục trên không gian R, đạo hàm của một biến số, đạo hàm riêng của hàm số có nhiều biến số. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt nội dung chi tiết của tài liệu.

Chủ đề:

• Giải tích Tập 1
• Giáo trình Giải tích
• Giáo trình lí thuyết giải tích
• Tập số thực
• Đạo hàm của một biến số
• Đạo hàm riêng của hàm số
• Tích phân xác định
• 1. review for final exam 2008 1st Edition
• 2. the girls i love before. T&

  xF4;i &

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  xFA;c &

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  x21D2; f1(x0)f2(x0) = f1(x1)f2(x2) 6= 0 M&

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  x2212; A(x2) &

  x21D2; A(x1 &

  x2212; x2) = x1 &

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  x2212; x2) = A(x1) &

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  x1EE9;ng minh r&

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  x1EB7;c Y = Kerf. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

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  x1EF1;c s&

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  x111;&

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  x2212; f(x) f(y0)y0 th&

  xEC; f(z) = f(x &

  x2212; f(x) f(y0) y0) = f(x) &

  x2212; f(x) f(y0) f(y0) = f(x) &

  x2212; f(x) = 0 &

  x21D2; z = x &

  x2212; f(x) f(y0) y0 &

  x2208; Kerf &

  x2282; Y Suy ra x = z + f(x) f(y0) y0 &

  x2208; Y , t&

  x1EE9;c l&

  xE0; X = Y . B&

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  x1EE9;ng minh r&

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  x2208; I, j = 1, n &

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  xEC; &

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  x1EBF;u x = 0 ho&

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  x1EBF;u x, y 6= 0, ta xem x c&

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  xEA;n v&

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  x111;&

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  x1EBF;u Cx &

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  xF3; kx + yk = n P j=1 xij + m P s=1 |xts | = kxk + kyk. B&

  xE2;y gi&

  x1EDD; ta gi&

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  x2205;. Kh&

  xF4;ng m&

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  x2212;k = tm&

  x2212;k th&

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  x2212;k} = {tm, . . . , tm&

  x2212;k}. Ta c&

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  x2212;l + ytm&

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  x2212;l + ytm&

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  x2212;l + ytm&

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  xEA;n [a, b], kxk = sup t&

  x2208;[a,b] |x(t)| d) X = C[a,b], c&

  xE1;c h&

  xE0;m s&

  x1ED1; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n [a, b], kxk = ( b R a |x(t)|2 dt)1/2 e) X = l1 , t&

  x1EAD;p t&

  x1EA5;t c&

  x1EA3; c&

  xE1;c d&

  xE3;y s&

  x1ED1; th&

  x1EF1;c ho&

  x1EB7;c ph&

  x1EE9;c (xn)nsao cho &

  x221E; P n=1 |xn| < +&

  x221E; v&

  xE0; kxk = &

  x221E; P n=1 |xn| Ch&

  x1EE9;ng minh. a) Ta c&

  xF3; v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, kxk &

  x2265; 0. kxk = 0 &

  x21D2; max i=1,n |xi| = 0 &

  x21D2; xi = 0 &

  x2200;i = 1, n &

  x21D2; x = 0 &

  x2200;x &

  x2208; X, &

  x2200;&

  x3BB; &

  x2208; K, ta c&

  xF3; k&

  x3BB;xk = max i=1,n |&

  x3BB;xi| = |&

  x3BB;| max i=1,n |xi| = |&

  x3BB;|kxk V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x, y, z &

  x2208; X, ta c&

  xF3; kx + yk = max i=1,n |xi + yi| &

  x2264; max i=1,n |xi| + max i=1,n |yi| Suy ra kx + yk &

  x2264; kxk + kyk. V&

  x1EAD;y (X, k.k) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. b) T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; a) c) T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1;. d) Ta c&

  xF3; kxk = ( b R a |x(t)|2 dt)1/2 &

  x2265; 0 v&

  xE0; kxk = ( b R a |x(t)|2 dt)1/2 = 0 &

  x21D2; b R a |x(t)|2 dt = 0. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; x 6= 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; c&

  xF3; (&

  x3B1;, &

  x3B2;) sao cho x(t) 6= 0, &

  x2200;t &

  x2208; (&

  x3B1;, &

  x3B2;) n&

  xEA;n b R a |x(t)|2 dt &

  x2265; &

  x3B2; R &

  x3B1; |x(t)|2 dt > 0, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n.

• 7. x &

  x2208; X, &

  x3BB; &

  x2208; K, ta c&

  xF3; k&

  x3BB;xk = |&

  x3BB;|kxk. &

  x2200;x, y &

  x2208; X, ta c&

  xF3; theo b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c t&

  xED;ch ph&

  xE2;n th&

  xEC; ( b Z a |x(t) + y(t)|2 dt)1/2 &

  x2264; ( b Z a |x(t)|2 dt)1/2 + ( b Z a |y(t)|2 dt)1/2 &

  x21D2; kx + yk &

  x2264; kxk + kyk. V&

  x1EAD;y (X, k.k) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. e) Ta c&

  xF3; kxk = &

  x221E; P n=1 |xn| &

  x2265; 0, &

  x2200;x &

  x2208; X. kxk = &

  x221E; P n=1 |xn| = 0 &

  x21D2; xn = 0, &

  x2200;n &

  x2208; N &

  x21D2; x = 0. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, &

  x3BB; &

  x2208; K, ta c&

  xF3; k&

  x3BB;xk = |&

  x3BB;|kxk. &

  x2200;x, y &

  x2208; X, ta c&

  xF3; |xn + yn| &

  x2264; |xn| + |yn|, &

  x2200;n &

  x2208; N &

  x21D2; &

  x221E; X n=1 |xn + yn| &

  x2264; &

  x221E; X n=1 |xn| + &

  x221E; X n=1 |yn| &

  x21D2; kx + yk &

  x2264; kxk + kyk. V&

  x1EAD;y (X, k.k) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.7. Cho (xn)n, (yn)n l&

  xE0; hai d&

  xE3;y Cauchy trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng &

  x3B1;n = kxn &

  x2212; ynk h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EC9; c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh (&

  x3B1;n)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong R th&

  xEC; (&

  x3B1;n)n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m, n &

  x2208; N ta c&

  xF3; |&

  x3B1;m &

  x2212; &

  x3B1;n| = |kxm &

  x2212; ymk &

  x2212; kxn &

  x2212; ynk| &

  x2264; kxm &

  x2212; ym &

  x2212; xn + ynk &

  x2264; kxm &

  x2212; xnk + kym &

  x2212; ynk. Do (xn)n, (yn)n l&

  xE0; hai d&

  xE3;y Cauchy trong X n&

  xEA;n khi m, n &

  x2192; &

  x221E; th&

  xEC; kxm &

  x2212; xnk &

  x2192; 0 v&

  xE0; kym &

  x2212; ynk &

  x2192; 0. Suy ra |&

  x3B1;m &

  x2212; &

  x3B1;n| &

  x2192; 0 khi m, n &

  x2192; &

  x221E;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.8. Cho k.k1, k.k2, . . . , k.kk l&

  xE0; c&

  xE1;c chu&

  x1EA9;n tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, &

  x3B1;1, &

  x3B1;2, . . . , &

  x3B1;k &

  x2208; R&

  x2217; +. 1. Ch&

  x1EE9;ng minh max{k.k1, . . . , k.kk} l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n. 2. Ch&

  x1EE9;ng minh k P i=1 &

  x3B1;kk.kk l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n.

• 8. &

  x2208; L(X, Y ), Y l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;o &

  x111;&

  xF3;. Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a k.ka : X &

  x2212;&

  x2192; R x 7&

  x2212;&

  x2192; kf(x)k1 Ch&

  x1EE9;ng minh k.ka l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi f &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. R&

  xF5;. 2. R&

  xF5;. 3. kxka = 0 &

  x21D4; kf(x)k1 = 0 &

  x21D4; f(x) = 0. f(x) = 0 &

  x21D2; x = 0 &

  x21D2; ker f = 0. V&

  x1EAD;y f &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh. C&

  xE1;c c&

  xF4;ng vi&

  x1EC7;c c&

  xF2;n l&

  x1EA1;i xin d&

  xE0;nh cho &

  x111;&

  x1ED9;c gi&

  x1EA3;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.9. Cho a > 1. Tr&

  xEA;n C[0, 1] x&

  xE9;t c&

  xE1;c chu&

  x1EA9;n sau kfk&

  x221E; = sup t&

  x2208;[0,1] |f(t)|, kfk1 = a 1 R 0 |f(t)| dt, &

  x2200;f &

  x2208; C[0, 1]. Ch&

  x1EE9;ng minh kfk = min{kfk1, kfk&

  x221E;} l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi a &

  x2264; 1 Ch&

  x1EE9;ng minh. N&

  x1EBF;u a &

  x2264; 1 th&

  xEC; kfk1 &

  x2264; kfk&

  x221E; n&

  xEA;n kfk = kfk1, r&

  xF5; r&

  xE0;ng l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n. L&

  x1EA5;y fn(t) = tn , &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1], &

  x2200;n &

  x2265; 0. Khi &

  x111;&

  xF3; kf0k1 = a, kf0k&

  x221E; = 1, do &

  x111;&

  xF3; kf0k = min(1, a). M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kfnk1 = a n+1, kfnk&

  x221E; = 1, do &

  x111;&

  xF3; kfnk = min(1, a n+1), &

  x2200;n &

  x2264; 1. &

  x2200;n, ta c&

  xF3;kf0 + fnk1 = a(1 + 1 n+1), kf0 + fnk&

  x221E; = 2, do &

  x111;&

  xF3; kf0 + fnk = min(2, a(1 + 1 n+1)). N&

  x1EBF;u k.k l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n th&

  xEC; n&

  xF3; th&

  x1ECF;a b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c tam gi&

  xE1;c, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; min(2, a(1 + 1 n + 1 )) &

  x2264; min(1, a) + min(1, a n + 1 ) Cho n &

  x2192; &

  x221E; ta &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c min(2, a) &

  x2264; min(1, a) + min(0, 1) Suy ra min(2, a) &

  x2264; min(1, a), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; a &

  x2264; 1.1 B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.10. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. T&

  xEC;m t&

  x1EA5;t c&

  x1EA3; c&

  xE1;c kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X ch&

  x1EE9;a trong m&

  x1ED9;t h&

  xEC;nh c&

  x1EA7;u. 1 min c&

  x1EE7;a hai chu&

  x1EA9;n ch&

  x1B0;a h&

  x1EB3;n l&

  xE0; chu&

  x1EA9;n.

• 9. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; L l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X v&

  xE0; B(a, ) &

  x2282; X sao cho L &

  x2282; B(a, ). L&

  x1EA5;y x &

  x2208; L t&

  xF9;y &

  xFD;. Khi &

  x111;&

  xF3; nx &

  x2208; L, &

  x2200;n &

  x2208; N. V&

  xEC; L &

  x2282; B(a, ) n&

  xEA;n nx &

  x2208; B(a, ), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; knx &

  x2212; ak , &

  x2200;n &

  x2208; N, t&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; knxk &

  x2264; knx &

  x2212; ak + kak + kak. Suy ra kxk + kak n . Cho n &

  x2192; &

  x221E; ta c&

  xF3; kxk = 0, hay x = 0. V&

  x1EAD;y L = {0}. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.11. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. T&

  xEC;m t&

  x1EA5;t c&

  x1EA3; c&

  xE1;c kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X ch&

  x1EE9;a m&

  x1ED9;t h&

  xEC;nh c&

  x1EA7;u. Ch&

  x1EE9;ng minh. G&

  x1ECD;i L l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X sao cho B(a, ) &

  x2282; L. R&

  xF5; r&

  xE0;ng a &

  x2208; L. L&

  x1EA5;y x &

  x2208; B(0, ), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; kxk . Khi &

  x111;&

  xF3; a + x &

  x2208; B(a, ) &

  x2282; L. Suy ra x &

  x2208; L, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; B(0, ) &

  x2282; L. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c &

  x2200;x &

  x2208; X, x 6= 0 ta c&

  xF3; x 2kxk &

  x2208; B(0, ) n&

  xEA;n x 2kxk &

  x2208; L. V&

  xEC; L l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con n&

  xEA;n x &

  x2208; L. Do &

  x111;&

  xF3;, X &

  x2282; L. V&

  x1EAD;y L = X. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.12. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; G l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng ho&

  x1EB7;c G = X ho&

  x1EB7;c &

  x25E6; G= &

  x2205;. Ch&

  x1EE9;ng minh. N&

  x1EBF;u &

  x25E6; G= &

  x2205; th&

  xEC; theo b&

  xE0;i 1.11 ta c&

  xF3; G = X. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.13. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. A : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, (An)n l&

  xE0; d&

  xE3;y c&

  xE1;c to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c t&

  x1EEB; X v&

  xE0;o Y . K&

  xED; hi&

  x1EC7;u U = {x &

  x2208; X| Anx kh&

  xF4;ng h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; Ax} v&

  xE0; V = {x &

  x2208; X| (Anx)n kh&

  xF4;ng ph&

  x1EA3;i l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy } Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng U v&

  xE0; V ho&

  x1EB7;c b&

  x1EB1;ng &

  x2205; ho&

  x1EB7;c tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; CU = XU = {x &

  x2208; X| Anx h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1;Ax} R&

  xF5; r&

  xE0;ng XU l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a X. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; x0 &

  x2208; U v&

  xE0; n&

  x1EBF;u x &

  x2208; CU th&

  xEC; &

  x2200;&

  x3BB; &

  x2208; K, &

  x3BB; 6= 0, x + &

  x3BB;x0 &

  x2208; U. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, n&

  x1EBF;u ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i x + &

  x3BB;x0 &

  x2208; CU ta suy ra x0 &

  x2208; CU , v&

  xF4; l&

  xFD;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; &

  x2200;x &

  x2208; CU , &

  x2200;n &

  x2208; N, x + 1 n x0 &

  x2208; U v&

  xE0; d&

  xE3;y x + 1 n x0 &

  x2192; x n&

  xEA;n x &

  x2208; U, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; CU &

  x2282; U. Do &

  x111;&

  xF3;, X = U &

  x222A; CU &

  x2282; U. V&

  x1EAD;y U = X. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; cho V .

• 10. 1.14. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; A &

  x2282; X sao cho XA l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh c&

  x1EE7;a X. Ch&

  x1EE9;ng minh A ho&

  x1EB7;c b&

  x1EB1;ng &

  x2205; ho&

  x1EB7;c tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh. Theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t &

  x25E6; XA= &

  x2205; ho&

  x1EB7;c XA = X. Suy ra A = &

  x2205; ho&

  x1EB7;c XA = &

  x2205;, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; A = &

  x2205; ho&

  x1EB7;c A = X. Do &

  x111;&

  xF3;, A ho&

  x1EB7;c b&

  x1EB1;ng &

  x2205; ho&

  x1EB7;c tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong X. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.15. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng trong kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, B(x0, r) = B0 (x0, r) v&

  xE0; int(B0 (x0, r)) = B(x0, r). Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. B(x0, r) = B0 (x0, r). Ta c&

  xF3; B(x0, r) &

  x2282; B0 (x0, r), do B0 (x0, r) &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n B(x0, r) &

  x2282; B0 (x0, r). Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, l&

  x1EA5;y x &

  x2208; B0 (x0, r) th&

  xEC; kx &

  x2212; x0k &

  x2264; r. Ta ch&

  x1ECD;n d&

  xE3;y (xn)n nh&

  x1B0; sau xn = 1 &

  x2212; 1 n x + 1 n x0, kxn&

  x2212;x0k = k1&

  x2212;1 nx+1 nx0&

  x2212;x0k = k(1&

  x2212;1 n)(x&

  x2212;x0)k = (1&

  x2212;1 n)kx&

  x2212;x0k &

  x2264; kx &

  x2212; x0k &

  x2264; r, &

  x21D2; kxn &

  x2212; x0k &

  x2264; r, &

  x2200;n &

  x2208; N&

  x2217; hay xn &

  x2208; B(x0, r), &

  x2200;n &

  x2208; N&

  x2217; hay (xn)n &

  x2282; B(x0, r). Ta c&

  xF3; kxn&

  x2212;xk = k1&

  x2212; 1 nx+ 1 nx0&

  x2212;xk = k1 n(&

  x2212;x+x0)k = 1 nk(&

  x2212;x+x0)k &

  x2264; r n, &

  x2200;n. Suy ra kxn &

  x2212; xk &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; V&

  x1EAD;y x &

  x2208; B(x0, r) hay B(x0, r) &

  x2283; B0 (x0, r). 2. int(B0 (x0, r)) = B(x0, r) Ta c&

  xF3; B(x0, r) &

  x2282; B0 (x0, r), suy ra B(x0, r) &

  x2282; int(B0 (x0, r)). M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; int(B0 (x0, r)) ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh kx&

  x2212;x0k r. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; kx &

  x2212; x0k = r. V&

  xEC; x &

  x2208; int(B0 (x0, r)) n&

  xEA;n c&

  xF3; s 0 sao cho B(x, s) &

  x2208; int(B0 (x0, r)). Ta l&

  x1EA5;y x1 = (1+ s 2r)x&

  x2212; sx0 2r , l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kx1 &

  x2212;xk = k(1 + s 2r)x &

  x2212; sx0 2r &

  x2212; xk = s 2rkx &

  x2212; x0k = s 2r.r = s 2 s. Suy ra x1 &

  x2208; B(x, s) n&

  xEA;n x1 &

  x2208; int(B0 (x0, r)) (&

  x2217;). H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, kx1 &

  x2212; x0k = k(1 + s 2r)x &

  x2212; sx0 2r &

  x2212; x0k = (1 + s 2r)kx &

  x2212; x0k = (1 + s 2r)r = r + s 2 r. &

  x21D2; x1 / &

  x2208; B0 (x0, r) &

  x21D2; x1 / &

  x2208; int(B0 (x0, r)), m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n v&

  x1EDB;i (&

  x2217;). V&

  x1EAD;y kx &

  x2212; x0k r hay x &

  x2208; B(x0, r). Suy ra int(B0 (x0, r)) = B(x0, r). NH&

  x1EAC;N X&

  xC9;T: C&

  xE1;c kh&

  x1EB3;ng &

  x111;&

  x1ECB;nh tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xFA;ng trong kh&

  xF4;ng gian m&

  xEA;tric. Ch&

  x1EB3;ng h&

  x1EA1;n, &

  x111;&

  x1ED1;i v&

  x1EDB;i m&

  xEA;tric r&

  x1EDD;i r&

  x1EA1;c2 (X, d) ta c&

  xF3; B0 (x0, 1) = X v&

  xE0; 2 Ta n&

  xEA;n ngh&

  x129; &

  x111;&

  x1EBF;n m&

  xEA;tric n&

  xE0;y khi t&

  xEC;m ph&

  x1EA3;n v&

  xED; d&

  x1EE5; v&

  x1EC1; s&

  x1EF1; kh&

  xE1;c nhau gi&

  x1EEF;a kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian m&

  xEA;tric. &

  x110;&

  xE2;y l&

  xE0; m&

  x1ED9;t trong nh&

  x1EEF;ng v&

  xED; d&

  x1EE5; ch&

  x1EE9;ng t&

  x1ECF; m&

  x1ED9;t m&

  xEA;tric ch&

  x1B0;a h&

  x1EB3;n sinh ra m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n.

• 11. = {x0}. M&

  x1ED9;t v&

  xED; d&

  x1EE5; kh&

  xE1;c l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian m&

  xEA;tric (N, d) v&

  x1EDB;i d &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a nh&

  x1B0; sau: d(m, n) = &

  xF8F1; &

  xF8F2; &

  xF8F3; 0 n&

  x1EBF;u m = n 1 1 + min(m, n) n&

  x1EBF;u n 6= m Ta c&

  xF3; B0 (0, 1) 6= B(0, 1). Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, B0 (0, 1) = {n &

  x2208; N : d(n, 0) &

  x2264; 1} = {n &

  x2208; N} = X B(0, 1) = {n &

  x2208; N : d(n, 0) 1} = {0} B(0, 1) = {0} B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.16. Cho A, B &

  x2282; X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. A &

  x111;&

  xF3;ng, B compact th&

  xEC; A + B &

  x111;&

  xF3;ng. 2. A, B compact th&

  xEC; A + B compact. 3. A, B &

  x111;&

  xF3;ng m&

  xE0; A + B kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. A &

  x111;&

  xF3;ng, B compact th&

  xEC; A + B &

  x111;&

  xF3;ng. L&

  x1EA5;y (zn)n &

  x2282; A + B, zn &

  x2192; z. Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh z &

  x2208; A + B. Do (zn)n &

  x2282; A + B n&

  xEA;n zn = xn + yn, xn &

  x2208; A, yn &

  x2208; B&

  x2200;n &

  x2208; N. V&

  xEC; (yn)n &

  x2282; B v&

  xE0; B compact n&

  xEA;n c&

  xF3; d&

  xE3;y con ynk &

  x2192; y0 &

  x2208; B, v&

  xE0; do d&

  xE3;y con znk c&

  x169;ng h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; z n&

  xEA;n xnk = znk &

  x2212; ynk h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; z &

  x2212; y0. Do A &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n z &

  x2212; y0 = x0 &

  x2208; A hay z = x0 + y0 &

  x2208; A + B. V&

  x1EAD;y zn &

  x2192; z &

  x2208; A + B n&

  xEA;n A + B l&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng. 2. A, B compact th&

  xEC; A + B compact. L&

  x1EA5;y (zn)n &

  x2282; A + B khi &

  x111;&

  xF3; zn = xn + yn, xn &

  x2208; A, yn &

  x2208; B&

  x2200;n &

  x2208; N. V&

  xEC; A, B compact n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i hai d&

  xE3;y con (xnk &

  x2282; (xn)n) v&

  xE0; ynl &

  x2282; (yn)n sao cho xnk &

  x2192; a0 &

  x2208; A, ynl &

  x2192; b0 &

  x2208; B T&

  x1EEB; hai d&

  xE3;y con tr&

  xEA;n ta tr&

  xED;ch ra &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c hai d&

  xE3;y con xnkj, ynkj sao cho xnkj &

  x2192; a0 &

  x2208; A, ynkj &

  x2192; b0 &

  x2208; B &

  x21D2; znkj = xnkj + ynkj &

  x2192; a0 + b0 &

  x2208; A + B 3. A, B &

  x111;&

  xF3;ng m&

  xE0; A + B kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. A = {n + 1 n |n &

  x2208; N} B = {&

  x2212;n|n &

  x2208; N}

• 12. &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; A + B &

  x2283; {1 n|n &

  x2208; N} nh&

  x1B0;ng (1 n)n&

  x2208;nn &

  x2282; A + B d&

  x1EA7;n v&

  x1EC1; 0 v&

  xE0; 0 / &

  x2208; A + B V&

  x1EAD;y A + B kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.17. N&

  x1EBF;u B(x0, r) &

  x2282; X v&

  xE0; Y l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X th&

  x1ECF;a B(x0, r) &

  x2282; Y . Ch&

  x1EE9;ng minh X = Y . Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EC9; c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh X &

  x2282; Y . Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, &

  x2200;x &

  x2208; X, l&

  x1EA5;y y = r 1+kxkx + x0, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; ky &

  x2212; x0k = rkxk 1 + kxk r &

  x21D2;&

  x2208; B(x0, r) &

  x2282; Y M&

  xE0; r 1+kxkx = y &

  x2212; x0 &

  x2208; Y do x0 &

  x2208; B(x0, r) &

  x2282; Y , n&

  xEA;n 1 + kxk r ( r 1 + kxk x) = 1 + kxk r (y &

  x2212; x0) &

  x2208; Y &

  x21D2; x &

  x2208; Y hay X &

  x2282; Y . V&

  x1EAD;y X = Y . B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.18. Kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;o &

  x1EDF; b&

  xE0;i 1.6 l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. Ch&

  x1EE9;ng minh. a) X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, l&

  x1EA5;y (xn)n l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy trong X, ta c&

  xF3; kxk &

  x2212; xmk &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E; hay max i=1,n |xi k &

  x2212; xi m| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E; Suy ra |xi k &

  x2212; xi m| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E;, &

  x2200;i = 1, n &

  x21D2; (xi n)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong K n&

  xEA;n xi n &

  x2192; xi 0 &

  x2208; K, &

  x2200;i = 1, n. Ta &

  x111;&

  x1EB7;t x0 = (x1 0, x2 0, . . . , xn 0 ), l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kxn &

  x2212; x0k = max i=1,n |xi n &

  x2212; xi 0| &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  x1EAD;y xn &

  x2192; x0 &

  x2208; Kn . b) X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, l&

  x1EA5;y (xn)n l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy trong X, ta c&

  xF3; kxk &

  x2212; xmk &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E;

• 13. xi m| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E; Suy ra |xi k &

  x2212; xi m| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E;, &

  x2200;i &

  x2208; N &

  x21D2; (xi n)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong K n&

  xEA;n xi n &

  x2192; xi 0 &

  x2208; K, &

  x2200;i =&

  x2208; N. &

  x110;&

  x1EB7;t x0 l&

  xE0; d&

  xE3;y (xn 0 )n&

  x2208;N ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh d&

  xE3;y n&

  xE0;y h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, t&

  x1EEB; b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c |xn 0 &

  x2212;xm 0 | = |xn 0 &

  x2212;xn k+xn k&

  x2212;xm k +xm k &

  x2212;xm 0 | &

  x2264; |xn 0 &

  x2212;xn k|+|xn k&

  x2212;xm k |+|xm k &

  x2212;xm 0 | ta c&

  xF3; (xn 0 )n&

  x2208;N l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong K n&

  xEA;n x0 h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. Ti&

  x1EBF;p theo, ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh (xn)n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; x0 trong X. kxn &

  x2212; x0k = sup i&

  x2208;N |xi n &

  x2212; xi 0| L&

  x1EA5;y 0 b&

  x1EA5;t k&

  xEC;, do xk n &

  x2192; x0 n khi k &

  x2192; &

  x221E; n&

  xEA;n v&

  x1EDB;i m &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n th&

  xEC; |xk n &

  x2192; x0 n| 2, &

  x2200;n &

  x2208; N n&

  xEA;n kxn &

  x2212; x0k = sup i&

  x2208;N |xi n &

  x2212; xi 0| &

  x2264; 2 hay xn &

  x2192; x0, n &

  x2192; &

  x221E;. c) X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, l&

  x1EA5;y (xn)n l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy trong X, ta c&

  xF3; kxn &

  x2212; xmk &

  x2192; 0, n, m &

  x2192; &

  x221E; hay sup t&

  x2208;[a,b] |xn(t) &

  x2212; xm(t)| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E; Suy ra |xn(t) &

  x2212; xm(t)| &

  x2192; 0, k, m &

  x2192; &

  x221E;, &

  x2200;t &

  x2208; [a, b] &

  x21D2; (xn(t))n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong K n&

  xEA;n xn(t) &

  x2192; x0(t) &

  x2208; K, &

  x2200;t &

  x2208; [a, b]. X&

  xE9;t x0 : [a, b] &

  x2212;&

  x2192; K t 7&

  x2212;&

  x2192; x0(t) = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(t) L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; x0 l&

  xE0; m&

  x1ED9;t h&

  xE0;m s&

  x1ED1; v&

  xE0; ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh n&

  xF3; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ta c&

  xF3; kxn &

  x2212; xmk &

  x2192; 0, n, m &

  x2192; &

  x221E;. L&

  x1EA5;y = 1, &

  x2203;n0 0 sao cho v&

  x1EDB;i n, m &

  x2265; n0 th&

  xEC; kxn &

  x2212; xmk 1 &

  x21D2; kxn0 &

  x2212; xmk 1 &

  x21D2; kxmk &

  x2264; kxn0 k + 1. V&

  xEC; xn0 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n &

  x2203;Kn0 0 sao cho |xn0 (t)| Kn0 &

  x2200;t &

  x2208; [a, b]. Do &

  x111;&

  xF3; kxn0 k = sup t&

  x2208;[a,b] |xn0 (t)| &

  x2264; Kn0 . V&

  x1EAD;y kxmk = sup t&

  x2208;[a,b] kxm(t)k &

  x2264; Kn0 + 1, &

  x2200;m &

  x2265; n0.

• 14. = max m=1,...,n0&

  x2212;1 {kxmk, Kn0 + 1} +&

  x221E;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kxmk &

  x2264; K, &

  x2200;m &

  x2208; N. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, kxmk = sup t&

  x2208;[a,b] kxm(t)k &

  x2264; K, &

  x2200;m &

  x2208; N, n&

  xEA;n |x0(t)| = | lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(t)| &

  x2264; K, &

  x2200;t &

  x2208; [a, b]. V&

  x1EAD;y x0 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, do x0(t) = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(t) n&

  xEA;n |xn(t) &

  x2212; x0(t)| &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;, suy ra kxn &

  x2212; x0k = sup t&

  x2208;[a,b] |xn(t) &

  x2212; x0(t)| &

  x2264; v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; xn &

  x2192; x0, n &

  x2192; &

  x221E;. d) X kh&

  xF4;ng l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. e) X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach3 . Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, ta l&

  x1EA5;y (xn )n l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy trong X, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kxm &

  x2212; xn k = &

  x221E; X n=1 |xm n &

  x2212; xk n| &

  x2192; 0, m, k &

  x2192; &

  x221E; Suy ra &

  x2200; 0, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 0 sao cho v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m, k &

  x2265; n0 th&

  xEC; s X n=1 |xm n &

  x2212; xk n| , &

  x2200;s &

  x2208; N(&

  x2217;) V&

  xE0; ta c&

  x169;ng c&

  xF3; |xm n &

  x2212; xk n| &

  x2192; 0, m, k &

  x2192; &

  x221E;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; (xn m)m&

  x2208;N l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong K n&

  xEA;n n&

  xF3; h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;, k&

  xED; hi&

  x1EC7;u x0 m = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn m v&

  xE0; x0 = (x0 m)m&

  x2208;N. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh xn &

  x2192; x0 , n &

  x2192; &

  x221E;. Trong (&

  x2217;) cho m &

  x2192; &

  x221E; ta c&

  xF3; &

  x2200;m &

  x2265; n0 s X n=1 |xm n &

  x2212; x0 n| &

  x2264; , &

  x2200;s &

  x2208; N &

  x21D2; lim s&

  x2192;&

  x221E; s X n=1 |xm n &

  x2212; x0 n| &

  x2264; &

  x21D2; &

  x221E; X n=1 |xm n &

  x2212; x0 n| &

  x2264; Suy ra (yn )n = (xn &

  x2212; x0 )n &

  x2208; X m&

  xE0; xn &

  x2208; X n&

  xEA;n x0 &

  x2208; X. K&

  x1EBF;t h&

  x1EE3;p v&

  x1EDB;i kxm &

  x2212; x0 k = &

  x221E; X n=1 |xm n &

  x2212; x0 n| &

  x2264; , &

  x2200;m &

  x2265; n0 3 Sau khi x&

  xE9;t d&

  xE3;y Cauchy (xn)n ta &

  x111;&

  xE3; ti&

  x1EBF;n h&

  xE0;nh theo 3 b&

  x1B0;&

  x1EDB;c. B&

  x1B0;&

  x1EDB;c 1: Ta d&

  x1EF1; &

  x111;o&

  xE1;n gi&

  x1EDB;i h&

  x1EA1;n x0 c&

  x1EE7;a d&

  xE3;y (xn)n. B&

  x1B0;&

  x1EDB;c 2: Ta ch&

  x1EE9;ng minh x &

  x2208; X. B&

  x1B0;&

  x1EDB;c 3: Ch&

  x1EE9;ng minh (xn)n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; x0

• 15. x0 , m &

  x2192; &

  x221E;. Ta c&

  xF3; &

  x111;i&

  x1EC1;u c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.19. Cho M l&

  xE0; m&

  x1ED9;t t&

  x1EAD;p con c&

  x1EE7;a X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng a) N&

  x1EBF;u M l&

  x1ED3;i th&

  xEC; M l&

  x1ED3;i. b) B0 (x0, r) v&

  xE0; B(x0, r) l&

  xE0; l&

  x1ED3;i. Ch&

  x1EE9;ng minh. a) &

  x2200;x, y &

  x2208; M, &

  x2200;&

  x3B1;, &

  x3B2; &

  x2265; 0 th&

  x1ECF;a &

  x3B1;+&

  x3B2; = 1 t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i (xn)n &

  x2282; M v&

  xE0; (yn)n &

  x2282; M sao cho xn &

  x2192; x, yn &

  x2192; y, n &

  x2192; &

  x221E;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; v&

  xEC; M l&

  x1ED3;i n&

  xEA;n &

  x3B1;x+&

  x3B2;y &

  x2208; M, &

  x2200;n hay (&

  x3B1;x + &

  x3B2;y)n &

  x2282; M h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; &

  x3B1;x + &

  x3B2;y &

  x2208; M. V&

  x1EAD;y M l&

  x1ED3;i b) B0 (x0, r) l&

  xE0; l&

  x1ED3;i. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, &

  x2200;x, y &

  x2208; B0 (x0, r), &

  x2200;&

  x3BB; &

  x2208; [0, 1] ta c&

  xF3; k&

  x3BB;x + (1 &

  x2212; &

  x3BB;)x &

  x2212; x0k = k&

  x3BB;(x &

  x2212; x0) + (1 &

  x2212; &

  x3BB;)(y &

  x2212; x0)k &

  x2264; &

  x3BB;kx &

  x2212; x0k + (1 &

  x2212; &

  x3BB;)ky &

  x2212; x0k &

  x2264; &

  x3BB;r + (1 &

  x2212; &

  x3BB;)r = r &

  x21D2; &

  x3BB;x + (1 &

  x2212; &

  x3BB;)x &

  x2208; B0 (x0, r) hay B0 (x0, r) l&

  x1ED3;i. Ho&

  xE0;n to&

  xE0;n t&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; cho B(x0, r). B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.20. 1. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; Y l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng X/Y l&

  xE0; Banach. 2. Cho M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X sao cho M v&

  xE0; X/M l&

  xE0; Banach. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng X Banach. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. X/Y l&

  xE0; Banach. L&

  x1EA5;y &

  x221E; P n=1 f xn l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1ED7;i h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; tuy&

  x1EC7;t &

  x111;&

  x1ED1;i trong kh&

  xF4;ng gian th&

  x1B0;&

  x1A1;ng X/Y . Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh n&

  xF3; h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; trong X/Y . Ta c&

  xF3; kf xnk = inf x&

  x2208;f xn kxk = inf x&

  x2208;Y kxn + xk n&

  xEA;n v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i un sao cho kxn + unk = kf xnk + 1 2n Do &

  x111;&

  xF3; &

  x221E; X n=1 kxn + unk = &

  x221E; X n=1 kf xnk + &

  x221E; X n=1 1 2n = &

  x221E; X n=1 kf xnk + 1

• 16. + unk h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; tuy&

  x1EC7;t &

  x111;&

  x1ED1;i trong kh&

  xF4;ng gian Banach X n&

  xEA;n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. G&

  x1ECD;i x0 l&

  xE0; t&

  x1ED5;ng c&

  x1EE7;a chu&

  x1ED7;i. Khi &

  x111;&

  xF3; lim n&

  x2192;&

  x221E; k n X k=1 (xn + un) &

  x2212; x0k v&

  xE0; n P k=1 (xn + un) &

  x2212; x0 l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; c&

  x1EE7;a l&

  x1EDB;p t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng n P k=1 (f xn + f un) &

  x2212; e x0 = n P k=1 f xn &

  x2212; e x0 n&

  xEA;n k n X k=1 f xn &

  x2212; e x0k = k n X k=1 (xn + un) &

  x2212; x0k &

  x21D2; lim n&

  x2192;&

  x221E; k n P k=1 f xn &

  x2212; e x0k &

  x2264; lim n&

  x2192;&

  x221E; k n P k=1 (xn + un) &

  x2212; x0k = 0 &

  x21D2; lim n&

  x2192;&

  x221E; k n P k=1 f xn &

  x2212; e x0k = 0 hay &

  x221E; P k=1 f xn &

  x2192; e x0. V&

  x1EAD;y kh&

  xF4;ng gian th&

  x1B0;&

  x1A1;ng X/Y l&

  xE0; Banach. 2. X Banach. L&

  x1EA5;y (xn)n &

  x2282; X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy trong X, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; &

  x2200; 0, &

  x2203;n0 &

  x2208; N, &

  x2200;n &

  x2265; n0 : kxn &

  x2212; xmk . Ta c&

  xF3; (xn) &

  x2282; X/M n&

  xEA;n kxn &

  x2212; xmk = inf x&

  x2208;(xn&

  x2212;xm) kxk &

  x2264; kxn &

  x2212; xmk &

  x21D2; (xn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong X/M, do &

  x111;&

  xF3; xn &

  x2192; x0 &

  x2208; X/M. V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N c&

  xF3; &

  x3B1;n &

  x2208; M sao cho kxn &

  x2212; x0 + &

  x3B1;nk &

  x2264; kxn &

  x2212; x0k + 1 n. Suy ra k&

  x3B1;n &

  x2212; &

  x3B1;mk &

  x2264; k&

  x3B1;n + xn &

  x2212; x0k + kxn &

  x2212; xmk + k&

  x3B1;m + xm &

  x2212; x0k &

  x2264; kxn &

  x2212; x0k + 1 n + kxm &

  x2212; x0k + 1 m + kxn &

  x2212; xmk Cho n, m &

  x2192; &

  x221E; ta c&

  xF3; k&

  x3B1;n &

  x2212; &

  x3B1;mk &

  x2192; 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; (&

  x3B1;n)n l&

  xE0; d&

  xE3;y c&

  x1A1; b&

  x1EA3;n trong M n&

  xEA;n &

  x3B1;n &

  x2192; &

  x3B1;0. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh xn &

  x2192; x0 + &

  x3B1;0. Ta c&

  xF3; kxn&

  x2212;x0&

  x2212;&

  x3B1;0k &

  x2264; k&

  x3B1;n+xn&

  x2212;x0k+k&

  x3B1;n&

  x2212;&

  x3B1;0k &

  x2264; kxn&

  x2212;x0k+ 1 n +k&

  x3B1;n&

  x2212;&

  x3B1;0k Cho n &

  x2192; &

  x221E; ta c&

  xF3; kxn &

  x2212; x0 &

  x2212; &

  x3B1;0k &

  x2192; 0. V&

  x1EAD;y lim n&

  x2192;&

  x221E; xn = x0 + &

  x3B1;0. V&

  x1EAD;y X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach.

• 17. M&

  x1ED9;t v&

  xED; d&

  x1EE5; minh h&

  x1ECD;a. Cho X = C[0,1] v&

  xE0; M l&

  xE0; t&

  x1EAD;p con c&

  x1EE7;a X c&

  xE1;c h&

  xE0;m s&

  x1ED1; tri&

  x1EC7;t ti&

  xEA;u t&

  x1EA1;i 0. Khi &

  x111;&

  xF3; M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian vect&

  x1A1; con c&

  x1EE7;a X v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; X/M c&

  x169;ng l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian vect&

  x1A1;. Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a &

  xE1;nh x&

  x1EA1; &

  x3C6; : X/M &

  x2212;&

  x2192; C nh&

  x1B0; sau &

  x3C6;([f]) = f(0), &

  x2200;[f] &

  x2208; X/M. &

  x110;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a tr&

  xEA;n l&

  xE0; h&

  x1EE3;p l&

  xFD; v&

  xEC; n&

  x1EBF;u f &

  x223C; g th&

  xEC; f(0) = g(0). Ta c&

  xF3; &

  x3C6; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh v&

  xEC; &

  x2200;s, t &

  x2208; C v&

  xE0; &

  x2200;f, g &

  x2208; X, &

  x3C6;(t[f] + s[g]) = &

  x3C6;([tf + sg]) = tf(0) + sg(0) = t&

  x3C6;([f]) + s&

  x3C6;([g]) H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, &

  x3C6;([f]) = &

  x3C6;([g]) &

  x21D4; f(0) = g(0) &

  x21D4; f &

  x223C; g &

  x21D4; [f] = [g] V&

  x1EAD;y &

  x3C6; l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i s &

  x2208; C ta lu&

  xF4;n c&

  xF3; f &

  x2208; X v&

  xE0; f(0) = s sao cho &

  x3C6;([f]) = s. Do &

  x111;&

  xF3; &

  x3C6; l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3;, &

  x3C6; l&

  xE0; &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EA5;u tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh t&

  x1EEB; X/M v&

  xE0;o C. Ta th&

  x1EA5;y r&

  x1EB1;ng M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a X v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n k.k&

  x221E; (chu&

  x1EA9;n max) v&

  xE0; X/M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n th&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng. Ta c&

  xF3; k[f]k = inf{kgk&

  x221E; : g &

  x2208; [f]} = inf{kgk&

  x221E; : g(0) = f(0)} = |f(0)| ( l&

  x1EA5;y g(t) = f(0), &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]) Suy ra k[f]k = k&

  x3C6;([f])k, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i [f] &

  x2208; X/M hay &

  x3C6; b&

  x1EA3;o to&

  xE0;n chu&

  x1EA9;n. V&

  xEC; v&

  x1EAD;y X/M &

  x2261; C B&

  xE2;y gi&

  x1EDD;, x&

  xE9;t X v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n k.k1. Khi &

  x111;&

  xF3; M kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng trong X. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, x&

  xE9;t d&

  xE3;y gn(t) = ( nt n&

  x1EBF;u 0 &

  x2264; t &

  x2264; 1 n 1 n&

  x1EBF;u 1 n &

  x2264; t &

  x2264; 1 Khi &

  x111;&

  xF3; gn &

  x2208; M v&

  xE0; gn &

  x2192; 1 theo chu&

  x1EA9;n k.k1 nh&

  x1B0;ng 1 / &

  x2208; M. Chu&

  x1EA9;n th&

  x1B0;&

  x1A1;ng l&

  xFA;c n&

  xE0;y c&

  x169;ng kh&

  xF4;ng c&

  xF2;n l&

  xE0; chu&

  x1EA9;n. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, k[f]k = 0, &

  x2200;[f] &

  x2208; X/M. &

  x110;i&

  x1EC1;u n&

  xE0;y c&

  xF3; th&

  x1EC3; gi&

  x1EA3;i th&

  xED;ch nh&

  x1B0; sau, l&

  x1EA5;y f &

  x2208; X, v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N, ta &

  x111;&

  x1EB7;t h(t) = f(0)(1 &

  x2212; gn(t)) v&

  x1EDB;i gn(t) &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh nh&

  x1B0; tr&

  xEA;n. Khi &

  x111;&

  xF3; hn(0) = f(0) v&

  xE0; khnk = |f(0)| 2n . Do &

  x111;&

  xF3;, inf{kgk1| g(0) = f(0)} &

  x2264; khk1 &

  x2264; |f(0)| 2n Suy ra k[f]k = inf{kgk1 : g &

  x2208; [f]} = 0.

• 18. 1.21. Cho f &

  x2208; L( E, &

  xB5;), g &

  x2208; Lq (E, &

  xB5;), p, q 0 v&

  xE0; 1 p + 1 q = 1. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng d&

  x1EA5;u &

  x201D; = &

  x201D; x&

  x1EA3;y ra khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi &

  x2203;c1, c2, c2 1 + c2 2 6= 0 : c1 |f(x)|p = c2 |g(x)|q , &

  x111;&

  x1ED1;i v&

  x1EDB;i b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Holder v&

  x1EC1; t&

  xED;ch ph&

  xE2;n: Z E |fg| d&

  xB5; &

  x2264; ( Z E |f|p d&

  xB5;) 1 p ( Z E |g|q d&

  xB5;) 1 q Ch&

  x1EE9;ng minh. Trong ch&

  x1EE9;ng minh n&

  xE0;y ta s&

  x1EBD; d&

  xF9;ng b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Young : a, b &

  x2265; 0, p, q 0 v&

  xE0; 1 p + 1 q = 1 ab &

  x2264; ap p + bq q D&

  x1EA5;u &

  x201D; = &

  x201D; x&

  x1EA3;y ra khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi ap = bq . &

  x2022; B&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Holder v&

  x1EC1; t&

  xED;ch ph&

  xE2;n: N&

  x1EBF;u R E |f|p d&

  xB5; = 0 ho&

  x1EB7;c R E |g|q d&

  xB5; = 0 th&

  xEC; |f|p ho&

  x1EB7;c |g|q h&

  x1EA7;u kh&

  x1EAF;p n&

  x1A1;i, suy ra v&

  x1EBF; tr&

  xE1;i c&

  x169;ng b&

  x1EB1;ng 0 n&

  xEA;n b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c &

  x111;&

  xFA;ng. N&

  x1EBF;u R E |f|p d&

  xB5; = &

  x221E; ho&

  x1EB7;c R E |g|q d&

  xB5; = &

  x221E; th&

  xEC; b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c &

  x111;&

  xFA;ng. X&

  xE9;t 0 R E |f|p d&

  xB5; &

  x221E; v&

  xE0; 0 R E |g|q d&

  xB5; &

  x221E;, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; ta l&

  x1EA5;y a = |f| ( R E |f|p d&

  xB5;) 1 p v&

  xE0; b = |g| ( R E |g|q d&

  xB5;) 1 q . &

  xC1;p d&

  x1EE5;ng b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Young cho a v&

  xE0; b ta c&

  xF3;: |f| |g| ( R E |f|p d&

  xB5;) 1 p ( R E |g|q d&

  xB5;) 1 q &

  x2264; |f|p p R E |f|p d&

  xB5; + |g|q q R E |g|q d&

  xB5; L&

  x1EA5;y t&

  xED;ch ph&

  xE2;n hai v&

  x1EBF; tr&

  xEA;n E ta c&

  xF3; R E |f| |g| d&

  xB5; ( R E |f|p d&

  xB5;) 1 p ( R E |g|q d&

  xB5;) 1 q &

  x2264; R E |f|p d&

  xB5; p R E |f|p d&

  xB5; + R E |g|q d&

  xB5; q R E |g|q d&

  xB5; = 1 p + 1 q = 1 Suy ra Z E |fg| d&

  xB5; &

  x2264; ( Z E |f|p d&

  xB5;) 1 p ( Z E |g|q d&

  xB5;) 1 q

• 19. N&

  x1EBF;u t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i c1, c2, c2 1 + c2 2 6= 0 : c1 |f(x)|p = c2 |g(x)|q v&

  xE0; gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; c1 6= 0 th&

  xEC; |f|p = c2 c1 |g|q n&

  xEA;n Z E |fg| d&

  xB5; = Z E ( c2 c1 ) 1 p |g|1+q p d&

  xB5; = ( c2 c1 ) 1 p Z E |g| p+q p d&

  xB5; = ( c2 c1 ) 1 p Z E |g|q d&

  xB5; M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c ta c&

  xF3; V P = ( Z E |f|p d&

  xB5;) 1 p ( Z E |g|q d&

  xB5;) 1 q = ( Z E (( c2 c1 ) 1 p |g| q p )p d&

  xB5;) 1 p ( Z E |g|q d&

  xB5;) 1 q = ( c2 c1 ) 1 p )( Z E |g|q d&

  xB5;) 1 p +1 q = ( c2 c1 ) 1 p Z E |g|q d&

  xB5; V&

  x1EAD;y V T = V P. &

  x2022; (&

  x21D2;) &

  xC1;p d&

  x1EE5;ng b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Young cho hai s&

  x1ED1; a v&

  xE0; b nh&

  x1B0; tr&

  xEA;n th&

  xEC; d&

  x1EA5;u &

  x201D; = &

  x201D; x&

  x1EA3;y ra khi ap = bq , hay |f| R E |f|p d&

  xB5; = |g| R E |g|q d&

  xB5; ta ch&

  x1EC9; vi&

  x1EC7;c ch&

  x1ECD;n c1 = R E |g|q d&

  xB5;, c2 = R E |f|p d&

  xB5;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.22. Cho C[0,1] l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian c&

  xE1;c h&

  xE0;m li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n [0, 1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n &

  x201D; max &

  x201D;. &

  x110;&

  x1EB7;t A : C[0,1] &

  x2212;&

  x2192; C[0,1] x 7&

  x2212;&

  x2192; Ax 1. (Ax)(t) = t2 x(0) 2. (Ax)(t) = &

  x3D5;(t)x(t), &

  x3D5; &

  x2208; C[0,1] 3. (Ax)(t) = x(0) &

  x2212; tx(t) 4. (Ax)(t) = x(t) &

  x2212; x(1 &

  x2212; t) 5. (Ax)(t) = x(1) &

  x2212; tx(t) Ch&

  x1EE9;ng minh c&

  xE1;c to&

  xE1;n t&

  x1EED; n&

  xE0;y l&

  xE0; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ch&

  x1EE9;ng minh.

• 20. c&

  xF3; &

  x2200;x, y &

  x2208; C[0,1], &

  x2200;&

  x3B1;, &

  x3B2; &

  x2208; R th&

  xEC; (A(&

  x3B1;x + &

  x3B2;y))(t) = t2 (&

  x3B1;x + &

  x3B2;y)(0) = t2 (&

  x3B1;x(0) + &

  x3B2;y(0)) = t2 (&

  x3B1;x(0)) + t2 (&

  x3B2;y(0)) = &

  x3B1;(Ax)(t) + &

  x3B2;(Ay)(t) v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i t &

  x2208; [0, 1]. Suy ra A(&

  x3B1;x + &

  x3B2;y) = &

  x3B1;Ax + &

  x3B2;Ay. V&

  x1EAD;y A l&

  xE0; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ta c&

  xF3; kAxk = max t&

  x2208;[0,1] t2 x(0) &

  x2264; kxk, &

  x2200;x &

  x2208; C[0,1] V&

  x1EAD;y A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; 1. Ch&

  x1ECD;n x0 &

  x2261; 1 &

  x2208; C[0,1], khi &

  x111;&

  xF3; kAx0k = max t&

  x2208;[0,1] t2 x0(0) = max t&

  x2208;[0,1] t2 = 1 M&

  xE0; 1 = kAx0k &

  x2264; kAkkx0k = kAk. V&

  x1EAD;y kAk = 1. 2. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; a) ta suy ra A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ta c&

  xF3; kAxk = max t&

  x2208;[0,1] |&

  x3D5;(t)x(t)| &

  x2264; Kkxk trong &

  x111;&

  xF3; K = max t&

  x2208;[0,1] |&

  x3D5;(t)|. V&

  x1EAD;y A b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n v&

  xE0; kAk &

  x2264; K. Ch&

  x1ECD;n x0 &

  x2261; 1 &

  x2208; C[0,1], kx0k = 1 khi &

  x111;&

  xF3; kAx0k = max t&

  x2208;[0,1] |&

  x3D5;(t)| = K &

  x2264; kAk V&

  x1EAD;y kAk = K. 3. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; a) ta suy ra A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ta c&

  xF3; kAxk = max t&

  x2208;[0,1] |x(0) &

  x2212; tx(t)| &

  x2264; 2kxk V&

  x1EAD;y A b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; 2. NH&

  x1EAC;N X&

  xC9;T: Vi&

  x1EC7;c ch&

  x1ECD;n h&

  xE0;m x0 th&

  x1B0;&

  x1EDD;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c ti&

  x1EBF;n h&

  xE0;nh nh&

  x1B0; sau: Trong c&

  xE1;c h&

  xE0;m li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n [0, 1] ta ch&

  x1ECD;n h&

  xE0;m x0(t) = at + b. &

  x1EDE; &

  x111;&

  xE2;y ta ch&

  x1ECD;n sao cho kx0k = 1 v&

  xE0; max t&

  x2208;[0,1] |x0(0) &

  x2212; tx0(t)| = 2. Do &

  x111;&

  xF3; c&

  xF3; th&

  x1EC3; cho x0(0) = 1 v&

  xE0; ax0(a) = &

  x2212;1 v&

  x1EDB;i a &

  x2208; [0, 1]. V&

  x1EDB;i a = 0 th&

  xEC; 0 = &

  x2212;1 v&

  xF4; l&

  xFD;. Do &

  x111;&

  xF3;, a 6= 0. Suy ra x0(a) = &

  x2212;1/a &

  x2208; [0, 1] hay a = 1. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; gi&

  x1EA3;i h&

  x1EC7; x0(1) = &

  x2212;1, x0(0) = 1 ta c&

  xF3; a = &

  x2212;2, b = 1.

• 21. = &

  x2212;2t + 14 , l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kx0k = 1. Ta c&

  xF3; kAx0k = max t&

  x2208;[0,1] |x0(0) &

  x2212; tx0(t)| &

  x2265; |x0(0) &

  x2212; 1x0(1)| = 2kx0k = 2 V&

  x1EAD;y kAk = 2. 4. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; a) ta suy ra A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ta c&

  xF3; kAxk = max t&

  x2208;[0,1] |x(t) &

  x2212; x(1 &

  x2212; t)| &

  x2264; max t&

  x2208;[0,1] |x(t)| + max t&

  x2208;[0,1] |x(1 &

  x2212; t)| &

  x2264; 2kxk V&

  x1EAD;y A b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n v&

  xE0; kAk &

  x2264; 2. Ch&

  x1ECD;n x0(t) = &

  x2212;2t + 1, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kx0k = 1. Ta c&

  xF3; kAx0k = max t&

  x2208;[0,1] |x0(0) &

  x2212; x0(1 &

  x2212; t)| &

  x2265; |x0(0) &

  x2212; x0(1 &

  x2212; 0)| = 2kx0k = 2 V&

  x1EAD;y kAk = 2. 5. D&

  x1EC5; th&

  x1EA5;y, A tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh, li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; 2. V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N&

  x2217; , ta &

  x111;&

  x1EB7;t xn(t) = &

  xF8F1; &

  xF8F2; &

  xF8F3; AA1 n&

  x1EBF;u 0 &

  x2264; t &

  x2264; q 1 &

  x2212; 1 2n AA2 n&

  x1EBF;u q 1 &

  x2212; 1 2n t &

  x2264; 1 trong &

  x111;&

  xF3; AA1 v&

  xE0; AA2 l&

  xE0; hai &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EDD;ng th&

  x1EB3;ng &

  x111;i qua A = ( q 1 &

  x2212; 1 2n; q 1 &

  x2212; 1 2n), A1(0; 1), A2(1, &

  x2212;1). 4 &

  x110;&

  x1ED3; th&

  x1ECB; &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c v&

  x1EBD; tr&

  xEA;n Maple 9.5

• 22. xn &

  x2208; C[0,1] v&

  xE0; kxnk = 1 v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i n &

  x2208; N&

  x2217; .5 Ta c&

  xF3; kAk = sup kxk=1 kAxk &

  x2265; kAxnk = max t&

  x2208;[0,1] |xn(1) &

  x2212; txn(t)| &

  x2265; xn(1) &

  x2212; r 1 &

  x2212; 1 2n xn( r 1 &

  x2212; 1 2n ) = &

  x2212;1 &

  x2212; (1 &

  x2212; 1 2n ) = 2 &

  x2212; 1 2n Cho n &

  x2192; &

  x221E;, ta &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c kAk &

  x2265; 2. V&

  x1EAD;y kAk = 2. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.23. Kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c g&

  x1ECD;i l&

  xE0; ch&

  x1EB7;t n&

  x1EBF;u kx + yk &

  x2264; kxk + kyk, x 6= 0, y 6= 0 tr&

  x1EDF; th&

  xE0;nh &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c khi t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i &

  x3B1; 0 &

  x111;&

  x1EC3; y = &

  x3B1;x. Ch&

  x1EE9;ng minh Lp (E, &

  xB5;) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n ch&

  x1EB7;t. Ch&

  x1EE9;ng minh. (&

  x21D0;). &

  x2200;x, y &

  x2208; Lp (E, &

  xB5;) n&

  x1EBF;u c&

  xF3; &

  x3B1; 0, y = &

  x3B1;x th&

  xEC; kx + yk = kx + &

  x3B1;xk = (1 + &

  x3B1;)kxk = kxk + &

  x3B1;kxk = kxk + kyk. (&

  x21D2;). kx + yk &

  x2264; kxk + kyk tr&

  x1EDF; th&

  xE0;nh &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c kx + yk = kxk + kyk, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; ( Z E |x + y|p d&

  xB5;) 1 p = ( Z E |x|p d&

  xB5;) 1 p + ( Z E |y|p d&

  xB5;) 1 p n&

  xEA;n b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Minkowski tr&

  x1EDF; th&

  xE0;nh &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c &

  xF8F1; &

  xF8F4; &

  xF8F2; &

  xF8F4; &

  xF8F3; |x + y| = |x| + |y| c1 |x|p = c2 |x + y|(p&

  x2212;1)q = c2 |x + y|p c0 1 |y| = c0 2 |x + y|q(p&

  x2212;1) = c0 2 |x + y|p Suy ra x, y c&

  xF9;ng d&

  x1EA5;u h&

  x1EA7;u kh&

  x1EAF;p n&

  x1A1;i trong E v&

  xE0; c1c0 2 |x|p = c2c0 1 |y|p . V&

  x1EAD;y t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i &

  x3B1; 0 &

  x111;&

  x1EC3; &

  x3B1;y = x h&

  x1EA7;u kh&

  x1EAF;p n&

  x1A1;i trong E. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.24. T&

  xEC;m m&

  x1ED9;t s&

  x1ED1; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n kh&

  xF4;ng ch&

  x1EB7;t. Ch&

  x1EE9;ng minh. 5 T&

  x1EA5;t nhi&

  xEA;n c&

  xF2;n nhi&

  x1EC1;u c&

  xE1;ch &

  x111;&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c. Ch&

  x1EB3;ng h&

  x1EA1;n, theo c&

  xE1;ch &

  x111;&

  x1EB7;t c&

  x1EE7;a C.M.Q xn(t) = &

  xF8F1; &

  xF8F2; &

  xF8F3; &

  x2212;1 n&

  x1EBF;u 0 &

  x2264; t &

  x2264; n n + 1 2(n + 1)t &

  x2212; 2n &

  x2212; 1 n&

  x1EBF;u n n + 1 t &

  x2264; 1 &

  x110;&

  x1B0;&

  x1EDD;ng g&

  x1EA5;p kh&

  xFA;c n&

  xE0;y c&

  xF3; v&

  x1EBB; &

  x111;&

  x1EB9;p h&

  x1A1;n.

• 23. chu&

  x1EA9;n sup l&

  xE0; kh&

  xF4;ng ch&

  x1EB7;t, v&

  xEC; sup n |xn + yn| = sup n |xn| + sup n |yn| kh&

  xF4;ng suy ra xk = &

  x3B1;yk, &

  x2200;k v&

  x1EDB;i &

  x3B1; 0. Ch&

  x1EB3;ng h&

  x1EA1;n, x&

  xE9;t x = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . .) v&

  xE0; y = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, . . .) Ta c&

  xF3; kxk = kyk = 1 v&

  xE0; kx + yk = 2, tuy nhi&

  xEA;n x 6= &

  x3B1;y. 2. M&

  x1ED9;t v&

  xED; d&

  x1EE5; kh&

  xE1;c l&

  xE0; C[0, 1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, l&

  x1EA5;y f(t) = t, g(t) = 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1] ta c&

  xF3; kfk = kgk = 1 v&

  xE0; kf + gk = 2. R&

  xF5; r&

  xE0;ng kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i &

  x3B1; 0 sao cho f(t) = &

  x3B1;g(t). B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.25. Cho kh&

  xF4;ng gian Banach X v&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c6 f kh&

  xE1;c 0. Ch&

  x1EE9;ng minh f l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh f l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh, &

  x2200;y &

  x2208; K lu&

  xF4;n c&

  xF3; x &

  x2208; X, f(x) = y. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, v&

  xEC; f 6= 0 n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x0 &

  x2208; X sao cho f(x0) = 1. Khi &

  x111;&

  xF3;, yx0 &

  x2208; X v&

  xE0; f(yx0) = yf(x0) = y. Theo nguy&

  xEA;n l&

  xFD; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;, f l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c t&

  x1EEB; kh&

  xF4;ng gian Banach X v&

  xE0;o kh&

  xF4;ng gian Banach K n&

  xEA;n n&

  xF3; l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.26. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian Banach, A &

  x2208; L(X, Y ). Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; c&

  xF3; &

  x3B1;, &

  x3B2; &

  x2265; 0, &

  x3B1; 1, &

  x2200;y &

  x2208; Y, &

  x2203;x &

  x2208; X : kAx&

  x2212;yk &

  x2264; &

  x3B1;kyk, kxk &

  x2264; &

  x3B2;kyk. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng khi &

  x111;&

  xF3; &

  x2200;y &

  x2208; Y , ph&

  x1B0;&

  x1A1;ng tr&

  xEC;nh Ax = y c&

  xF3; nghi&

  x1EC7;m x0 &

  x2208; X th&

  x1ECF;a &

  x111;i&

  x1EC1;u ki&

  x1EC7;n kx0k &

  x2264; &

  x3B2; 1 &

  x2212; &

  x3B1; kyk Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; &

  x2200;y &

  x2208; Y, &

  x2203;x1 &

  x2208; X : kAx1 &

  x2212; yk &

  x2264; &

  x3B1;kyk, kx1k &

  x2264; &

  x3B2;kyk. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1; &

  x2200;y &

  x2208; Y, &

  x2203;x2 &

  x2208; X : kAx2 &

  x2212; (y &

  x2212; Ax1)k &

  x2264; &

  x3B1;ky &

  x2212; Ax1k &

  x2264; &

  x3B1;2 kyk, kx2k &

  x2264; &

  x3B2;ky &

  x2212; Ax1k &

  x2264; &

  x3B2;&

  x3B1;kyk Ti&

  x1EBF;p t&

  x1EE5;c qu&

  xE1; tr&

  xEC;nh n&

  xE0;y ta c&

  xF3;: &

  x2200;y &

  x2208; Y, &

  x2203;xn &

  x2208; X : kAxn&

  x2212;(y&

  x2212;Ax1&

  x2212;. . .&

  x2212;Axn)k &

  x2264; &

  x3B1;n kyk, kxnk &

  x2264; &

  x3B2;&

  x3B1;n&

  x2212;1 kyk Do 0 &

  x3B1; 1 n&

  xEA;n &

  x221E; P i=1 xi h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; tuy&

  x1EC7;t &

  x111;&

  x1ED1;i trong kh&

  xF4;ng gian Banach X n&

  xEA;n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. Ta g&

  x1ECD;i x0 = &

  x221E; P i=1 xi, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; k k X n=1 Axn &

  x2212; yk &

  x2264; &

  x3B1;k kyk 6 N&

  x1EBF;u f ch&

  x1EC9; l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh kh&

  xE1;c 0 ho&

  x1EB7;c X kh&

  xF4;ng c&

  x1EA7;n gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t Banach b&

  xE0;i to&

  xE1;n li&

  x1EC7;u v&

  x1EAB;n c&

  xF2;n &

  x111;&

  xFA;ng?

• 24. &

  x2192; &

  x221E;, ta c&

  xF3; kAx0 &

  x2212; yk = 0 hay Ax0 = y v&

  xE0; kx0k = k &

  x221E; X i=1 xik &

  x2264; &

  x221E; X i=1 kxik &

  x2264; &

  x221E; X i=1 &

  x3B2;&

  x3B1;n&

  x2212;1 kyk = &

  x3B2; 1 &

  x2212; &

  x3B1; kyk B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.27. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X = C[0,1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max, A : X &

  x2212;&

  x2192; X (Anx)(t) = x(t1+1 t ), n &

  x2208; N 1. Ch&

  x1EE9;ng minh An &

  x2208; L(X) 2. Ch&

  x1EE9;ng minh &

  x2200;x &

  x2208; X, Anx &

  x2192; x 3. D&

  xE3;y (An)n c&

  xF3; h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; trong L(X) &

  x111;&

  x1EBF;n to&

  xE1;n t&

  x1EED; &

  x111;&

  x1ED3;ng nh&

  x1EA5;t hay kh&

  xF4;ng? Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. An l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh: r&

  xF5;. Ta c&

  xF3; kAnxk = max t&

  x2208;[0,1] x(t1+ 1 n ) &

  x2264; max t&

  x2208;[0,1] |x(t)| = kxk. V&

  x1EAD;y An b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n n&

  xF3; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; 1. 2. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, x li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c &

  x111;&

  x1EC1;u v&

  xEC; n&

  xF3; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n t&

  x1EAD;p compact [0, 1]. Do &

  x111;&

  xF3; &

  x2200; 0, &

  x2203;&

  x3B4; 0, &

  x2200;t, t0 &

  x2208; [0, 1], |t &

  x2212; t0 | &

  x3B4; &

  x21D2; |x(t) &

  x2212; x(t0 )| . Ta c&

  xF3; t1+1 t &

  x2212; t &

  x2264; max t&

  x2208;[0,1] t1+ 1 n &

  x2212; t = ( n n+1)n . 1 n+1 1 n &

  x3B4; v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n. Suy ra x(t1+1 t ) &

  x2212; x(t) v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n. sup t&

  x2208;[0,1] x(t1+1 t ) &

  x2212; x(t) &

  x2264; . Hay kAnx &

  x2212; xk &

  x2264; v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n, Anx &

  x2192; x, n &

  x2192; &

  x221E;. 3. kAn &

  x2212; Ik = sup kxk=1 kAnx &

  x2212; xk = sup kxk=1 max x(t1+1 t ) &

  x2212; x(t) . L&

  x1EA5;y = 1 2, ch&

  x1ECD;n x0 : [0, 1] &

  x2212;&

  x2192; R li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c sao cho x0(1/2) = 1, x0(1 2 1+ 1 n ) = 0. Ta c&

  xF3; kx0k = 1 v&

  xE0; kAn &

  x2212; Ik &

  x2265; kAx0 &

  x2212; x0k &

  x2265; max t&

  x2208;[0,1] x0(t1+1 t ) &

  x2212; x0(t) = 1 V&

  x1EAD;y An kh&

  xF4;ng h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; I khi n &

  x2192; &

  x221E;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.28. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c.

• 25. s&

  x1EED; A : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; m&

  x1ED9;t &

  xE1;nh x&

  x1EA1; th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n &

  x111;i&

  x1EC1;u ki&

  x1EC7;n A(x + y) = Ax + Ay, &

  x2200;x, y &

  x2208; X v&

  xE0; sup x&

  x2208;B0(0,1) kAxk +&

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng: A &

  x2208; L(X, Y ). 2. Cho B : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. M = {(x, Bx)|x &

  x2208; X} l&

  xE0; &

  x111;&

  x1ED3; th&

  x1ECB; c&

  x1EE7;a B. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng B(X) &

  x111;&

  xF3;ng trong Y khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi M + (X &

  xD7; {0}) &

  x111;&

  xF3;ng trong X &

  xD7; Y . Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. Ta c&

  xF3; A(0) = A(0 + 0) = A(0) + A(0) &

  x21D2; A(0) = 0. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, m 0, m &

  x2208; Z ta c&

  xF3; A(mx) = A(x + . . . + x | {z } m l&

  x1EA7;n ) = mA(x) M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c A(x + (&

  x2212;x)) = A(x) + A(&

  x2212;x) = 0 &

  x21D2; A(&

  x2212;x) = A(x) Suy ra &

  x2200;m &

  x2208; Z th&

  xEC; A(mx) = mA(x). A(x) = A( x m + . . . + x m | {z } m l&

  x1EA7;n ) = mA( x m ), &

  x2200;m &

  x2208; Z{0} V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m &

  x2208; Q, m = p q , (p, q) = 1 ta c&

  xF3; A(mx) = A( px q ) = pA( x q ) = p q A(x) = mA(x). Suy ra A( x m ) = A(x) m . V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m &

  x2208; RQ, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i d&

  xE3;y s&

  x1ED1; (rn)n &

  x2282; Q sao cho rn &

  x2192; m, n &

  x2192; &

  x221E;. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh A(mx) = mA(x). Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, A(rnx) = rnA(x) &

  x2192; mA(x) khi n &

  x2192; &

  x221E;. Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh A(rnx) &

  x2192; A(mx) khi n &

  x2192; &

  x221E;. X&

  xE9;t x, kxk &

  x2264; 1, n&

  x1EBF;u kh&

  xF4;ng ta l&

  x1EA5;y x kxk . L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kA(rnx) &

  x2212; A(mx)k = kA((rn &

  x2212; mx))k &

  x2200; 0, &

  x2203;k 0 sao cho K k . V&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n ta c&

  xF3; |rn &

  x2212; m| kxk 1 k . Do &

  x111;&

  xF3; kk(rn &

  x2212; m)xk 1. Suy ra v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n th&

  xEC; kA(k(rn &

  x2212; m)x)k &

  x2264; K = sup x&

  x2208;B0(0,1) kAxk &

  x21D2; kA((rn &

  x2212; m)xk &

  x2264; K k

• 26. &

  x2192; A(mx) khi n &

  x2192; &

  x221E;. Do t&

  xED;nh duy nh&

  x1EA5;t c&

  x1EE7;a gi&

  x1EDB;i h&

  x1EA1;n ta c&

  xF3; A(mx) = mA(x). V&

  x1EAD;y A l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, &

  x2200;x &

  x2208; X, x 6= 0, x kxk &

  x2208; B0 (0, 1) n&

  xEA;n kA( x kxk )k &

  x2264; K = sup x&

  x2208;B0(0,1) kAxk &

  x21D2; kAxk kxk &

  x2264; K hay kAxk &

  x2264; Kkxk T&

  x1EA1;i x = 0, k&

  x1EBF;t qu&

  x1EA3; tr&

  xEA;n c&

  x169;ng &

  x111;&

  xFA;ng. V&

  x1EAD;y A b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. 2. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; B(X) &

  x111;&

  xF3;ng trong Y , ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh M + (X &

  xD7; {0}) &

  x111;&

  xF3;ng trong X &

  xD7; Y . L&

  x1EA5;y (zn)n &

  x2282; M + (X &

  xD7; {0}) th&

  x1ECF;a zn &

  x2192; z0 = (x0, y0) &

  x2208; X &

  xD7; Y . Ta c&

  xF3; zn = (xn, Bxn) + (x0 n, 0) = (xn + x0 n, Bxn) L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; Bxn &

  x2192; y0 = Bz &

  x2208; B(X) v&

  xE0; zn &

  x2192; (z + x0 &

  x2212; z) = (z, Bz) + (x0 &

  x2212; z, 0) &

  x2208; M + (X &

  xD7; {0}). Suy ra (x0, y0) &

  x2208; M + (X &

  xD7; {0}) hay M + (X &

  xD7; {0}) &

  x111;&

  xF3;ng. Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, n&

  x1EBF;u M + (X &

  xD7; {0}) &

  x111;&

  xF3;ng trong X &

  xD7; Y ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh B(X) &

  x111;&

  xF3;ng trong Y . L&

  x1EA5;y (yn)n &

  x2282; B(X) v&

  xE0; yn &

  x2192; y, n &

  x2192; &

  x221E; th&

  xEC; v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i xn &

  x2208; X sao cho yn = Bxn. Khi &

  x111;&

  xF3; (0, yn) = (xn, yn) + (&

  x2212;xn, 0) = (xn, Bxn) + (&

  x2212;xn, 0) &

  x2208; M + (X &

  xD7; {0}) v&

  xE0; k(0, yn)&

  x2212;(0, y)kX&

  xD7;Y = k0&

  x2212;0kX +kyn &

  x2212;ykY = kyn &

  x2212;ykY &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; Do M + (X &

  xD7; {0}) &

  x111;&

  xF3;ng trong X &

  xD7; Y n&

  xEA;n (0, y) &

  x2208; M + (X &

  xD7; {0}). Suy ra (0, y) = (x, Bx) + (x0 , 0) = (x, Bx) + (&

  x2212;x, 0) = (0, Bx). V&

  x1EAD;y y = Bx, x &

  x2208; X hay B(X) &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.29. A &

  x2208; L(X, Y ) n&

  x1EBF;u v&

  xE0; ch&

  x1EC9; n&

  x1EBF;u A bi&

  x1EBF;n d&

  xE3;y Cauchy th&

  xE0;nh d&

  xE3;y Cauchy.

• 27. Ta ch&

  x1EC9; ch&

  x1EE9;ng minh ph&

  x1EA7;n &

  x111;&

  x1EA3;o. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; A bi&

  x1EBF;n d&

  xE3;y Cauchy th&

  xE0;nh d&

  xE3;y Cauchy v&

  xE0; A kh&

  xF4;ng b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i d&

  xE3;y (xn)n sao cho kAxnk n2 kxnk, &

  x2200;n V&

  x1EDB;i xn 6= 0, ta x&

  xE2;y d&

  x1EF1;ng d&

  xE3;y (yn)n nh&

  x1B0; sau yn = xn nkxnk . Ta c&

  xF3; kynk = 1/n &

  x2192; 0 n&

  xEA;n n&

  xF3; l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, kAynk = kAxnk nkxnk n2 kxnk nkxnk = n suy ra (Ayn)n kh&

  xF4;ng b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3;, (Ayn)n kh&

  xF4;ng Cauchy, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n v&

  x1EDB;i gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t. V&

  x1EAD;y A ph&

  x1EA3;i li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. C&

  xE1;ch kh&

  xE1;c:7 Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; (xn)n &

  x2208; X, xn &

  x2192; x &

  x2208; X. X&

  xE9;t d&

  xE3;y un = ( xn n&

  x1EBF;u n ch&

  x1EB5;n x n&

  x1EBF;u n l&

  x1EBB; R&

  xF5; r&

  xE0;ng un &

  x2192; x, do &

  x111;&

  xF3; n&

  xF3; l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy. Suy ra (Axn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a d&

  xE3;y Cauchy ta c&

  xF3; &

  x2200; 0, &

  x2203;n0 &

  x2208; N : &

  x2200;m, n &

  x2265; n0 ta c&

  xF3; kf(un) &

  x2212; f(um)k &

  x2264; . N&

  xF3;i ri&

  xEA;ng, v&

  x1EDB;i u2n0+1 = x ta c&

  xF3; &

  x2200;n &

  x2208; N, n &

  x2265; n0 ta c&

  xF3; kf(un) &

  x2212; f(x)k &

  x2264; , t&

  x1EE9;c l&

  xE0; f(un) &

  x2192; f(x) khi n &

  x2192; &

  x221E;. Khi &

  x111;&

  xF3; d&

  xE3;y con c&

  x1EE7;a n&

  xF3; l&

  xE0; f(xn) c&

  x169;ng d&

  x1EA7;n v&

  x1EC1; f(x). V&

  x1EAD;y f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.30. Cho f l&

  xE0; m&

  x1ED9;t phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i r 0 th&

  xEC; f(B0 (0, r)) = R. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; f(B0 (0, r)) &

  x2282; R. &

  x2200;r 0, &

  x2200;y &

  x2208; R lu&

  xF4;n c&

  xF3; n &

  x2208; N &

  x111;&

  x1EC3; n |y| r . Do f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n ta c&

  xF3; sup kxk=1 |f(x)| = +&

  x221E;. Do &

  x111;&

  xF3; c&

  xF3; xn, kxnk = 1 v&

  xE0; |f(xn)| n. Ta c&

  xF3; z = yxn |f(xn)| , |z| = |y| |f(xn)| |y| n r v&

  xE0; f(z) = y. Suy ra R &

  x2282; f(B0 (0, r)) V&

  x1EAD;y R = f(B0 (0, r)). 7 It&

  x2019;s a thing of rare beauty and stunning simplicity.

• 28. 1.31. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, f &

  x2208; X&

  x2217; , f 6= 0. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i kh&

  xF4;ng gian con m&

  x1ED9;t chi&

  x1EC1;u M sao cho X = ker f &

  x2295; M. Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; f 6= 0 n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x0 &

  x2208; X sao cho f(x0) = 1. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, &

  x111;&

  x1EB7;t y = f(x)x0 &

  x2212; xf(x0), ta c&

  xF3; f(y) = 0 hay y &

  x2208; ker f. &

  x21D2; x = f(x)x0 &

  x2212; y &

  x2208; h{x0}i &

  x2295; ker f. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; suy ra &

  x111;i&

  x1EC1;u c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.32. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, f l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh8 tr&

  xEA;n X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi ker f &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, khi &

  x111;&

  xF3; ker f &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xEC; n&

  xF3; l&

  xE0; &

  x1EA3;nh ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  x1EE7;a t&

  x1EAD;p &

  x111;&

  xF3;ng {0}. Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; ker f &

  x111;&

  xF3;ng ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. N&

  x1EBF;u f &

  x2261; 0 th&

  xEC; f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. N&

  x1EBF;u f 6= 0 v&

  xE0; f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, ta c&

  xF3; sup kxk=1 |f(x)| = +&

  x221E;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N, &

  x2203;xn &

  x2208; X, kxnk = 1 v&

  xE0; |f(xn)| &

  x2265; n. H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, v&

  xEC; f 6= 0 n&

  xEA;n c&

  xF3; a &

  x2208; X sao cho f(a) = 1. X&

  xE9;t d&

  xE3;y yn = a &

  x2212; xn f(xn) Ta c&

  xF3; f(yn) = f(a) &

  x2212; f(xn) f(xn) = 1 &

  x2212; 1 = 0 hay (yn)n &

  x2282; ker f. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c k xn f(xn) k = kxnk |f(xn)| &

  x2264; kxk n = 1 n &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; Suy ra xn f(xn) &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; n&

  xEA;n yn &

  x2192; a / &

  x2208; ker f, n &

  x2192; &

  x221E;, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n v&

  x1EDB;i t&

  xED;nh &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a ker f. V&

  x1EAD;y f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.33. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, f l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh kh&

  xE1;c 0 tr&

  xEA;n X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng n&

  x1EBF;u f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c9 th&

  xEC; ker f tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong X. 8 &

  x110;i&

  x1EC1;u n&

  xE0;y kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i &

  xE1;nh x&

  x1EA1; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c b&

  x1EA5;t k&

  xEC;. Ch&

  x1EB3;ng h&

  x1EA1;n, v&

  x1EDB;i id : C[0,1],k.k1 &

  x2212;&

  x2192; C[0,1],k.k&

  x221E; ta c&

  xF3; ker id = {0} &

  x111;&

  xF3;ng nh&

  x1B0;ng id kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xEC; hai chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng 9 N&

  x1EBF;u f l&

  xE0; m&

  x1ED9;t phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c X ta c&

  xF3; th&

  x1EC3; d&

  xF9;ng k&

  x1EBF;t qu&

  x1EA3; f(B0 (0, r)) = R &

  x111;&

  x1EC3; ch&

  x1EE9;ng minh ker f = X.Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i a &

  x2208; X, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x &

  x2208; B(0, r) sao cho f(a) = &

  x2212;f(x). Suy ra a + x &

  x2208; ker f &

  x2229; (a + B(0, r)). V&

  x1EAD;y ker f tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong X.

• 29. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh ker f = X. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, do f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c t&

  x1EA1;i 0 n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i 0 sao cho &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;xn &

  x2208; X sao cho kxnk 1 n v&

  xE0; |f(xn) | V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N&

  x2217; &

  x111;&

  x1EB7;t yn = x &

  x2212; f(x) f(xn) xn th&

  xEC; yn &

  x2208; ker f. Khi &

  x111;&

  xF3;, kyn &

  x2212; xk = |f(x)| |f(xn)| kxnk &

  x2264; |f(x)| n &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; V&

  x1EAD;y yn &

  x2192; x, hay ker f = X. C&

  xE1;ch kh&

  xE1;c: V&

  xEC; f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n n&

  xF3; kh&

  xF4;ng b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. &

  x2200;n &

  x2208; N t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i xn &

  x2208; X sao cho |f(xn)| &

  x2264; nkxnk. V&

  xEC; X = h{x0}i &

  x2295; ker f n&

  xEA;n xn = zn &

  x2212; &

  x3BB;nx0, trong &

  x111;&

  xF3; zn &

  x2208; ker f v&

  xE0; &

  x3BB;n &

  x2208; C. Do &

  x111;&

  xF3; f(xn) = &

  x2212;&

  x3BB;nf(x0). Suy ra |&

  x3BB;n| |f(x0)| &

  x2265; nkzn &

  x2212; &

  x3BB;nx0k. Nh&

  xE2;n hai v&

  x1EBF; v&

  x1EDB;i 1 |&

  x3BB;n| (n&

  x1EBF;u &

  x3BB;n = 0 th&

  xEC; f(xn) = 0), ta &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c kx0 &

  x2212; &

  x3BB;&

  x2212;1 znk &

  x2264; n&

  x2212;1 |f(x0)|, cho n &

  x2192; &

  x221E; th&

  xEC; &

  x3BB;&

  x2212;1 zn &

  x2192; x0. V&

  xEC; v&

  x1EAD;y x0 &

  x2208; ker f, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; ker f = X. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.34. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; A &

  x2208; L(X, Y ). T&

  xED;nh kAk, bi&

  x1EBF;t r&

  x1EB1;ng sup x,y&

  x2208;B0(0,r) kAx &

  x2212; Ayk = 1 Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x, y &

  x2208; B0 (0, r) ta c&

  xF3; kAx &

  x2212; Ayk = kA(x &

  x2212; y)k &

  x2264; kAkkx &

  x2212; yk &

  x2264; kAk(kxk + kyk) &

  x2264; 2rkAk n&

  xEA;n 1 = sup x,y&

  x2208;B0(0,r) kAx &

  x2212; Ayk &

  x2264; 2rkAk hay kAk &

  x2265; 1 2r . M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, ta c&

  xF3; &

  x2200;x &

  x2208; B0 (0, 1) th&

  xEC; rx, &

  x2212;rx &

  x2208; B0 (0, r) n&

  xEA;n kA(rx) &

  x2212; A(&

  x2212;rx)k = kA(rx &

  x2212; (&

  x2212;rx))k = 2rkA(x)k &

  x2264; 1 suy ra 2rkAxk &

  x2264; 1 hay kAxk &

  x2264; 1 2r , &

  x2200;x &

  x2208; B0 (0, 1). T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3;, kAk = sup kxk&

  x2264;1 kAxk &

  x2264; 1 2r . V&

  x1EAD;y kAk = 1 2r . NH&

  x1EAC;N X&

  xC9;T : Gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t A : X &

  x2212;&

  x2192; Y li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c c&

  xF3; th&

  x1EC3; suy ra t&

  x1EEB; c&

  xE1;c gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t kh&

  xE1;c. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, &

  x2200;x &

  x2208; X, x 6= 0 ta c&

  xF3; rx kxk , &

  x2212;rx kxk &

  x2208; B0 (0, r) ta c&

  xF3; kA( rx kxk ) &

  x2212; A( &

  x2212;rx kxk )k &

  x2264; sup x,y&

  x2208;B0(0,r) kAx &

  x2212; Ayk = 1

• 30. &

  x2264; 1. &

  x21D2; kAxk &

  x2264; 1 2r kxk, &

  x2200;x 6= 0. V&

  x1EDB;i x = 0, ta c&

  x169;ng c&

  xF3; k&

  x1EBF;t qu&

  x1EA3; tr&

  xEA;n. V&

  x1EAD;y A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; 1 2r. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.35. Cho hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, Y . (xn)n &

  x2282; X, (An)n &

  x2282; L(X, Y ) v&

  xE0; xn &

  x2192; x0, An &

  x2192; A. Ch&

  x1EE9;ng minh Anxn &

  x2192; Ax0 Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; An &

  x2192; A n&

  xEA;n sup n&

  x2208;N kAnk +&

  x221E;. kAnxn &

  x2212; Ax0k = kAnxn &

  x2212; Anx0k + kAnx0 &

  x2212; Ax0k &

  x2264; kAnkkxn &

  x2212; x0k + kAn &

  x2212; Akkx0k V&

  x1EAD;y Anxn &

  x2192; Ax0, n &

  x2192; &

  x221E; B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.36. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. Ch&

  x1EE9;ng minh kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i u, v : X &

  x2212;&

  x2192; X sao cho u &

  x25E6; v &

  x2212; v &

  x25E6; u = id. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; c&

  xF3; u, v th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n u &

  x25E6; v &

  x2212; v &

  x25E6; u = id. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng u &

  x25E6; vn+1 &

  x2212; vn+1 &

  x25E6; u = (n + 1)vn . V&

  x1EDB;i n = 1 ta c&

  xF3; u &

  x25E6; v2 &

  x2212; v2 &

  x25E6; u = 2v. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, u &

  x25E6; v2 = u &

  x25E6; v &

  x25E6; (v) = (id+v &

  x25E6;u)v = v +v &

  x25E6;(uv) = v +v &

  x25E6;(id+v &

  x25E6;u) = v +v2 &

  x25E6;u+v = 2v +v2 &

  x25E6;u. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k, ta ch&

  x1EE9;ng minh n&

  xF3; &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k + 1. Ta c&

  xF3; u &

  x25E6; vk+2 &

  x2212; vk+2 &

  x25E6; u = (u &

  x25E6; vk+1 )v &

  x2212; v(vk+1 &

  x25E6; u) = (vk+1 &

  x25E6; u + (k + 1)vk ) &

  x25E6; v &

  x2212; vk+2 &

  x25E6; u = vk+1 &

  x25E6; (u &

  x25E6; v) + (k + 1)vk+1 &

  x2212; vk+2 &

  x25E6; u = vk+1 (id + v &

  x25E6; u) + (k + 1)vk+1 &

  x2212; vk+2 &

  x25E6; u = vk+1 + vk+2 &

  x25E6; u + (k + 1)vk+1 &

  x2212; vk+2 &

  x25E6; u = (k + 2)vk+1 V&

  x1EAD;y u &

  x25E6; vn+1 &

  x2212; vn+1 &

  x25E6; u = (n + 1)vn . Suy ra k(n+1)vn k &

  x2264; 2kukkvkkvn k, &

  x2200;n &

  x2208; N hay (n+1)kvn k &

  x2264; 2kukkvkkvn k, &

  x2200;n &

  x2208; N. N&

  x1EBF;u kvn k 6= 0, &

  x2200;n &

  x2208; N th&

  xEC; (n + 1) &

  x2264; 2kukkvk, &

  x2200;n &

  x2208; N, v&

  xF4; l&

  xED;. Do &

  x111;&

  xF3;, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 sao cho kvn k = 0, &

  x2200;n &

  x2265; n0. Suy ra vn = 0, &

  x2200;n &

  x2265; n0. Theo u &

  x25E6; vn+1 &

  x2212; vn+1 &

  x25E6; u = (n + 1)vn ta &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c vn0&

  x2212;1 = 0, . . . Ti&

  x1EBF;p t&

  x1EE5;c qu&

  xE1; tr&

  xEC;nh n&

  xE0;y ta c&

  xF3; v = 0, khi &

  x111;&

  xF3; id = 0, v&

  xF4; l&

  xED;. V&

  x1EAD;y kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i u, v sao cho u &

  x25E6; v &

  x2212; v &

  x25E6; u = id.

• 31. 1.37. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, A : X &

  x2212;&

  x2192; X l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh sao cho trong X t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i d&

  xE3;y (xn)n sao cho kxnk = 1, Axn &

  x2192; 0. Ch&

  x1EE9;ng minh A kh&

  xF4;ng c&

  xF3; to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; A c&

  xF3; to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c A&

  x2212;1 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Khi &

  x111;&

  xF3; A&

  x2212;1 (Axn) = (A&

  x2212;1 A)(xn) = Id(xn) = xn n&

  xEA;n kA&

  x2212;1 (Axn)k = kxnk = 1, &

  x2200;n &

  x2208; N A&

  x2212;1 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. V&

  xEC; Axn &

  x2192; 0 n&

  xEA;n A&

  x2212;1 (Axn) &

  x2192; 0. Suy ra kA&

  x2212;1 (Axn)k = kxnk = 1 &

  x2192; 0, v&

  xF4; l&

  xED;. V&

  x1EAD;y A kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.38. Cho X = C[0,1]. Tr&

  xEA;n X ta x&

  xE9;t c&

  xE1;c chu&

  x1EA9;n sau kfk1 = 1 Z 0 |f(t)| dt kfk2 = ( 1 Z 0 |f(t)|2 dt) 1 2 kfk&

  x221E; = sup t&

  x2208;[0,1] |f(t)| Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. kfk1 &

  x2264; kfk2 v&

  xE0; kfk2 &

  x2264; kfk&

  x221E;. 2. Ba chu&

  x1EA9;n tr&

  xEA;n &

  x111;&

  xF4;i m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. 3. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; suy ra (X, k.k1) v&

  xE0; (X, k.k2) kh&

  xF4;ng Banach10 . Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. Theo b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Holder ta c&

  xF3; kfk2 1 = ( 1 Z 0 |f(t)| dt)2 &

  x2264; ( 1 Z 0 |f(t)|2 dt)( 1 Z 0 12 dt) = kfk2 2. 10 T&

  x1ED5;ng qu&

  xE1;t: N&

  x1EBF;u X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach th&

  xEC; m&

  x1ECD;i chu&

  x1EA9;n tr&

  xEA;n X so s&

  xE1;nh &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n ban &

  x111;&

  x1EA7;u v&

  xE0; l&

  xE0;m cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach &

  x111;&

  x1EC1;u t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, n&

  x1EBF;u X1 l&

  xE0; X v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n m&

  x1EDB;i k.k1 th&

  xEC; id : X &

  x2212;&

  x2192; X1 ho&

  x1EB7;c id : X1 &

  x2212;&

  x2192; X li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng v&

  x1EDB;i k.k1 y&

  x1EBF;u h&

  x1A1;n hay m&

  x1EA1;nh h&

  x1A1;n chu&

  x1EA9;n ban &

  x111;&

  x1EA7;u. Khi &

  x111;&

  xF3;, n&

  xF3; l&

  xE0; ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i.

• 32. &

  x2264; kfk&

  x221E; 2. X&

  xE9;t fn(t) = tn , t &

  x2208; [0, 1], &

  x2200;n &

  x2208; N. Ta c&

  xF3; kfnk1 = 1 n + 1 , kfnk2 = 1 &

  x221A; 2n+1 , kfk&

  x221E; = 1. M&

  xE0; kfnk2 kfnk1 &

  x2192; +&

  x221E;, kfnk&

  x221E; kfnk1 &

  x2192; +&

  x221E;, kfnk&

  x221E; kfnk2 &

  x2192; +&

  x221E; 3. N&

  x1EBF;u (X, k.k2) l&

  xE0; Banach th&

  xEC; id : (X, k.k&

  x221E;) &

  x2212;&

  x2192; (X, k.k2) l&

  xE0; song &

  xE1;nh tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c c&

  x1EE7;a hai kh&

  xF4;ng gian Banach. Theo nguy&

  xEA;n l&

  xFD; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;, n&

  xF3; l&

  xE0; ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i. Do &

  x111;&

  xF3;, k.k2 v&

  xE0; k.k&

  x221E; t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.39. Cho (X, k.k1) v&

  xE0; (X, k.k2) l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian Banach. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i (xn)n &

  x2282; X, n&

  x1EBF;u kxnk1 &

  x2192; 0 th&

  xEC; kxnk2 &

  x2192; 0. Ch&

  x1EE9;ng minh hai chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. X&

  xE9;t &

  xE1;nh x&

  x1EA1; id : (X, k.k1) &

  x2212;&

  x2192; (X, k.k2) x 7&

  x2212;&

  x2192; x Ta c&

  xF3; id l&

  xE0; song &

  xE1;nh, tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh, li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Banach v&

  x1EC1; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF; id l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh, do &

  x111;&

  xF3; c&

  xF3; M, N 0 sao cho Mkxk1 &

  x2264; kxk2 &

  x2264; Nkxk1 V&

  x1EAD;y hai chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.40. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n, k.k1 v&

  xE0; k.k2 l&

  xE0; hai chu&

  x1EA9;n kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng tr&

  xEA;n X v&

  xE0; c&

  xF3; s&

  x1ED1; K sao cho k.k1 &

  x2264; Kk.k2. Khi &

  x111;&

  xF3;, n&

  x1EBF;u (X, k.k1) l&

  xE0; Banach th&

  xEC; (X, k.k2) kh&

  xF4;ng Banach. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; (X, k.k2) kh&

  xF4;ng Banach. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, id l&

  xE0; song &

  xE1;nh, tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh, li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Banach v&

  x1EC1; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF; id l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh, do &

  x111;&

  xF3; c&

  xF3; M, N 0 sao cho Mkxk1 &

  x2264; kxk2 &

  x2264; Nkxk1 V&

  x1EAD;y hai chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. (V&

  xF4; l&

  xFD;)

• 33. 1.41. Cho X1 = (X, k.k1) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; X2 = (X, k.k2) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n kh&

  xF4;ng Banach. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng hai chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng v&

  x1EDB;i nhau. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; ch&

  xFA;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng v&

  x1EDB;i nhau. Khi &

  x111;&

  xF3; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i c1, c2 0 sao cho &

  x2200;x &

  x2208; X ta c&

  xF3; c1kxk1 &

  x2264; kxk2 &

  x2264; c2kxk1 G&

  x1ECD;i (xn)n &

  x2208; X2 l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy. Ta c&

  xF3; kxm &

  x2212; xnk2 &

  x2192; 0, m, n &

  x2192; &

  x221E;. K&

  x1EBF;t h&

  x1EE3;p v&

  x1EDB;i b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c tr&

  xEA;n ta suy ra (xn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong X1 n&

  xEA;n n&

  xF3; h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; &

  x111;&

  x1EBF;n ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; x &

  x2208; X1. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kxn &

  x2212;xk c2kxn &

  x2212;xk1 &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; n&

  xEA;n kxn &

  x2212;xk2 &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  x1EAD;y xn &

  x2192; x, n &

  x2192; &

  x221E;, ngh&

  x129;a l&

  xE0; X2 l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n v&

  x1EDB;i gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t. V&

  x1EAD;y hai chu&

  x1EA9;n k.k1, k.k2kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.42. V&

  xED; d&

  x1EE5; v&

  x1EC1; hai kh&

  xF4;ng gian Banach nh&

  x1B0;ng c&

  xE1;c chu&

  x1EA9;n t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. Cho X = l1 v&

  xE0; Y = l2 . V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i k &

  x2208; N ta g&

  x1ECD;i ek = (&

  x3B4;km)m&

  x2208;N &

  x2208; l1 v&

  xE0; fk l&

  xE0; c&

  xE1;c th&

  xE0;nh ph&

  x1EA7;n t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng trong l2 . V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i t &

  x2208; (0, 1), &

  x111;&

  x1EB7;t bt = (1, t, t2 , . . .). Khi &

  x111;&

  xF3; {ek : k &

  x2208; N}&

  x222A;{bt : 0 t 1} l&

  xE0; h&

  x1EC7; &

  x111;&

  x1ED9;c l&

  x1EAD;p tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh trong l1 v&

  xE0; {fk : k &

  x2208; N} &

  x222A; {bt : 0 t 1} l&

  xE0; h&

  x1EC7; &

  x111;&

  x1ED9;c l&

  x1EAD;p tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh trong l2 . C&

  xE1;c h&

  x1EC7; n&

  xE0;y c&

  xF3; th&

  x1EC3; m&

  x1EDF; r&

  x1ED9;ng th&

  xE0;nh c&

  x1A1; s&

  x1EDF; Hamel B1 v&

  xE0; B2 t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng trong l1 v&

  xE0; l2 . C&

  x1EA3; B1 v&

  xE0; B2 &

  x111;&

  x1EC1;u ch&

  x1EE9;a m&

  x1ED9;t t&

  x1EAD;p con c&

  xF3; l&

  x1EF1;c l&

  x1B0;&

  x1EE3;ng 2&

  x2135;0 . M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, X &

  x2282; 2N v&

  xE0; Y &

  x2282; 2N n&

  xEA;n ta suy ra B1 v&

  xE0; B2 c&

  xF3; l&

  x1EF1;c l&

  x1B0;&

  x1EE3;ng b&

  x1EB1;ng 2&

  x2135; 0 . &

  x110;&

  x1EB7;c bi&

  x1EC7;t c&

  xF3; &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EA5;u &

  x3D5; t&

  x1EEB; B1 v&

  xE0;o B2 bi&

  x1EBF;n ek th&

  xE0;nh fk, &

  x2200;k &

  x2208; N. V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N, &

  x111;&

  x1EB7;t an = n P k=1 1 k ek &

  x2208; l1 v&

  xE0; bk = n P k=1 1 k fk &

  x2208; l2 . Khi &

  x111;&

  xF3; kank1 = 1 v&

  xE0; kbnk2 = 1 &

  x221A; n . Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n m&

  x1EDB;i tr&

  xEA;n l1 nh&

  x1B0; sau kxk&

  x3B2; = k&

  x3D5;(x)k2 v&

  x1EDB;i x &

  x2208; l1 . &

  x110;&

  xE2;y l&

  xE0; m&

  x1ED9;t chu&

  x1EA9;n v&

  xEC; &

  x3D5; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh v&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh X Banach v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n n&

  xE0;y. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; (xn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n m&

  x1EDB;i trong X. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; (&

  x3D5;(xn))n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n k.k2 trong l2 . V&

  xEC; l2 l&

  xE0; Banach n&

  xEA;n c&

  xF3; y &

  x2208; l2 sao cho k&

  x3D5;(xn) &

  x2212; yk2 &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  xEC; &

  x3D5; l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh n&

  xEA;n ta c&

  xF3; th&

  x1EC3; vi&

  x1EBF;t y = &

  x3D5;(x) v&

  x1EDB;i x &

  x2208; l1 . Ta c&

  xF3; k&

  x3D5;(xn) &

  x2212; yk2 = k&

  x3D5;(xn) &

  x2212; &

  x3D5;(x)k2 = kxn &

  x2212; xk&

  x3B2; Suy ra kxn &

  x2212; xk &

  x2192; 0 khi n &

  x2192; &

  x221E;. N&

  xF3;i c&

  xE1;ch kh&

  xE1;c, l1 &

  x111;&

  x1EE7; v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n k.k&

  x3B2;. Cu&

  x1ED1;i c&

  xF9;ng ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh k.k1 v&

  xE0; k.k&

  x3B2; kh&

  xF4;ng t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng tr&

  xEA;n X = l1 .

• 34. ta c&

  xF3; &

  x3D5;(an) = bn v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; kank&

  x3B2; = kbnk2 = 1 &

  x221A; n &

  x2192; 0 khi n &

  x2192; &

  x221E;. Tuy nhi&

  xEA;n, kank1 = 1, &

  x2200;n &

  x2208; N. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.43. Cho kh&

  xF4;ng gian Banach X, A &

  x2208; L(X). Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i C 0 sao cho &

  x2200;x &

  x2208; X, kAxk &

  x2265; Ckxk. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng ImA = A(X) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a X. Ch&

  x1EE9;ng minh. L&

  xE2;y (yn)n &

  x2282; A(X), yn &

  x2192; y &

  x2208; X. Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh y &

  x2208; A(X). Ta c&

  xF3; &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;xn &

  x2208; X sao cho Axn = yn. V&

  xEC; yn &

  x2192; y n&

  xEA;n n&

  xF3; l&

  xE0; d&

  xE3;y c&

  x1A1; b&

  x1EA3;n trong X. Do &

  x111;&

  xF3; &

  x2200; 0, &

  x2203;n0 0, &

  x2200;m, n &

  x2265; n0 &

  x21D2; kym &

  x2212; ynk C. Theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t &

  x2200;m, n &

  x2265; n0 th&

  xEC; Ckxm &

  x2212; xnk &

  x2264; kA(xn &

  x2212; xm)k Ckxm &

  x2212; xnk &

  x2264; kA(xn) &

  x2212; A(xm)k kxm &

  x2212; xnk &

  x2264; 1 C kym &

  x2212; ynk 1 C C = Suy ra (xn)n l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y c&

  x1A1; b&

  x1EA3;n trong kh&

  xF4;ng gian Banach X n&

  xEA;n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EC1; ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; x &

  x2208; X. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n Axn &

  x2192; Ax, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; yn &

  x2192; Ax. Do t&

  xED;nh duy nh&

  x1EA5;t c&

  x1EE7;a gi&

  x1EDB;i h&

  x1EA1;n n&

  xEA;n y = Ax hay y &

  x2208; A(X). B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.44. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; f &

  x2208; X&

  x2217; , f 6= 0. &

  x110;&

  x1EB7;t &

  x3B1; = inf{kxk : x &

  x2208; X, f(x) = 1}. Ch&

  x1EE9;ng minh kfk = 1 &

  x3B1; Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh kfk &

  x2265; 1 &

  x3B1; v&

  xE0; kfk &

  x2264; 1 &

  x3B1; . V&

  xEC; f 6= 0 n&

  xEA;n kfk 6= 0. &

  x110;&

  x1EB7;t M = {x &

  x2208; X|f(x) = 1}. Khi &

  x111;&

  xF3; &

  x2200;x &

  x2208; M, 1 = |f(x)| &

  x2264; kfkkxk. Suy ra &

  x2200;x &

  x2208; M, 1 kfk &

  x2264; kxk v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; 1 kfk &

  x2264; &

  x3B1; = inf x&

  x2208;M kxk. V&

  x1EAD;y 1 &

  x3B1; &

  x2264; kfk. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, f(x) 6= 0, ta &

  x111;&

  x1EB7;t y = x f(x) th&

  xEC; f(y) = 1. Do &

  x111;&

  xF3; y &

  x2208; M. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; kyk = kxk |f(x)| &

  x2265; &

  x3B1;. Suy ra |f(x)| &

  x2264; 1 &

  x3B1; kxk, &

  x2200;x &

  x2208; X, f(x) 6= 0. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; |f(x)| &

  x2264; 1 &

  x3B1; kxk, &

  x2200;x &

  x2208; X. V&

  x1EAD;y kfk &

  x2264; 1 &

  x3B1; .

• 35. 1.45. Cho f l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c kh&

  xE1;c 0 tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X. &

  x110;&

  x1EB7;t N = ker f = {x &

  x2208; X|f(x) = 0} Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng &

  x2200;a &

  x2208; X, d(a, N) = |f(a)| kfk . Ch&

  x1EE9;ng minh. a &

  x2208; N, r&

  xF5;. a / &

  x2208; N, ta c&

  xF3; d(a, N) = inf x&

  x2208;N ka &

  x2212; xk. V&

  xEC; N &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; a / &

  x2208; N n&

  xEA;n d(a, N) 0. Ta c&

  xF3; |f(a)| = |f(a) &

  x2212; f(x)| &

  x2264; kfkka &

  x2212; xk, &

  x2200;x &

  x2208; N &

  x21D2; |f(a)| kfk &

  x2264; ka &

  x2212; xk, &

  x2200;x &

  x2208; N &

  x21D2; |f(a)| kfk &

  x2264; inf x&

  x2208;N ka &

  x2212; xk &

  x21D2; |f(a)| kfk &

  x2264; d(a, N) V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, a / &

  x2208; N &

  x111;&

  x1EB7;t y = a &

  x2212; f(a) f(x)x, th&

  xEC; f(y) = 0 &

  x21D2; y &

  x2208; N. Suy ra a &

  x2212; y = f(a) f(x) x v&

  xE0; d(a, N) &

  x2264; ka &

  x2212; yk. Suy ra &

  x21D2; d(a, N) &

  x2264; k f(a) f(x) xk &

  x21D2; d(a, N) &

  x2264; |f(a)| |f(x)| kxk &

  x21D2; |f(x)| &

  x2264; |f(a)| d(a, N) kxk &

  x21D2; kfk &

  x2264; |f(a)| d(a, N) &

  x21D2; |f(a)| kfk &

  x2265; d(a, N) V&

  x1EAD;y d(a, N) = |f(a)| kfk . B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.46. Cho kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n X, M 6= 0, M &

  x2282; X. &

  x110;&

  x1EB7;t &

  x25E6; M= {f &

  x2208; X&

  x2217; : f(x) = 0, &

  x2200;x &

  x2208; M}. Ch&

  x1EE9;ng minh &

  x25E6; M l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a X&

  x2217; .

• 36. D&

  x1EC5; th&

  x1EA5;y &

  x25E6; M l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con. Ta ch&

  x1EE9;ng minh &

  x25E6; M &

  x111;&

  xF3;ng. L&

  x1EA5;y (fn)n &

  x2282; &

  x25E6; M, fn &

  x2192; f &

  x2208; X&

  x2217; ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh f &

  x2208; &

  x25E6; M. V&

  xEC; fn &

  x2192; f n&

  xEA;n fn(x) &

  x2192; f(x), &

  x2200;x &

  x2208; X. Do &

  x111;&

  xF3; &

  x2200;x &

  x2208; M, f(x) = lim n&

  x2192;&

  x221E; fn(x) = lim n&

  x2192;&

  x221E; 0 = 0 V&

  x1EAD;y f &

  x2208; &

  x25E6; M hay M &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.47. V&

  xED; d&

  x1EE5; v&

  x1EC1; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a kh&

  xF4;ng gian v&

  xF4; h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u nh&

  x1B0;ng kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. l0 &

  x2282; l&

  x221E; l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a l&

  x221E; , trong &

  x111;&

  xF3; l0 bao g&

  x1ED3;m c&

  xE1;c d&

  xE3;y s&

  x1ED1; ph&

  x1EE9;c ch&

  x1EC9; c&

  xF3; h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n s&

  x1ED1; h&

  x1EA1;ng kh&

  xE1;c 0. Ta c&

  xF3; a = (1, 1 2 , 1 3 , . . .) &

  x2208; l&

  x221E; V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N &

  x111;&

  x1EB7;t xn = (1, 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n , 0, 0, . . .) &

  x2208; l0 Khi &

  x111;&

  xF3; kxn &

  x2212; ak = k(0, 0, . . . , 0, 1 n + 1 , 1 n + 2 , . . .)k = 1 n + 1 &

  x2192; 0 khi n &

  x2192; &

  x221E; M&

  xE0; a / &

  x2208; l0. 2. X&

  xE9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n C[0, 1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n kxk = 1 X 0 |f(t)|2 dt !1 2 . X&

  xE9;t t&

  x1EAD;p S = {f &

  x2208; C[0, 1]| f(0) = 0} &

  x2282; C[0, 1]. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, S l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a C[0, 1]. X&

  xE9;t g &

  x2208; C[0, 1] sao cho g(t) = 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]. V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i n &

  x2208; N, x&

  xE9;t fn &

  x2208; S x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh nh&

  x1B0; sau fn(t) = ( nt n&

  x1EBF;u 0 &

  x2264; t &

  x2264; 1 n 1 n&

  x1EBF;u 1 n &

  x2264; t &

  x2264; 1 L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; fn(t) &

  x2212; g(t) = ( nt &

  x2212; 1 n&

  x1EBF;u 0 &

  x2264; t &

  x2264; 1 n 0 n&

  x1EBF;u 1 n &

  x2264; t &

  x2264; 1

• 37. gk = &

  xF8EB; &

  xF8ED; 1 n X 0 (nt &

  x2212; 1)2 dt &

  xF8F6; &

  xF8F8; 1 2 = 1 3n 1/2 &

  x2192; 0 khi n &

  x2192; &

  x221E; V&

  x1EAD;y fn &

  x2192; g, tuy nhi&

  xEA;n g / &

  x2208; S. 3. W l&

  xE0; t&

  x1EAD;p c&

  xE1;c &

  x111;a th&

  x1EE9;c trong C[0, 1]. R&

  xF5; r&

  xE0;ng W l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a C[0, 1]. W kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng trong C[0, 1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max v&

  xE0; chu&

  x1EA9;n &

  x1EDF; v&

  xED; d&

  x1EE5; tr&

  xEA;n. G&

  x1EE3;i &

  xFD;: X&

  xE9;t h&

  xE0;m ex v&

  xE0; khai tri&

  x1EC3;n Taylor. 4. Cho A = {f &

  x2208; L2 [0, 1]| &

  x2203; kho&

  x1EA3;ng If &

  x2282; [0, 1], 1/2 &

  x2208; If , f = 0 h.k.n tr&

  xEA;n If } L&

  x1EA5;y En = {1/2 &

  x2212; 1/n, 1/2 + 1/n} v&

  xE0; fn = 1 &

  x2212; &

  x3C7;En . L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; fn = 0 tr&

  xEA;n En v&

  xE0; 1/2 &

  x2208; En. Ta c&

  xF3; fn &

  x2192; f = 1 &

  x2208; L2 [0, 1] v&

  xEC; kfn &

  x2212; fk = k&

  x3C7;En k = p &

  xB5;(En) = p 2/n &

  x2192; 0. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.48. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; A : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh sao cho v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i d&

  xE3;y xn &

  x2192; 0 v&

  xE0; &

  x2200;g &

  x2208; Y &

  x2217; th&

  xEC; g(Axn) &

  x2192; 0. Ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh A &

  x111;&

  xF3;ng. L&

  x1EA5;y (xn, Axn) &

  x2208; X &

  xD7; Y sao cho (xn, Axn) &

  x2192; (x, y) &

  x2208; X &

  xD7; Y . Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh y = Ax. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, n&

  x1EBF;u y 6= Ax, th&

  xEC; theo h&

  x1EC7; qu&

  x1EA3; c&

  x1EE7;a &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Hahn-Banach t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i g &

  x2208; Y &

  x2217; sao cho g(Ax) 6= g(y). V&

  xEC; (xn, Axn) &

  x2192; (x, y) &

  x2208; X &

  xD7; Y n&

  xEA;n xn &

  x2212; x &

  x2192; 0, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t g(A(xn &

  x2212; x)) &

  x2192; 0 hay g(Axn) &

  x2192; g(Ax). Ta c&

  x169;ng c&

  xF3; g(Axn) &

  x2192; g(y) v&

  xEC; Axn &

  x2192; y. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; g(Ax) = g(y), m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. V&

  x1EAD;y Ax = y hay A l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.49. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; M &

  x2282; X, &

  x2200;f &

  x2208; X&

  x2217; ta c&

  xF3; sup x&

  x2208;M |f(x)| +&

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh M l&

  xE0; t&

  x1EAD;p b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; &

  x2200;f &

  x2208; X&

  x2217; , sup x&

  x2208;M |f(x)| +&

  x221E; &

  x21D2; sup x&

  x2208;M |x(f)| +&

  x221E; Do &

  x111;&

  xF3;, (x)x&

  x2208;M b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n t&

  x1EEB;ng &

  x111;i&

  x1EC3;m tr&

  xEA;n X&

  x2217; . M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c X&

  x2217; l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach n&

  xEA;n (x)x&

  x2208;M b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n &

  x111;&

  x1EC1;u, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i K &

  x2208; R sao cho kxk &

  x2264; K, &

  x2200;x &

  x2208; M.

• 38. 1.50. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c v&

  xE0; f : X &

  x2212;&

  x2192; R l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi M = {x &

  x2208; X|f(x) &

  x2265; 1} &

  x111;&

  xF3;ng trong X Ch&

  x1EE9;ng minh. &

  x21D2;: V&

  xEC; f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n M = f&

  x2212;1 ([1, +&

  x221E;)) &

  x111;&

  xF3;ng. &

  x21D0;: Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ta c&

  xF3; sup kxk=1 kf (x) k = +&

  x221E; n&

  xEA;n &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;xn &

  x2208; X, kxnk = 1 v&

  xE0; f (xn) n. X&

  xE9;t d&

  xE3;y yn = xn n , n &

  x2265; 1. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; (yn)n &

  x2282; M v&

  xEC; f(yn) = f(xn) n &

  x2265; 1, &

  x2200;n &

  x2208; N. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kynk = kxnk n = 1 n &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  xEC; M &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n 0 &

  x2208; M. Suy ra 0 = f(0) &

  x2265; 1, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. V&

  x1EAD;y f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.51. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; f l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n &

  x111;i&

  x1EC1;u ki&

  x1EC7;n (xn)n &

  x2282; X h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; th&

  xEC; (f(xn))n b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ch&

  x1EE9;ng minh f &

  x2208; X&

  x2217; . Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; f kh&

  xF4;ng li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; sup |f(x)| = +&

  x221E;. Suy ra v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i n &

  x2208; N, c&

  xF3; xn &

  x2208; X, kxnk = 1 v&

  xE0; |f(xn)| &

  x2265; n2 Ch&

  x1ECD;n yn = 1 n xn, yn &

  x2192; 0. Ta c&

  xF3; |f(yn)| = |f(xn)| n &

  x2265; n2 n = n &

  x21D2; (f(yn))n kh&

  xF4;ng b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. V&

  x1EAD;y f &

  x2208; X&

  x2217; . B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.52. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xF4; h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u. Ch&

  x1EE9;ng minh X kh&

  xF4;ng th&

  x1EC3; c&

  xF3; m&

  x1ED9;t c&

  x1A1; s&

  x1EDF; Hamel g&

  x1ED3;m m&

  x1ED9;t s&

  x1ED1; &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  xE1;c ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED;. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i X c&

  xF3; m&

  x1ED9;t c&

  x1A1; s&

  x1EDF; Hamel g&

  x1ED3;m m&

  x1ED9;t s&

  x1ED1; &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  xE1;c ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; l&

  xE0; x1, x2, . . . , xn, . . . X&

  xE9;t n &

  x2208; N, &

  x111;&

  x1EB7;t Xn = {x1, . . . , xn} . L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; Xn l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng dimXn = n v&

  xE0; X = &

  x221E; S n=1 Xn. X Banach n&

  xEA;n n&

  xF3; thu&

  x1ED9;c ph&

  x1EA1;m tr&

  xF9; II, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 &

  x2208; N sao cho B(x0, r) &

  x2282; Xn0 . V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, x 6= 0, &

  x111;&

  x1EB7;t y = rx 2kxk + x0, ta c&

  xF3; ky &

  x2212; x0k = rkxk 2kxk = r 2 r Do &

  x111;&

  xF3; y &

  x2208; B(x0, r), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; y &

  x2208; Xn0 . Suy ra x &

  x2208; Xn0 . T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; X = Xn0 , v&

  xF4; l&

  xFD;. V&

  x1EAD;y X kh&

  xF4;ng th&

  x1EC3; c&

  xF3; m&

  x1ED9;t c&

  x1A1; s&

  x1EDF; g&

  x1ED3;m &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED;.

• 39. 1.53. &

  x110;&

  x1EB7;t An = {f &

  x2208; L1 ([a, b])| Z [a,b] |f(t)|2 dt &

  x2264; n} 1. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng An l&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng trong kh&

  xF4;ng gian L1 ([a, b]) v&

  xE0; &

  x25E6; An= &

  x2205;. 2. L2 ([a, b]) l&

  xE0; t&

  x1EAD;p thu&

  x1ED9;c ph&

  x1EA1;m tr&

  xF9; th&

  x1EE9; nh&

  x1EA5;t trong L1 ([a, b]) Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. L&

  x1EA5;y d&

  xE3;y (fk)k &

  x2282; An v&

  xE0; fk &

  x2192; f, ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh f &

  x2208; A. Ta c&

  xF3; fk &

  x2192; f n&

  xEA;n fk &

  xB5; &

  x2192; f. Khi &

  x111;&

  xF3; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i d&

  xE3;y con (fki)i c&

  x1EE7;a (fk)k sao cho fki h.k.n &

  x2192; f. Suy ra f2 ki h.k.n &

  x2192; f2 . Theo b&

  x1ED5; &

  x111;&

  x1EC1; Fatou, ta c&

  xF3; Z [a,b] |f(t)|2 dt = Z [a,b] lim k&

  x2192;&

  x221E; |fk(t)|2 dt = Z [a,b] lim k&

  x2192;&

  x221E; |fki(t)|2 dt &

  x2264; lim k&

  x2192;&

  x221E; Z [a,b] |fki(t)|2 dt &

  x2264; n V&

  x1EAD;y f &

  x2208; An n&

  xEA;n An &

  x111;&

  xF3;ng. Ti&

  x1EBF;p theo ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh &

  x25E6; An= &

  x2205;, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; &

  x2200;f &

  x2208; An, &

  x2200; 0, &

  x2203;g &

  x2208; L1 , kf &

  x2212; gk v&

  xE0; g / &

  x2208; An. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, [a, b] = [a, b &

  x2212; &

  x3B1;] &

  x222A; [b &

  x2212; &

  x3B1;, b] = E1 &

  x222A; E2 g(x) = ( f(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; E1 ksignf(x) + f(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; E2 trong &

  x111;&

  xF3; k n , n k2 &

  x3B1; k . kf &

  x2212; gk = Z E2 k |signf(x)| = Z E2 k = &

  x3B1;k |g|2 = |ksignf(x) + f(x)|2 = (|f| + k)2 Ta c&

  xF3; Z [a,b] |g(t)|2 dt &

  x2265; Z E2 |g(t)|2 dt &

  x2265; Z E2 k2 dt = &

  x3B1;k2 n

• 40. 0, ch&

  x1ECD;n &

  x3B1; 0, &

  x3B1; b &

  x2212; a, n&

  x3B1; 2 . L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; n &

  x3B1; 2 &

  x3B1;2 , ch&

  x1ECD;n k &

  x2208; R sao cho n &

  x3B1; k2 2 &

  x3B1;2 . Ch&

  x1ECD;n g(x) = ( f(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; E1 ksignf(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; E2 C&

  xE1;ch 3: &

  x2200; 0, ch&

  x1ECD;n 2 4n &

  x3B1; 2 2n . Ch&

  x1ECD;n g(x) = &

  xF8F1; &

  xF8F2; &

  xF8F3; f(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; [a + &

  x3B1;, b] f(x) + 2n signf(x) n&

  x1EBF;u x &

  x2208; [a, a + &

  x3B1;] 2. Ta c&

  xF3; L2 ([a, b] = &

  x221E; S n=1 An V&

  xED; d&

  x1EE5; v&

  x1EC1; ess sup: X&

  xE9;t h&

  xE0;m f, g : [&

  x2212;1, 1] &

  x2212;&

  x2192; R &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a nh&

  x1B0; sau: f(x) = x2 , x &

  x2208; [&

  x2212;1, 1] v&

  xE0; g(x) = &

  xF8F1; &

  xF8F4; &

  xF8F2; &

  xF8F4; &

  xF8F3; x2 n&

  x1EBF;u x &

  x2208; [&

  x2212;1, 1] {0, &

  xB1;1 3} 3 n&

  x1EBF;u x = 0 5 n&

  x1EBF;u x = &

  xB1;1 3 Khi &

  x111;&

  xF3; sup t&

  x2208;[&

  x2212;1,1] |g(x)| = 5 sup t&

  x2208;[&

  x2212;1,1] |f(x)| = 1 Tuy nhi&

  xEA;n ess sup |f(x)| = 1 = ess sup |g(x)| B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.54. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng trong kh&

  xF4;ng gian Banach X, t&

  x1ED5;ng c&

  x1EE7;a m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u l&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EC9; c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh n&

  x1EBF;u S l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; x / &

  x2208; S th&

  xEC; S + Rx &

  x111;&

  xF3;ng. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xFD; Hahn-Banach th&

  xEC; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i m&

  x1ED9;t h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tri&

  x1EC7;t ti&

  xEA;u tr&

  xEA;n S v&

  xE0; th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n f(x) = 1. B&

  xE2;y gi&

  x1EDD; gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; yn &

  x2208; S + Rx v&

  xE0; yn &

  x2192; y. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; yn = sn + rnx, sn &

  x2208; S, rn &

  x2208; R. Suy ra rn = f(yn) &

  x2192; f(y). T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; sn = yn &

  x2212; rnx &

  x2192; y &

  x2212; f(y)x, v&

  xE0; v&

  xEC; S &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n y &

  x2212; f(y)x &

  x2208; S. V&

  x1EAD;y y = [y &

  x2212; f(y)x] + f(y)x &

  x2208; S + Rx. C&

  xE1;ch kh&

  xE1;c: S + F = p&

  x2212; 1(pF) trong &

  x111;&

  xF3; p l&

  xE0; ph&

  xE9;p chi&

  x1EBF;u t&

  x1EEB; kh&

  xF4;ng gian X

• 41. V&

  xEC; F h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u n&

  xEA;n &

  x111;&

  xF3;ng trong X/S v&

  xE0; &

  x1EA3;nh ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  x1EE7;a n&

  xF3; qua &

  xE1;nh x&

  x1EA1; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c c&

  x169;ng &

  x111;&

  xF3;ng11 . B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.55. T&

  xEC;m ph&

  x1EA3;n th&

  xED; d&

  x1EE5; ch&

  x1EE9;ng t&

  x1ECF; trong kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n t&

  x1ED5;ng c&

  x1EE7;a hai kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng ch&

  x1B0;a ch&

  x1EAF;c l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. C&

  xE1;ch 1: D&

  xF9;ng 1.28 L&

  x1EA5;y X = l1 . A : X &

  x2212;&

  x2192; X x = (xn)n 7&

  x2212;&

  x2192; Ax = (x1, x2 2 , . . . , xn n , . . .) A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. A kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n M + N kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1ECD;n d&

  xE3;y (xn)n &

  x2282; l1 nh&

  x1B0; sau: x1 = (1, 0, . . .) x2 = (1, 1 2 , 0, . . .) . . . . . . . . . xn = (1, 1 2 , . . . , 1 n , 0, . . .) . . . . . . . . . . . . Ta c&

  xF3; Axn = (1, 1 22 , . . . , 1 n2 , 0, . . .) v&

  xE0; kAxnk = &

  x221E; P n=1 1 n2 +&

  x221E;. Do &

  x111;&

  xF3; (Axn)n &

  x2282; l1 . X&

  xE9;t y = (1, 1 22 , 1 32 , . . . , 1 n2 , 1 (n + 1)2 , . . .). kAxn &

  x2212; yk = &

  x221E; X k=n 1 (k + 1)2 &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; Tuy nhi&

  xEA;n, y / &

  x2208; A(X). Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, n&

  x1EBF;u t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x &

  x2208; l1 sao cho y = Ax th&

  xEC; x1 = 1, x2 = 1 2 , . . . , xn = 1 n , . . . v&

  xE0; kxk = &

  x221E; P n=1 1 n , v&

  xF4; l&

  xFD;. C&

  xE1;ch 2: X&

  xE9;t X = l2 . X&

  xE9;t X1, X2 l&

  xE0; c&

  xE1;c kh&

  xF4;ng gian vect&

  x1A1; g&

  x1ED3;m t&

  x1EA5;t c&

  x1EA3; c&

  xE1;c d&

  xE3;y s&

  x1ED1; th&

  x1EF1;c x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh nh&

  x1B0; sau X1 = {(yn)n|yn = 0 v&

  x1EDB;i n l&

  x1EBB;} X2 = {(zn)n|z2n = nz2n&

  x2212;1} L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, Y1 = l2 &

  x2229; X1 v&

  xE0; Y2 = l2 &

  x2229; X2 l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a l2 . M&

  x1ECD;i d&

  xE3;y (xn)n c&

  x1EE7;a l2 &

  x111;&

  x1EC1;u c&

  xF3; th&

  x1EC3; vi&

  x1EBF;t duy nh&

  x1EA5;t d&

  x1B0;&

  x1EDB;i d&

  x1EA1;ng t&

  x1ED5;ng c&

  xE1;c th&

  xE0;nh ph&

  x1EA7;n c&

  x1EE7;a X1, X2. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; 11 Xem chi ti&

  x1EBF;t trong B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p Gi&

  x1EA3;i t&

  xED;ch h&

  xE0;m c&

  x1EE7;a Nguy&

  x1EC5;n Xu&

  xE2;n Li&

  xEA;m

• 42. . . .} = {0, y1, 0, y4, 0, . . .} + {z1, z2, z3, 2z3, z5, 3z5, . . .} = {z1, y2 + z2, z3, y4 + 2z3, z5, y6 + 3z5, . . .} Suy ra z1 = x1, y2 = x2 &

  x2212; x1, z3 = x3, y4 = x4 &

  x2212; 2x3, . . .. Do &

  x111;&

  xF3; ta c&

  xF3; s&

  x1EF1; bi&

  x1EC3;u di&

  x1EC5;n duy nh&

  x1EA5;t {x1, x2, . . .} = {0, x2&

  x2212;x1, 0, x4&

  x2212;2x3, 0, x6&

  x2212;3x5, . . .}+{x1, x2, x3, 2x3, x5, 3x5, . . .} Y1 + Y2 tr&

  xF9; m&

  x1EAD;t trong l2 , t&

  x1EE9;c l&

  xE0; Y1 + Y2 = l2 . X&

  xE9;t d&

  xE3;y {1, 0, 1 2 , 0, 1 3 , . . .} &

  x2208; l2 ta c&

  xF3; {1, 0, 1 2 , 0, 1 3 , . . .} = {0, &

  x2212;1, 0, &

  x2212;1, 0, &

  x2212;1, . . .} + {1, 1, 1 2 , 1, 1 3 , 1, . . .} D&

  xE3;y tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng thu&

  x1ED9;c Y1 + Y2 v&

  xEC; {0, &

  x2212;1, 0, &

  x2212;1, 0, &

  x2212;1, . . .} / &

  x2208; Y1 v&

  xE0; {1, 1, 1 2 , 1, 1 3 , 1, . . .} / &

  x2208; Y2 do ch&

  xFA;ng kh&

  xF4;ng thu&

  x1ED9;c l2 . V&

  x1EAD;y Y1 + Y2 kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng trong l2 . C&

  xE1;ch 3: Cho F : l&

  x221E; &

  x2212;&

  x2192; l&

  x221E; &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a nh&

  x1B0; sau: z = {zn}n&

  x2208;N 7&

  x2212;&

  x2192; { zn n }n&

  x2208;N . Ta c&

  xF3;: kFk &

  x2264; 1 v&

  xE0; Fz = 0 &

  x21D2; z = 0. Do &

  x111;&

  xF3;, F li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i k &

  x2208; N l&

  x1EA5;y ta g&

  x1ECD;i xk = {1, 2, . . . , k, k, . . .} &

  x2208; l&

  x221E; v&

  xE0; F(xk) = {1, 1, . . . , 1, k k + 1 , k k + 2 , . . .} &

  x2208; F(l&

  x221E; ) X&

  xE9;t b&

  x1ED5; &

  x111;&

  x1EC1; sau: Cho hai kh&

  xF4;ng gian Banach X, Y v&

  xE0; F &

  x2208; L(X, Y ). Khi &

  x111;&

  xF3; F l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh v&

  xE0; F(X) l&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng n&

  x1EBF;u v&

  xE0; ch&

  x1EC9; n&

  x1EBF;u t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i C 0 sao cho kxk &

  x2264; CkFxk v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X. Ch&

  x1EE9;ng minh. &

  x2022; Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; F l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh v&

  xE0; F(X) &

  x111;&

  xF3;ng. F(X) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xEC; n&

  xF3; l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a kh&

  xF4;ng gian Banach. X&

  xE9;t &

  xE1;nh x&

  x1EA1; F&

  x2212;1 : F(X) &

  x2212;&

  x2192; X. N&

  xF3; l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  x1EE7;a m&

  x1ED9;t &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EA5;u b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n gi&

  x1EEF;a X v&

  xE0; F(X). Do &

  x111;&

  xF3;, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i C 0 sao cho kF&

  x2212;1 yk &

  x2264; Ckyk, &

  x2200;y &

  x2208; F(X) t&

  x1EE9;c l&

  xE0; F&

  x2212;1 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Thay y b&

  x1EDF;i Fx ta c&

  xF3; k&

  x1EBF;t qu&

  x1EA3; c&

  x1EA7;n t&

  xEC;m.

• 43. b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c &

  x111;&

  xFA;ng th&

  xEC; F l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh, v&

  xE0; n&

  x1EBF;u Fxn l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong F(X) th&

  xEC; (xn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, xn &

  x2192; x &

  x2208; X, v&

  xE0; v&

  xEC; F li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n Fxn &

  x2192; Fx. V&

  x1EAD;y F(X) l&

  xE0; &

  x111;&

  x1EA7;y &

  x111;&

  x1EE7; v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; F(X) &

  x111;&

  xF3;ng. Theo b&

  x1ED5; &

  x111;&

  x1EC1; n&

  xE0;y, c&

  xF3; th&

  x1EC3; th&

  x1EA5;y r&

  x1EB1;ng v&

  x1EDB;i k &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n, kh&

  xF4;ng c&

  xF3; c 0 sao cho kxkk &

  x2264; ckFxkk. Do &

  x111;&

  xF3;, F(X) kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. C&

  xE1;ch 4: X&

  xE9;t X = C[0, 1] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max v&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh F &

  x2208; L(X) x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh nh&

  x1B0; sau: f(t) 7&

  x2212;&

  x2192; t R 0 f(s)ds, t &

  x2208; [0, 1]. R&

  xF5; r&

  xE0;ng, F b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. N&

  x1EBF;u ta vi&

  x1EBF;t g = Ff th&

  xEC; g(0) = 0, g0 (t) = f(t), v&

  xE0; Ff = 0 &

  x21D2; f(t) = 0 tr&

  xEA;n [0, 1]. Do &

  x111;&

  xF3;, F l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh v&

  xE0; F(X) = {g &

  x2208; C1 [0, 1] : g(0) = 0} Theo b&

  x1ED5; &

  x111;&

  x1EC1; tr&

  xEA;n th&

  xEC; F(X) kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, l&

  x1EA5;y d&

  xE3;y (fn) &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a nh&

  x1B0; sau fn(t) = ntn&

  x2212;1 , ta c&

  xF3; fn &

  x2208; X, kfnk = n v&

  xE0; kF(fn)k = 1 v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i n &

  x2208; N. Do &

  x111;&

  xF3;, kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i C 0 sao cho kfnk &

  x2264; CkF(fn)k v&

  x1EDB;i n &

  x111;&

  x1EE7; l&

  x1EDB;n. Do &

  x111;&

  xF3;, F(X) kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.56. Cho f &

  x2208; X = C[0, 1], gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;an, bn &

  x2208; R sao cho 1 Z 0 (f(x) &

  x2212; anx &

  x2212; bn)4 dx 1 n Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng f l&

  xE0; h&

  xE0;m s&

  x1ED1; b&

  x1EAD;c nh&

  x1EA5;t. Ch&

  x1EE9;ng minh. D&

  x1EC5; th&

  x1EA5;y f kh&

  x1EA3; t&

  xED;ch tr&

  xEA;n [0, 1]. Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a: k.kL : C[0, 1] &

  x2212;&

  x2192; R f 7&

  x2212;&

  x2192; 1 R 0 |f(x)| dx R&

  xF5; r&

  xE0;ng, (X, k.kL) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; ta k&

  xED; hi&

  x1EC7;u l&

  xE0; CL [0,1]. &

  x110;&

  x1EB7;t M = {f &

  x2208; C[0, 1]|f(x) = ax + b, a, b &

  x2208; R} Ta c&

  xF3; M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a CL [0,1] c&

  xF3; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; l&

  xE0; {1, x}. Do &

  x111;&

  xF3; M h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u v&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng. &

  xC1;p d&

  x1EE5;ng b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Holder Z E |FG| d&

  xB5; &

  x2264; ( Z E |F|p d&

  xB5;) 1 p ( Z E |G|q d&

  xB5;) 1 q

• 44. = f(x) &

  x2212; anx &

  x2212; bn, G = 1, p = 4, q = 4 3 ta c&

  xF3; 1 Z 0 |f(x) &

  x2212; anx &

  x2212; bn| dx &

  x2264; [ 1 Z 0 (f(x)&

  x2212;anx&

  x2212;bn)4 dx] 1 4 [ 1 Z 0 1dx] 3 4 ( 1 n ) 1 4 = 1 4 &

  x221A; n Ta c&

  xF3; d&

  xE3;y h&

  xE0;m (fn(x) = anx + bn)n &

  x2282; M th&

  x1ECF;a 1 Z 0 |f(x) &

  x2212; fn(x)| 1 4 &

  x221A; n t&

  x1EE9;c l&

  xE0; kfn &

  x2212; fkL 1 4 &

  x221A; n hay fn &

  x2192; f, n &

  x2192; &

  x221E; Do (fn)n &

  x2282; M v&

  xE0; M &

  x111;&

  xF3;ng n&

  xEA;n f &

  x2208; M. V&

  x1EAD;y c&

  xF3; a, b &

  x2208; R sao cho f(x) = ax + b, &

  x2200;x &

  x2208; [0, 1]. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.57. Cho a, b l&

  xE0; hai &

  x111;i&

  x1EC3;m trong kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c X. K&

  xED; hi&

  x1EC7;u &

  x3B4;(E) = sup x,x0&

  x2208;E kx &

  x2212; x0 k l&

  xE0; &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EDD;ng k&

  xED;nh c&

  x1EE7;a t&

  x1EAD;p E &

  x2282; X v&

  xE0; &

  x111;&

  x1EB7;t B1 = {x &

  x2208; X| kx &

  x2212; ak = kx &

  x2212; bk = ka &

  x2212; bk 2 } Bn = {x &

  x2208; Bn&

  x2212;1| kx &

  x2212; yk &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 , &

  x2200;y &

  x2208; Bn&

  x2212;1} 1. Ch&

  x1EE9;ng minh &

  x3B4;(Bn) &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 v&

  xE0; &

  x221E; T n=1 Bn = { a + b 2 } 2. N&

  x1EBF;u f l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EF1; t&

  x1EEB; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c X l&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c Y th&

  xEC; &

  x2200;x &

  x2208; X, f(x) = Ax + c, trong &

  x111;&

  xF3; A l&

  xE0; ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EF1; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh v&

  xE0; c &

  x2208; Y . Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. Ta c&

  xF3; Bn &

  x2282; Bn&

  x2212;1, &

  x2200;n &

  x2265; 2. &

  x2200;x, y &

  x2208; Bn th&

  xEC; x, y &

  x2208; Bn&

  x2212;1 v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; kx &

  x2212; yk &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 . Suy ra sup x,y&

  x2208;Bn kx &

  x2212; yk &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 ,

• 45. &

  x3B4;(Bn) &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 . Ti&

  x1EBF;p theo ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh &

  x221E; T n=1 Bn = { a + b 2 }. Ta c&

  xF3; &

  x3B4;( &

  x221E; T n=1 Bn) = 0. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, &

  x3B4;( &

  x221E; T n=1 Bn) &

  x2264; &

  x3B4;(Bn). H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, &

  x2200;x, y &

  x2208; B1 th&

  xEC; kx &

  x2212; yk = k &

  x2212; a + (a &

  x2212; y)k &

  x2264; kx &

  x2212; ak + ky &

  x2212; ak = ka &

  x2212; bk Suy ra &

  x3B4;(B1) = sup x,y&

  x2208;B1 kx &

  x2212; yk &

  x2264; ka &

  x2212; bk. Theo ch&

  x1EE9;ng minh tr&

  xEA;n &

  x3B4;(Bn) &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;1) 2 &

  x2264; &

  x3B4;(Bn&

  x2212;2) 22 &

  x2264; &

  xB7; &

  xB7; &

  xB7; &

  x2264; &

  x3B4;(B1) 2n&

  x2212;1 &

  x2264; ka &

  x2212; bk 2n&

  x2212;1 Do &

  x111;&

  xF3;, lim n&

  x2192;&

  x221E; &

  x3B4;(Bn) = 0. V&

  x1EAD;y &

  x3B4;( &

  x221E; T n=1 Bn) = 0. Suy ra &

  x221E; T n=1 Bn c&

  xF3; kh&

  xF4;ng qu&

  xE1; m&

  x1ED9;t ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED;. Vi&

  x1EC7;c c&

  xF2;n l&

  x1EA1;i l&

  xE0; ch&

  x1EE9;ng minh a + b 2 &

  x2208; &

  x221E; T n=1 Bn. &

  x110;&

  x1EB7;t {a + b} &

  x2212; Bn = {a + b &

  x2212; x|x &

  x2208; Bn}. B&

  x1EB1;ng quy n&

  x1EA1;p ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng {a + b} &

  x2212; Bn &

  x2282; Bn, &

  x2200;n &

  x2265; 1. V&

  x1EDB;i n = 1, b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, &

  x2200;a + b &

  x2212; x &

  x2208; {a + b} &

  x2212; B1 ta c&

  xF3; ka + b &

  x2212; x &

  x2212; ak = kb &

  x2212; xk = 1 2 ka &

  x2212; bk ka + b &

  x2212; x &

  x2212; bk = ka &

  x2212; xk = 1 2 ka &

  x2212; bk n&

  xEA;n a + b &

  x2212; x &

  x2208; B1. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k, ta ch&

  x1EE9;ng minh b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k + 1. &

  x2200;x &

  x2208; Bk+1 ta c&

  xF3; x &

  x2208; Bk, do &

  x111;&

  xF3; a + b &

  x2212; x &

  x2208; Bk. &

  x2200;y &

  x2208; Bk ta c&

  xF3; ka + b &

  x2212; x &

  x2212; yk = kx &

  x2212; (a + b &

  x2212; y)k &

  x2264; &

  x3B4;(Bk) 2 t&

  x1EE9;c l&

  xE0; a + b &

  x2212; x &

  x2208; Bk+1. Suy ra {a + b} &

  x2212; Bn = {a + b &

  x2212; x|x &

  x2208; Bn} &

  x2282; Bn, &

  x2200;n &

  x2265; 1. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh a + b 2 &

  x2208; Bn, &

  x2200;n &

  x2265; 1 c&

  x169;ng b&

  x1EB1;ng quy n&

  x1EA1;p. V&

  x1EDB;i n = 1, ta c&

  xF3; a + b 2 &

  x2208; B1, &

  x111;&

  xFA;ng.

• 46. + b 2 &

  x2208; Bk, &

  x2200;k &

  x2265; 1. &

  x2200;y &

  x2208; Bk, ta c&

  xF3; a + b &

  x2212; y &

  x2208; Bk, a + b 2 &

  x2208; Bk v&

  xE0; k a + b 2 &

  x2212; yk = k(a + b &

  x2212; y) &

  x2212; yk 2 &

  x2264; &

  x3B4;(Bk) 2 Do &

  x111;&

  xF3; a + b 2 &

  x2208; Bk+1. V&

  x1EAD;y &

  x221E; T n=1 Bn = { a + b 2 }. 2. f : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EF1;12 . Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a A : X &

  x2212;&

  x2192; Y x 7&

  x2212;&

  x2192; f(x) &

  x2212; f(0) B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.58. Cho X = M[0, 1] l&

  xE0; t&

  x1EAD;p h&

  x1EE3;p c&

  xE1;c h&

  xE0;m s&

  x1ED1; x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh v&

  xE0; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n tr&

  xEA;n [0, 1]. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, kxk = sup t&

  x2208;[0,1] |x(t)| 1. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng (X, k.k) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach. 2. Y = C0[0, 1] l&

  xE0; t&

  x1EAD;p c&

  xE1;c h&

  xE0;m s&

  x1ED1; li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n [0, 1] sao cho x(0) = x(1) = 0. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng Y &

  x111;&

  xF3;ng trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. Xem 1.18 2. L&

  x1EA5;y d&

  xE3;y (xn)n trong Y , xn &

  x2192; x0. V&

  xEC; xn(t) h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; &

  x111;&

  x1EC1;u v&

  x1EC1; x0(t) trong [0, 1] n&

  xEA;n x0 li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n [0, 1]. Ta c&

  xF3; x0(0) = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(0) = lim n&

  x2192;&

  x221E; 0 = 0 x0(1) = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(0) = lim n&

  x2192;&

  x221E; 0 = 0 Suy ra x0 &

  x2208; Y . V&

  x1EAD;y Y &

  x111;&

  xF3;ng. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.59. &

  x110;&

  x1EB7;t X = C[0, 1] l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max. M = {x &

  x2208; X| x(0) = 1, 0 &

  x2264; x(t) &

  x2264; 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]} 1. Ch&

  x1EE9;ng minh M &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n trong X 12 Xem Stephan Banach, Th&

  xE9;orie des operations lineaires, trang 166.

• 47. : X &

  x2212;&

  x2192; R, f(x) = 1 R 0 x2 (t)dt. Ch&

  x1EE9;ng minh f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n M nh&

  x1B0;ng f kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  x1EA1;t gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; nh&

  x1ECF; nh&

  x1EA5;t tr&

  xEA;n M. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. L&

  x1EA5;y d&

  xE3;y (xn)n trong M, xn &

  x2192; x0 &

  x2208; X. Ta c&

  xF3; x0(0) = lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(0) = lim n&

  x2192;&

  x221E; 0 = 0 H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, 0 &

  x2264; xn(t) &

  x2264; 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1] n&

  xEA;n 0 &

  x2264; lim n&

  x2192;&

  x221E; xn(t) &

  x2264; 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]. Do &

  x111;&

  xF3; 0 &

  x2264; x0(t) &

  x2264; 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]. V&

  x1EAD;y x0 &

  x2208; M hay M &

  x111;&

  xF3;ng. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, ta c&

  xF3; v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; M, kxk = sup t&

  x2208;[0,1] |x(t)| = 1 n&

  xEA;n M b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. 2. Vi&

  x1EC7;c ch&

  x1EE9;ng minh f li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c tr&

  xEA;n M xin d&

  xE0;nh cho &

  x111;&

  x1ED9;c gi&

  x1EA3;. Tuy nhi&

  xEA;n, f kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  x1EA1;t &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; nh&

  x1ECF; nh&

  x1EA5;t. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, chon d&

  xE3;y h&

  xE0;m (xn)n &

  x2282; X nh&

  x1B0; sau: xn(t) = ( 1 &

  x2212; nt n&

  x1EBF;u t &

  x2208; [0, 1 n] 0 n&

  x1EBF;u t &

  x2208; (1 n, 1] D&

  x1EC5; th&

  x1EA5;y (xn)n &

  x2282; M. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i n &

  x2208; N ta c&

  xF3; f(xn) = 1 n Z 0 (1 &

  x2212; nt)2 dt = 1 3n 1 n Do &

  x111;&

  xF3;, &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;xn &

  x2282; M sao cho f(xn) 0+ 1 n, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; inf M f = 0. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x0 &

  x2208; M sao cho f(x0) = 0. V&

  xEC; x0(0) = 1 n&

  xEA;n c&

  xF3; 0 0 &

  x111;&

  x1EC3; x0(t) &

  x2265; 1 2, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 0]. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; f(x0) = 1 Z 0 x2 0(t)dt &

  x2265; 1 Z 0 1 4 dt M&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.60. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; A : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; (yn)n &

  x2282; Y th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n &

  x111;i&

  x1EC1;u ki&

  x1EC7;n yn &

  x2192; y0 &

  x2208; Y . Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i N 0 v&

  xE0; (xn)n &

  x2282; X sao cho xn &

  x2192; x0, kxnk &

  x2264; Nkynk, v&

  xE0; Axn = yn, n = 0, 1, 2, . . .

• 48. V&

  xEC; A l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n A(X) = Y v&

  xE0; A l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, Z = A(BX(0, 1)) l&

  xE0; m&

  x1EDF; trong Y v&

  xE0; c&

  xF3; x0 &

  x2208; X sao cho A(x0) = y0. Ta c&

  xF3; A(0) = 0 &

  x2208; Z n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i r 0 sao cho B0 Y (0, r) &

  x2282; Z. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i n &

  x2208; N, yn &

  x2208; Y, yn 6= 0 ta c&

  xF3; ryn kynk &

  x2208; Z n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i an &

  x2208; BX(0, 1) v&

  xE0; A(an) = ryn kynk . Do &

  x111;&

  xF3; yn = A( kynkan r ) = A(xn), v&

  x1EDB;i xn = kynkan r . M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kxnk = k kynkan r k &

  x21D2; kynk = rkxnk kank &

  x2265; rkxnk &

  x21D2; kxnk &

  x2264; Nkynk v&

  x1EDB;i N = 1 r . yn &

  x2192; y0 &

  x2208; Y n&

  xEA;n A(xn) &

  x2192; y0 = A(x0) &

  x2208; Y H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, kxn &

  x2212; x0k &

  x2264; Kkyn &

  x2212; y0k n&

  xEA;n xn &

  x2192; x0 B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.61. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n,M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a X. Ta k&

  xED; hi&

  x1EC7;u &

  x25E6; M= {f &

  x2208; X&

  x2217; | f(M) = 0}. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. (X/M)&

  x2217; &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh v&

  x1EDB;i &

  x25E6; M 2. N&

  x1EBF;u X ph&

  x1EA3;n x&

  x1EA1; th&

  xEC; X/M (t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng, M) &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh v&

  x1EDB;i ( &

  x25E6; M)&

  x2217; ( t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng, (X&

  x2217; / &

  x25E6; M)). Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. X&

  xE9;t t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x1EE9;ng A : &

  x25E6; M &

  x2212;&

  x2192; (X/M)&

  x2217; f 7&

  x2212;&

  x2192; A(f) : X/M &

  x2212;&

  x2192; K x&

  x303; 7&

  x2212;&

  x2192; A(f)(x&

  x303;) = f(x) A l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh: r&

  xF5;. Ta c&

  xF3; kA(f)k = sup kx&

  x303;k=1 kA(f)(x&

  x303;)k = sup kx&

  x303;k=1 |f(x)| &

  x2264; sup kxk=1 |f(x)| = kfk Suy ra A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i f1, f2 &

  x2208; &

  x25E6; M sao cho A(f1) = A(f2) th&

  xEC; &

  x2200;x &

  x2208; X, A(f1)(x&

  x303;) = A(f2)(x&

  x303;), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; f1(x) = f2(x) hay f1 = f2. Do &

  x111;&

  xF3;, A l&

  xE0; &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh.

• 49. ch&

  x1EE9;ng minh A l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i g &

  x2208; (X/M)&

  x2217; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i f &

  x2208; X&

  x2217;, f(x) = g(x&

  x303;). Ta c&

  xF3; f &

  x2208; &

  x25E6; M v&

  xE0; A(f) = g. Cu&

  x1ED1;i c&

  xF9;ng ta ch&

  x1EE9;ng minh f b&

  x1EA3;o to&

  xE0;n chu&

  x1EA9;n. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, ta c&

  xF3; |f(x)| = |A(f)(x&

  x303;)| &

  x2264; kAfkkx&

  x303;k &

  x2264; kAfkkxk n&

  xEA;n kfk &

  x2264; kAfk. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, kfk &

  x2265; kAfk v&

  xEC; A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, do &

  x111;&

  xF3; kAfk = kfk. V&

  x1EAD;y A l&

  xE0; m&

  x1ED9;t ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. 2. X&

  xE9;t &

  xE1;nh x&

  x1EA1; B : X/M &

  x2212;&

  x2192; ( &

  x25E6; M)&

  x2217; x&

  x303; 7&

  x2212;&

  x2192; Bx&

  x303; : &

  x25E6; M &

  x2212;&

  x2192; K f 7&

  x2212;&

  x2192; f(x) T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1;, B l&

  xE0; ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1ED3;ng ph&

  xF4;i tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.62. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n, (A&

  x3B1;)&

  x3B1;&

  x2208;I &

  x2282; L(X, Y ). Ch&

  x1EE9;ng minh hai m&

  x1EC7;nh &

  x111;&

  x1EC1; sau t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng: a) &

  x2200;x &

  x2208; X, &

  x2200;y&

  x2217; &

  x2208; X&

  x2217; : sup &

  x3B1;&

  x2208;I |y&

  x2217; (A&

  x3B1;x)| +&

  x221E;. b) &

  x2200;x &

  x2208; X, sup &

  x3B1;&

  x2208;I kA&

  x3B1;xk +&

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh. a) &

  x21D2; b) : &

  x2200;x &

  x2208; X, &

  x2200;y&

  x2217; &

  x2208; X&

  x2217; : sup &

  x3B1;&

  x2208;I |y&

  x2217; (A&

  x3B1;x)| +&

  x221E; n&

  xEA;n sup &

  x3B1;&

  x2208;I |(A&

  x3B1;x)(y&

  x2217; )| +&

  x221E; &

  x21D2; (A&

  x3B1;x)&

  x3B1;&

  x2208;I b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n t&

  x1EEB;ng &

  x111;i&

  x1EC3;m trong kh&

  xF4;ng gian Banach X&

  x2217;&

  x2217; n&

  xEA;n n&

  xF3; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n &

  x111;&

  x1EC1;u, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; &

  x2200;x &

  x2208; X, sup &

  x3B1;&

  x2208;I kA&

  x3B1;xk +&

  x221E;. b) &

  x21D2; a) : R&

  xF5; B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.63. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; N &

  x2282; X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng &

  xE1;nh x&

  x1EA1; p : X &

  x2212;&

  x2192; X/N, p(x) = [x] = x+N l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;. Ch&

  x1EE9;ng minh. N&

  x1EBF;u kp(x)k 1 th&

  xEC; theo c&

  xE1;ch x&

  xE2;y d&

  x1EF1;ng chu&

  x1EA9;n, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i u &

  x2208; X, kuk 1 sao cho P(x) = P(u). Do &

  x111;&

  xF3; p bi&

  x1EBF;n h&

  xEC;nh c&

  x1EA7;u &

  x111;&

  x1A1;n v&

  x1ECB; trong X th&

  xE0;nh h&

  xEC;nh c&

  x1EA7;u &

  x111;&

  x1A1;n v&

  x1ECB; trong X/N n&

  xEA;n p m&

  x1EDF;.

• 50. 1.64. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; th&

  xEA;m r&

  x1EB1;ng f : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n v&

  xE0; N &

  x2282; ker f th&

  xEC; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i duy nh&

  x1EA5;t &

  xE1;nh x&

  x1EA1; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh g : X/N &

  x2212;&

  x2192; Y sao cho f = gp Ch&

  x1EE9;ng minh. Y&

  xEA;u c&

  x1EA7;u b&

  xE0;i to&

  xE1;n t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng v&

  x1EDB;i fx = g[x] v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X. V&

  xEC; m&

  x1ED7;i ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; c&

  x1EE7;a X/N c&

  xF3; d&

  x1EA1;ng [x], n&

  xEA;n n&

  x1EBF;u g t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i th&

  xEC; duy nh&

  x1EA5;t. Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a &

  xE1;nh x&

  x1EA1; g([x]) = f(x). N&

  x1EBF;u [x] = [u] th&

  xEC; x &

  x2212; u &

  x2208; N. Khi &

  x111;&

  xF3; theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t f(x &

  x2212; u) = 0, suy ra f(x) = f(u). &

  x110;i&

  x1EC1;u n&

  xE0;y ch&

  x1EE9;ng t&

  x1ECF; g &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1;. Vi&

  x1EC7;c c&

  xF2;n l&

  x1EA1;i l&

  xE0; ch&

  x1EE9;ng minh g tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Ta c&

  xF3; g([w]+[x]) = g[w+x] = f(w + x) = fw + fx = g[w] + g[x], v&

  xE0; g(c[x]) = g[cx] = f(cx) = cfx = cg[x]. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.65. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; th&

  xEA;m r&

  x1EB1;ng N = Kerf.Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng f m&

  x1EDF; n&

  x1EBF;u g c&

  xF3; to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ch&

  x1EE9;ng minh. N&

  x1EBF;u g c&

  xF3; to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n th&

  xEC; g m&

  x1EDF;. V&

  xEC; p m&

  x1EDF; n&

  xEA;n f = gp c&

  x169;ng m&

  x1EDF;. Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, n&

  x1EBF;u f m&

  x1EDF; th&

  xEC; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i C sao cho &

  x2200;y &

  x2208; B0 Y (0, 1) c&

  xF3; th&

  x1EC3; &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c vi&

  x1EBF;t d&

  x1B0;&

  x1EDB;i d&

  x1EA1;ng y = fx, trong &

  x111;&

  xF3; x &

  x2208; X v&

  xE0; kxk C. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, y = fx = gpx v&

  xE0; kpxk &

  x2264; kxk &

  x2264; C. Do &

  x111;&

  xF3;, g m&

  x1EDF;. N&

  xF3;i ri&

  xEA;ng, g l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh t&

  x1EEB; X/N l&

  xEA;n Y . g &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh v&

  xEC; g[x] = 0 &

  x21D2; f(x) = 0 &

  x21D2; x &

  x2208; N &

  x21D2; [x] = 0. V&

  x1EAD;y g l&

  xE0; song &

  xE1;nh, m&

  x1EDF; n&

  xEA;n c&

  xF3; to&

  xE1;n t&

  x1EED; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.66. D&

  xF9;ng &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; &

  x111;&

  x1ED3; th&

  x1ECB; &

  x111;&

  xF3;ng &

  x111;&

  x1EC3; ch&

  x1EE9;ng minh &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; m&

  x1EDF;. Ch&

  x1EE9;ng minh. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; f : X &

  x2212;&

  x2192; Y l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. N&

  x1EBF;u f &

  x111;&

  x1A1;n &

  xE1;nh th&

  xEC; n&

  xF3; c&

  xF3; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c v&

  xE0; &

  x111;&

  x1ED3; th&

  x1ECB; c&

  x1EE7;a &

  xE1;nh x&

  x1EA1; ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c {(fx, x) : x &

  x2208; X} &

  x111;&

  xF3;ng. (&

  x110;&

  xF3; l&

  xE0; &

  x1EA3;nh c&

  x1EE7;a {(x, fx) : x &

  x2208; X} d&

  x1B0;&

  x1EDB;i ph&

  xE9;p &

  x111;&

  x1EB3;ng c&

  x1EF1; X &

  xD7; Y &

  x2212;&

  x2192; Y &

  xD7; X x&

  xE1;c &

  x111;&

  x1ECB;nh b&

  x1EDF;i (x, y) 7&

  x2212;&

  x2192; (y, x).) Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; &

  x111;&

  x1ED3; th&

  x1ECB; &

  x111;&

  xF3;ng ta c&

  xF3; f&

  x2212;1 b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; f m&

  x1EDF;. Trong tr&

  x1B0;&

  x1EDD;ng h&

  x1EE3;p t&

  x1ED5;ng qu&

  xE1;t, f : X &

  x2212;&

  x2192; Y ch&

  x1EC9; l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ta vi&

  x1EBF;t f = gp nh&

  x1B0; c&

  xE1;c b&

  xE0;i to&

  xE1;n tr&

  xEA;n, trong &

  x111;&

  xF3; N = ker f. V&

  xEC; g song &

  xE1;nh b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n &

  x1EA3;nh ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c c&

  x1EE7;a n&

  xF3; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Suy ra f m&

  x1EDF;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.67. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach, Y l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n v&

  xE0; (An)n &

  x2282; L(X, Y ). N&

  x1EBF;u v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, (Anx)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong Y th&

  xEC; sup n&

  x2208;N kAnk +&

  x221E;.

• 51. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; X, (Anx)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy trong Y n&

  xEA;n v&

  x1EDB;i = 1, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 &

  x2208; N sao cho v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m, n &

  x2265; n0 ta c&

  xF3; kAnx &

  x2212; Amxk &

  x2264; 1. Do &

  x111;&

  xF3; kAnx &

  x2212; An0 xk &

  x2264; 1, &

  x2200;n &

  x2265; n0. Suy ra kAnxk &

  x2264; kAnx &

  x2212; An0 xk + kAn0 k &

  x2264; kAn0 k + 1, &

  x2200;n &

  x2265; n0 &

  x110;&

  x1EB7;t K = max{kAn0 k + 1, kA1xk, . . . , kAn0&

  x2212;1k} Ta c&

  xF3; kAnxk &

  x2264; K, &

  x2200;n &

  x2208; N, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; (Anx)n b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n &

  x111;i&

  x1EC3;m. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach v&

  xE0; (An)n &

  x2282; L(X, Y ) n&

  xEA;n n&

  xF3; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n &

  x111;&

  x1EC1;u. V&

  x1EAD;y sup n&

  x2208;N kAnk +&

  x221E;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.68. Cho X l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n th&

  x1EF1;c v&

  xE0; x1, . . . , xn l&

  xE0; n vect&

  x1A1; ph&

  xE2;n bi&

  x1EC7;t trong X. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i f &

  x2208; X&

  x2217; sao cho f(xi) 6= f(xj), i 6= j, i, j = 1, . . . , n. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh b&

  x1EB1;ng quy n&

  x1EA1;p theo n. V&

  x1EDB;i n = 2, theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Hahn-Banach t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i f &

  x2208; X&

  x2217; sao cho f(x1) = f(x2). Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k, l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; ta gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; f(x1) f(x2) &

  xB7; &

  xB7; &

  xB7; f(xk) Ch&

  x1ECD;n a1 f(x1)a2 f(x2) &

  xB7; &

  xB7; &

  xB7; ak f(xk) ak+1 N&

  x1EBF;u f(xk+1) 6= f(xi), i = 1, . . . , k th&

  xEC; b&

  xE0;i to&

  xE1;n &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i n = k + 1. N&

  x1EBF;u t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i xk 6= xk+1 sao cho f(xk+1) = f(xk). Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Hahn-Banach t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i g &

  x2208; X&

  x2217; sao cho g(xk) 6= g(xk+1). V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i 0, &

  x111;&

  x1EB7;t h(x) = f(x) + g(x) &

  x2208; X&

  x2217; . Ch&

  x1ECD;n 0 &

  x111;&

  x1EE7; b&

  xE9; sao cho f(xi) + 0g(xi) &

  x2208; (ai, ai+1), &

  x2200;i = 1, . . . , k &

  x2212; 1 v&

  xE0; h = f + 0g l&

  xE0; h&

  xE0;m c&

  x1EA7;n t&

  xEC;m. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.69. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng l&

  x221E; kh&

  xF4;ng c&

  xF3; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; Schauder. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta ch&

  x1EE9;ng minh l&

  x221E; kh&

  xF4;ng kh&

  x1EA3; li. Do &

  x111;&

  xF3;, kh&

  xF4;ng c&

  xF3; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; Schauder. X&

  xE9;t t&

  x1EAD;p A = {(z1, z2, . . . , zn, . . .)} &

  x2282; L&

  x221E; , trong &

  x111;&

  xF3; zi = 0 ho&

  x1EB7;c zi = 1. Ta c&

  xF3; A l&

  xE0; kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c13 . M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, v&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i x, y &

  x2208; A, x 6= y, th&

  xEC; kx &

  x2212; yk = 1. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; F &

  x2282; l&

  x221E; , F &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c v&

  xE0; F = l&

  x221E; . X&

  xE9;t h&

  x1ECD; h&

  xEC;nh c&

  x1EA7;u {B(x, 1 3)}x&

  x2208;A. Khi &

  x111;&

  xF3;, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; l&

  x221E; , = 1 3, &

  x2203;y &

  x2208; F sao cho d(x, y) 1 3. Suy ra y &

  x2208; B(x, 1 3). Do &

  x111;&

  xF3;, F kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c v&

  xEC; {B(x, 1 3)}x&

  x2208;A kh&

  xF4;ng &

  x111;&

  x1EBF;m &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. 13 Xem H&

  xE0;m th&

  x1EF1;c v&

  xE0; Gi&

  x1EA3;i t&

  xED;ch h&

  xE0;m c&

  x1EE7;a Ho&

  xE0;ng T&

  x1EE5;y.

• 52. 1.70. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n. (xn)n &

  x2208; X, xn w &

  x2192; x v&

  xE0; (fn)n &

  x2208; X&

  x2217; , fn &

  x2192; f. Ch&

  x1EE9;ng minh fn(xn) &

  x2192; f(x), n &

  x2192; &

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; kfn(xn) &

  x2212; f(x)k &

  x2264; kfn(xn) &

  x2212; fn(x)k + kfn(x) &

  x2212; f(x)k V&

  xEC; xn w &

  x2192; x n&

  xEA;n fn(xn) &

  x2192; fn(x), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; kfn(xn) &

  x2212; fn(x)k &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E;. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c fn &

  x2192; f, suy ra kfn(x) &

  x2212; f(x)k, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  x1EAD;y fn(xn) &

  x2192; f(x), n &

  x2192; &

  x221E;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.71. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n, M &

  x2282; X&

  x2217; , M = X&

  x2217; , xn, x &

  x2208; X. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; &

  x2200;n &

  x2208; N, &

  x2203;N 0 sao cho kxnk &

  x2264; N v&

  xE0; &

  x2200;f &

  x2208; M, f(xn) &

  x2192; f(x), n &

  x2192; &

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng xn w &

  x2192; x. Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; xn &

  x2208; X v&

  xE0; X &

  x2282; X&

  x2217;&

  x2217; n&

  xEA;n x(f) = f(x), &

  x2200;f &

  x2208; X&

  x2217; . V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i f &

  x2208; X&

  x2217; , ta ch&

  x1EE9;ng minh xn(f) &

  x2192; x(f). V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i 0, do f &

  x2208; M n&

  xEA;n B(f, ) &

  x2229; M 6= &

  x2205;, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; c&

  xF3; g &

  x2208; M sao cho kf &

  x2212; gk . Ta c&

  xF3;: kxn(f) &

  x2212; x(f)k &

  x2264; kxn(f) &

  x2212; xn(g)k + kxn(g) &

  x2212; x(g)k + kx(g) &

  x2212; x(f)k &

  x2264; kxnkkf &

  x2212; gk + kxn(g) &

  x2212; x(g)k + kg &

  x2212; fkkxk &

  x2264; N. + + .kxk V&

  x1EAD;y xn(f) &

  x2192; x(f), n &

  x2192; &

  x221E; hay xn w &

  x2192; x. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.72. Cho X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach, Y &

  x2282; X l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian vect&

  x1A1; con c&

  x1EE7;a X v&

  xE0; x &

  x2208; X Y . Ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; y &

  x2208; Y &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c g&

  x1ECD;i l&

  xE0; minimizer n&

  x1EBF;u kx &

  x2212; yk = inf z&

  x2208;Y kx &

  x2212; zk. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. N&

  x1EBF;u Y h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u th&

  xEC; minimizer lu&

  xF4;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i. 2. S&

  x1EF1; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i tr&

  xEA;n n&

  xF3;i chung kh&

  xF4;ng duy nh&

  x1EA5;t. 3. N&

  x1EBF;u Y v&

  xF4; h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u th&

  xEC; minimizer n&

  xF3;i chung kh&

  xF4;ng t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. T&

  x1EAD;p h&

  x1EE3;p {z &

  x2208; Y : kx &

  x2212; zk &

  x2264; R} l&

  xE0; &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n compact n&

  x1EBF;u Y h&

  x1EEF;u h&

  x1EA1;n chi&

  x1EC1;u. H&

  x1A1;n n&

  x1EEF;a, h&

  xE0;m kho&

  x1EA3;ng c&

  xE1;ch kx &

  x2212; zk li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c n&

  xEA;n &

  x111;&

  x1EA1;t &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; nh&

  x1ECF; nh&

  x1EA5;t.

• 53. X = R2 v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n kzk = max{|z1| , |z2|}, kh&

  xF4;ng gian con Y = {(a, 0)|a &

  x2208; R} v&

  xE0; x = (0, 1). L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; m&

  x1ECD;i &

  x111;i&

  x1EC3;m c&

  x1EE7;a &

  x111;o&

  x1EA1;n th&

  x1EB3;ng {(a, 0)|a &

  x2208; [&

  x2212;1, 1]}&

  x111;&

  x1EC1;u l&

  xE0; minimizer. 3. X&

  xE9;t X = C[&

  x2212;1,1], Y = {y &

  x2208; X| 0 Z &

  x2212;1 y(t)dt = 1 Z 0 y(t)dt = 0}, v&

  xE0; x &

  x2208; X l&

  xE0; h&

  xE0;m s&

  x1ED1; sao cho 0 Z &

  x2212;1 x(t)dt = &

  x2212;1, 1 Z 0 x(t)dt = 1. V&

  xEC; 0 R &

  x2212;1 x(t)dt = &

  x2212;1, 0 R &

  x2212;1 y(t)dt = 0 n&

  xEA;n inf t&

  x2208;[&

  x2212;1,0] (x(t) &

  x2212; y(t)) &

  x2264; &

  x2212;1, do t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c, &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c ch&

  x1EC9; x&

  x1EA3;y ra khi y(t) = x(t)+1, &

  x2200;t &

  x2208; [&

  x2212;1, 0]. T&

  x1B0;&

  x1A1;ng t&

  x1EF1;, 1 R 0 y(t)dt = 0} v&

  xE0; 1 R 0 x(t)dt = 1 suy ra sup t&

  x2208;[0,1] (x(t) &

  x2212; y(t)) &

  x2265; 1 v&

  xE0; &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c x&

  x1EA3;y ra ch&

  x1EC9; n&

  x1EBF;u y(t) = x(t) &

  x2212; 1, &

  x2200;t &

  x2208; [0, 1]. Ta suy ra d(x, Y ) &

  x2265; 1 v&

  xE0; kh&

  xF4;ng c&

  xF3; y &

  x2208; Y sao cho kx &

  x2212; yk = 1, b&

  x1EDF;i v&

  xEC; n&

  x1EBF;u c&

  xF3; th&

  xEC; y(0) = x(0) &

  x2212; 1v&

  xE0; y(0) = x(0) + 1, m&

  xE2;u thu&

  x1EAB;n. Tuy nhi&

  xEA;n, ta c&

  xF3; th&

  x1EC3; &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a y nh&

  x1B0; sau: y(t) = x(t) + 1 n&

  x1EBF;u x &

  x2208; [&

  x2212;1, 0), y(t) = x(t) &

  x2212; 1 n&

  x1EBF;u x &

  x2208; (0, 1], v&

  xE0; thay &

  x111;&

  x1ED5;i y trong m&

  x1ED9;t l&

  xE2;n c&

  x1EAD;n nh&

  x1ECF; c&

  x1EE7;a 0 &

  x111;&

  x1EC3; y li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; ta c&

  xF3; kx&

  x2212;yk = inf z&

  x2208;Y kx&

  x2212;zk = 1. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 1.73. Cho X, Y l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n trong &

  x111;&

  xF3; X 6= {0}. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng n&

  x1EBF;u L(X, Y ) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach th&

  xEC; Y l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach14 . Ch&

  x1EE9;ng minh. L&

  x1EA5;y x0 &

  x2208; X sao cho kx0k = 1. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Hahn-Banach, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i f &

  x2208; X&

  x2217; sao cho kfk = 1 v&

  xE0; f(x0) = kx0k = 1. G&

  x1ECD;i (yn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y 14 &

  x110;&

  xE2;y l&

  xE0; b&

  xE0;i hay nh&

  x1EA5;t c&

  x1EE7;a t&

  xE0;i li&

  x1EC7;u n&

  xE0;y. Ta c&

  xF3; k&

  x1EBF;t qu&

  x1EA3; sau: N&

  x1EBF;u X 6= {0} th&

  xEC; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ECB;nh chu&

  x1EA9;n L(X, Y ) l&

  xE0; Banach n&

  x1EBF;u v&

  xE0; ch&

  x1EC9; n&

  x1EBF;u Y l&

  xE0; Banach.

• 54. Y . Ta &

  x111;&

  x1ECB;nh ngh&

  x129;a h&

  x1ECD; to&

  xE1;n t&

  x1EED; An nh&

  x1B0; sau An : X &

  x2212;&

  x2192; Y , An(x) = f(x)yn. Khi &

  x111;&

  xF3; An l&

  xE0; h&

  x1ECD; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i m, n &

  x2208; N ta c&

  xF3; kAn &

  x2212; Amk = sup kxk&

  x2264;1 kf(x)(yn &

  x2212; ym)k = kyn &

  x2212; ymk sup kxk&

  x2264;1 |f(x)| = kyn &

  x2212; ymk t&

  x1EE9;c l&

  xE0; (An)n&

  x2208;N &

  x2282; L(X, Y ) l&

  xE0; m&

  x1ED9;t d&

  xE3;y Cauchy. V&

  xEC; L(X, Y ) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i A &

  x2208; L(X, Y ) sao cho An &

  x2192; A. &

  x110;&

  x1EB7;t A(x0) = y0. Khi &

  x111;&

  xF3; kyn &

  x2212; y0k = kAn(x0) &

  x2212; A(x0)k = k(An &

  x2212; A)(x0)k &

  x2264; kAn &

  x2212; Akkx0k = kAn &

  x2212; Ak &

  x2192; 0 Do &

  x111;&

  xF3;, yn &

  x2192; y0 trong Y . V&

  x1EAD;y Y l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Banach.

• 55. by doing. We learn mathematics by doing problems. 2 Kh&

  xF4;ng gian Hilbert B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.1. M&

  x1ED9;t ch&

  x1EE9;ng minh kh&

  xE1;c cho b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Cauchy-Schwarz |hu, vi| &

  x2264; kukkvk trong &

  x111;&

  xF3; u, v 6= 0 tr&

  xEA;n kh&

  xF4;ng gian ti&

  x1EC1;n Hilbert th&

  x1EF1;c. Ch&

  x1EE9;ng minh. X&

  xE9;t x1 = u kuk + v kvk v&

  xE0; x2 = u kuk &

  x2212; v kvk Ta c&

  xF3; hxi, xii &

  x2265; 0, i = 1, 2, khai tri&

  x1EC3;n ra ta &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c hu, vi &

  x2264; kukkvk v&

  xE0; hu, vi &

  x2265; &

  x2212;kukkvk. Suy ra &

  x111;i&

  x1EC1;u c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.2. M&

  x1ED9;t s&

  x1ED1; kh&

  xF4;ng gian kh&

  xF4;ng th&

  x1ECF;a &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c h&

  xEC;nh b&

  xEC;nh h&

  xE0;nh. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. X&

  xE9;t lp , 1 &

  x2264; p 6= 2 &

  x221E;. Ch&

  x1ECD;n x = (&

  x2212;1, &

  x2212;1, 0, 0, 0, . . .) v&

  xE0; y = (&

  x2212;1, 1, 0, 0, . . .) &

  x2208; lp Ta c&

  xF3; kxk = kyk = 2 1 p v&

  xE0; kx + yk = kx &

  x2212; yk = 2 &

  x110;i&

  x1EC1;u n&

  xE0;y kh&

  xF4;ng x&

  x1EA3;y ra v&

  x1EDB;i l2 . V&

  x1EDB;i l&

  x221E; th&

  xEC; sao?

• 56. C[a, b] v&

  x1EDB;i chu&

  x1EA9;n max. Ch&

  x1ECD;n f(t) = 1 v&

  xE0; g(t) = t &

  x2212; a b &

  x2212; a , &

  x2200;t &

  x2208; [a, b]. Ta c&

  xF3; kfk = kgk = 1 v&

  xE0; kf &

  x2212; gk = 1 v&

  xE0; kf + gk = 2 Suy ra kf + gk2 + kf &

  x2212; gk2 = 5, 2(kfk + kgk) = 4. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.3. Cho 1 &

  x2264; p &

  x221E;. Ch&

  x1EE9;ng minh (lp , k.k) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi p = 2. Ch&

  x1EE9;ng minh. R&

  xF5; r&

  xE0;ng, v&

  x1EDB;i l2 , k.k2 l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert &

  x1EE9;ng v&

  x1EDB;i p = 2. B&

  xE2;y gi&

  x1EDD; gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; 1 &

  x2264; p &

  x221E;, lp l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert. V&

  x1EDB;i k, t &

  x2208; N v&

  xE0; k 6= t ta x&

  xE9;t ek, et &

  x2208; lp . V&

  xEC; n&

  xF3; l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert n&

  xEA;n th&

  x1ECF;a &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c h&

  xEC;nh b&

  xEC;nh h&

  xE0;nh kek + etk2 p + kek &

  x2212; etk2 p = 2(kekk2 p + ketk2 p), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; 2 1 p + 2 1 p = 22 , 21+2 p = 22 , hay p = 2. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.4. Lp [&

  x2212;1, 1], 1 &

  x2264; p &

  x221E; v&

  x1EDB;i k.kp l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert khi p = 2. Ch&

  x1EE9;ng minh. X&

  xE9;t f(x) = 1 + x v&

  xE0; g(x) = 1 &

  x2212; x &

  x2208; Lp [&

  x2212;1, 1]. Ta c&

  xF3; kfkp p = 1 Z &

  x2212;1 |f(x)|p dx = 1 Z &

  x2212;1 (1 + x)p dx = 2p+1 p + 1 v&

  xE0; kgkp p = 1 Z &

  x2212;1 (1 &

  x2212; x)p dx = 2p+1 p + 1 M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kf + gkp p = 1 Z &

  x2212;1 [(1 + x) + (1 &

  x2212; x)]p dx = 1 Z &

  x2212;1 2p dx = 2p+1 v&

  xE0; kf &

  x2212; gkp p = 2p 1 Z &

  x2212;1 |x|p = 2p+1 1 Z 0 xp dx = 2p+1 p + 1

• 57. h&

  xEC;nh b&

  xEC;nh h&

  xE0;nh th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi (p + 1) 2 p &

  x2212; 3 = 0 p = 2 l&

  xE0; nghi&

  x1EC7;m duy nh&

  x1EA5;t c&

  x1EE7;a ph&

  x1B0;&

  x1A1;ng tr&

  xEC;nh tr&

  xEA;n. Ph&

  x1EA7;n c&

  xF2;n l&

  x1EA1;i xin d&

  xE0;nh cho &

  x111;&

  x1ED9;c gi&

  x1EA3;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.5. Cho 1 &

  x2264; p &

  x221E; v&

  xE0; A &

  x2282; Rn l&

  xE0; t&

  x1EAD;p &

  x111;o &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c Lebesgue, &

  x3BB;(A) 0trong &

  x111;&

  xF3; &

  x3BB; l&

  xE0; &

  x111;&

  x1ED9; &

  x111;o Lebesgue tr&

  xEA;n Rn . Ch&

  x1EE9;ng minh (Lp (A), k.kp) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi p = 2. Ch&

  x1EE9;ng minh. Theo t&

  xED;nh ch&

  x1EA5;t c&

  x1EE7;a &

  x111;&

  x1ED9; &

  x111;o Lebesgue, ta c&

  xF3; th&

  x1EC3; t&

  xEC;m c&

  xE1;c t&

  x1EAD;p &

  x111;o &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c Lebesgue B, C &

  x2282; A sao cho B &

  x2229; C = &

  x2205; v&

  xE0; &

  x3BB;(B) = &

  x3BB;(C) = &

  x3BB;(A) 2 . N&

  x1EBF;u Lp (A) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert th&

  xEC; n&

  xF3; th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c h&

  xEC;nh b&

  xEC;nh h&

  xE0;nh. Ta c&

  xF3; k&

  x3C7;B + &

  x3C7;Ck2 p + k&

  x3C7;B &

  x2212; &

  x3C7;Ck2 p = 2(k&

  x3C7;Bk2 p + k&

  x3C7;Ck2 p) Suy ra (&

  x3BB;(A))2/p + (&

  x3BB;(A))2/p = 2 (&

  x3BB;(A)/2)2/p + (&

  x3BB;(A)/2)2/p . V&

  xEC; &

  x3BB;(A) 0 n&

  xEA;n 2 = 22/p , t&

  x1EE9;c l&

  xE0; p = 2. Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, v&

  x1EDB;i p = 2 th&

  xEC; (Lp (A), k.kp) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.6. Cho (&

  x2126;, &

  x3A3;, &

  xB5;) l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian &

  x111;&

  x1ED9; &

  x111;o v&

  x1EDB;i &

  xED;t nh&

  x1EA5;t hai t&

  x1EAD;p c&

  xF3; &

  x111;&

  x1ED9; &

  x111;o d&

  x1B0;&

  x1A1;ng r&

  x1EDD;i nhau. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng Lp (&

  x2126;, &

  xB5;), 1 &

  x2264; p &

  x221E; sinh ra m&

  x1ED9;t t&

  xED;ch v&

  xF4; h&

  x1B0;&

  x1EDB;ng khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi p = 2 Ch&

  x1EE9;ng minh. &

  x110;&

  x1EB7;t &

  x2126; = A1 &

  x222A; A2, trong &

  x111;&

  xF3; A1 &

  x2229; A2 = &

  x2205;, &

  xB5;(A1), &

  xB5;(A2) 0. V&

  x1EDB;i i = 1, 2 ch&

  x1ECD;n fi &

  x2208; Lp (&

  x2126;) sao cho kfikp = 1 v&

  xE0; supp (fi) &

  x2282; Ai. Khi &

  x111;&

  xF3; kf1 &

  xB1; f2kp p = Z A1 |f1 &

  xB1; f2|p + Z A2 |f1 &

  xB1; f2|p = kf1kp p + kf2kp p V&

  xEC; v&

  x1EAD;y v&

  x1EDB;i &

  x3BB;i 0, ta c&

  xF3; k&

  x3BB;1f1 &

  xB1; &

  x3BB;2f2k2 p = k&

  x3BB;1f1kp p + k&

  x3BB;2f2kp p 2 p = (&

  x3BB;p 1 + &

  x3BB;p 2) 2 p , trong &

  x111;&

  xF3; k&

  x3BB;1f1k2 p + k&

  x3BB;2f2k2 p = &

  x3BB;2 1 + &

  x3BB;2 2. N&

  x1EBF;u k.kp th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c h&

  xEC;nh b&

  xEC;nh h&

  xE0;nh th&

  xEC; (&

  x3BB;p 1 + &

  x3BB;p 2) 2 p + (&

  x3BB;p 1 + &

  x3BB;p 2) 2 p = 2(&

  x3BB;2 1 + &

  x3BB;2 2), t&

  x1EE9;c l&

  xE0; (&

  x3BB;p 1 + &

  x3BB;p 2) 2 p = &

  x3BB;2 1 + &

  x3BB;2 2 v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i &

  x3BB;1, &

  x3BB;2 0. &

  x110;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c n&

  xE0;y ch&

  x1EC9; &

  x111;&

  xFA;ng v&

  x1EDB;i p = 2.

• 58. 2.7. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng trong kh&

  xF4;ng gian ti&

  x1EC1;n Hilbert H, x, y &

  x2208; H tr&

  x1EF1;c giao15 v&

  x1EDB;i nhau khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi k&

  x3BB;xk2 +k&

  xB5;yk2 = k&

  x3BB;x+&

  xB5;yk2 , &

  x2200;&

  x3BB;, &

  xB5; &

  x2208; K. Ch&

  x1EE9;ng minh. (&

  x21D2;:) Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; x, y &

  x2208; H, x &

  x22A5; y. Ta c&

  xF3; k&

  x3BB;x + &

  xB5;yk2 = h&

  x3BB;x + &

  xB5;y, &

  x3BB;x + &

  xB5;yi = h&

  x3BB;x, &

  x3BB;x + &

  xB5;yi + h&

  xB5;y, &

  x3BB;x + &

  xB5;yi = h&

  x3BB;x, &

  x3BB;xi + h&

  x3BB;x, &

  xB5;yi + h&

  xB5;y, &

  x3BB;xi + h&

  xB5;y, &

  xB5;yi = h&

  x3BB;x, &

  x3BB;xi + &

  x3BB;&

  xB5; hx, yi + &

  xB5;&

  x3BB; hy, xi + h&

  xB5;y, &

  xB5;yi = k&

  x3BB;xk2 + k&

  xB5;yk2 (&

  x21D0;:) Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; x, y th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n k&

  x3BB;xk2 + k&

  xB5;yk2 = k&

  x3BB;x + &

  xB5;yk2 , &

  x2200;&

  x3BB;, &

  xB5; &

  x2208; K Khi &

  x111;&

  xF3; &

  x2200;&

  x3BB;, &

  xB5; &

  x2208; K th&

  xEC; &

  x3BB;&

  xB5; hx, yi + &

  xB5;&

  x3BB; hy, xi hay &

  x3BB;&

  xB5; hx, yi + &

  xB5;&

  x3BB;hx, yi Ch&

  x1ECD;n &

  x3BB; = &

  xB5; = 1, ta c&

  xF3; 2Re hx, yi = 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; Re hx, yi = 0 Ch&

  x1ECD;n &

  x3BB; = 1, &

  xB5; = i, th&

  xEC; 2Im hx, yi = 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; Im hx, yi = 0. V&

  x1EAD;y hx, yi = 0 hay x &

  x22A5; y. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.8. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian ti&

  x1EC1;n Hilbert v&

  xE0; {x1, . . . , xn} &

  x2282; H, n &

  x2208; N. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng X (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n n X i=1 ixi 2 = 2n n X i=1 kxik2 Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; X (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n n X i=1 ixi 2 = X (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n n X i,j=1 ij hxi, xji = n X i,j=1 hxi, xji X (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n ij V&

  x1EDB;i i = j, ta c&

  xF3; P (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n ij = 2n . V&

  x1EDB;i i 6= j, P (1,...,n)&

  x2208;{&

  xB1;1}n ij = 0 v&

  xEC; trong t&

  x1ED5;ng n&

  xE0;y c&

  xF3; 2n&

  x2212;1 th&

  xE0;nh ph&

  x1EA7;n b&

  x1EB1;ng 1 v&

  xE0; 2n&

  x2212;1 th&

  xE0;nh ph&

  x1EA7;n b&

  x1EB1;ng &

  x2212;1. 15 Trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert ph&

  x1EE9;c, x &

  x22A5; y khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi kxk2 + kyk2 = kx + yk2 v&

  xE0; kx + iyk = kx &

  x2212; iyk.

• 59. 2n n X i=1 hxi, xii = 2n n X i=1 kxik2 B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.9. Cho (xn)n, (yn)n &

  x2282; B0 (0, 1) trong kh&

  xF4;ng gian ti&

  x1EC1;n Hilbert H v&

  xE0; lim n&

  x2192;&

  x221E; hxn, yni = 1. 1. Ch&

  x1EE9;ng minh lim n&

  x2192;&

  x221E; kxnk = lim n&

  x2192;&

  x221E; kynk = 1 2. Ch&

  x1EE9;ng minh lim n&

  x2192;&

  x221E; kxn &

  x2212; ynk = 0 Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. Ta c&

  xF3; 1 = hxn, yni &

  x2264; kxnkkynk &

  x2264; kxnk &

  x2264; 1 1 = hxn, yni &

  x2264; kxnkkynk &

  x2264; kynk &

  x2264; 1 Suy ra lim n&

  x2192;&

  x221E; kxnk = lim n&

  x2192;&

  x221E; kynk = 1. 2. Ta c&

  xF3; kxn &

  x2212; ynk2 = hxn &

  x2212; yn, xn &

  x2212; yni = hxn, xni &

  x2212; hxn, yni &

  x2212; hyn, xni + hyn, yni = kxnk2 + kynk2 &

  x2212; hxn, yni &

  x2212; hxn, yni V&

  x1EAD;y lim n&

  x2192;&

  x221E; kxn &

  x2212; ynk = 0. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.10. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert, A : H &

  x2192; H tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n hAx, yi = hx, Ayi , &

  x2200;x, y &

  x2208; H. Ch&

  x1EE9;ng minh A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh A l&

  xE0; &

  xE1;nh x&

  x1EA1; &

  x111;&

  xF3;ng. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, g&

  x1ECD;i (xn, Axn) &

  x2282; GA v&

  xE0; (xn, Axn) &

  x2192; (x0, y0), ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh y0 = Ax0. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i y &

  x2208; H ta c&

  xF3; hAx0, yi = hx0, Ayi = D lim n&

  x2192;&

  x221E; xn, Ay E = lim n&

  x2192;&

  x221E; hxn, Ayi = lim n&

  x2192;&

  x221E; hAxn, yi = D lim n&

  x2192;&

  x221E; Axn, y E = hy0, yi Suy ra hAx0 &

  x2212; y0, yi = 0, &

  x2200;y &

  x2208; H. V&

  x1EDB;i y = Ax0&

  x2212;y0 th&

  xEC; hAx0 &

  x2212; y0, Ax0 &

  x2212; y0i = 0. Khi &

  x111;&

  xF3;, Ax0 = y0 = 0 hay Ax0 = y0. V&

  x1EAD;y A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; &

  x111;&

  xF3;ng trong kh&

  xF4;ng gian Banach H v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3;, A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c.

• 60. 2.11. Cho kh&

  xF4;ng gian Hilbert H v&

  xE0; t&

  x1EAD;p M th&

  x1ECF;a M &

  x2282; H, M 6= &

  x2205;. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. M &

  x2282; M &

  x2282; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; 2. N&

  x1EBF;u M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con c&

  x1EE7;a H th&

  xEC; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; = M. Ch&

  x1EE9;ng minh. 1. M &

  x2282; M: r&

  xF5;. M &

  x2282; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; : L&

  x1EA5;y x &

  x2208; M, khi &

  x111;&

  xF3; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i (xn)n &

  x2208; M sao cho xn &

  x2192; x, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i y &

  x2208; M&

  x22A5; ta c&

  xF3; hx, yi = D lim n&

  x2192;&

  x221E; xn, y E = lim n&

  x2192;&

  x221E; hxn, yi = lim n&

  x2192;&

  x221E; 0 = 0 V&

  x1EAD;y x &

  x2208; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; . 2. Theo c&

  xE2;u a) ta c&

  xF3; M &

  x2282; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; . B&

  xE2;y gi&

  x1EDD; ta ch&

  x1EE9;ng minh (M&

  x22A5; )&

  x22A5; &

  x2282; M. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, H = M &

  x22A5; &

  x2295; M = M&

  x22A5; &

  x2295; M n&

  xEA;n v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; &

  x111;&

  x1B0;&

  x1EE3;c bi&

  x1EC3;u di&

  x1EC5;n duy nh&

  x1EA5;t d&

  x1B0;&

  x1EDB;i d&

  x1EA1;ng x = y + z, trong &

  x111;&

  xF3; y &

  x2208; M&

  x22A5; , z &

  x2208; M &

  x2282; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; . Suy ra y = x &

  x2212; z &

  x2208; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; . V&

  x1EAD;y y &

  x2208; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; &

  x222A; M&

  x22A5; n&

  xEA;n y = 0. T&

  x1EEB; &

  x111;&

  xF3; x = z &

  x2208; M, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; (M&

  x22A5; )&

  x22A5; &

  x2282; M. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.12. Cho kh&

  xF4;ng gian Hilbert H, f &

  x2208; H&

  x2217; , f 6= 0. Ch&

  x1EE9;ng minh M&

  x22A5; l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con m&

  x1ED9;t chi&

  x1EC1;u c&

  x1EE7;a H, trong &

  x111;&

  xF3; M = ker f Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; f 6= 0 n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x0 &

  x2208; M&

  x22A5; sao cho f(x0) = 1. Ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh M&

  x22A5; = h{x0}i. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; M&

  x22A5; , x 6= 0, f(x) = &

  x3B1; 6= 0 n&

  xEA;n f(x) = &

  x3B1;f(x0). Suy ra f(x &

  x2212; &

  x3B1;x0) = 0 hay x &

  x2212; &

  x3B1;x0 &

  x2208; M. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, v&

  xEC; x, x0 &

  x2208; M&

  x22A5; n&

  xEA;n x&

  x2212;&

  x3B1;x0 &

  x2208; M&

  x22A5; . Khi &

  x111;&

  xF3; hx &

  x2212; &

  x3B1;x0, x &

  x2212; &

  x3B1;x0i = 0 n&

  xEA;n x &

  x2212; &

  x3B1;x0 = 0 hay x = &

  x3B1;x0. V&

  x1EAD;y M&

  x22A5; = h{x0}i. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.13. Cho E = {en}n&

  x2208;N l&

  xE0; h&

  x1EC7; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert H. Ch&

  x1EE9;ng minh E l&

  xE0; t&

  x1EAD;p &

  x111;&

  xF3;ng b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n nh&

  x1B0;ng kh&

  xF4;ng compact. Suy ra H kh&

  xF4;ng compact &

  x111;&

  x1ECB;a ph&

  x1B0;&

  x1A1;ng. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; {en}n&

  x2208;N &

  x2282; B0 (0, 1) n&

  xEA;n n&

  xF3; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. L&

  x1EA5;y d&

  xE3;y (xn)n &

  x2282; E, xn &

  x2192; x. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; (xn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y d&

  x1EEB;ng, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 &

  x2208; N sao cho an = an0 , &

  x2200;n &

  x2265; n0. Suy ra a &

  x2208; E n&

  xEA;n E &

  x111;&

  xF3;ng. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c, ken &

  x2212; emk = &

  x221A; 2, &

  x2200;m, n &

  x2208; N, m 6= n n&

  xEA;n m&

  x1ECD;i d&

  xE3;y (xn)n &

  x2282; E kh&

  xF4;ng c&

  xF3; d&

  xE3;y con n&

  xE0;o h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. V&

  x1EAD;y E kh&

  xF4;ng compact n&

  xEA;n B0 (0, 1) kh&

  xF4;ng compact v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; H kh&

  xF4;ng compact &

  x111;&

  x1ECB;a ph&

  x1B0;&

  x1A1;ng.

• 61. 2.14. G&

  x1ECD;i {en}n&

  x2208;N l&

  xE0; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert H, Pn(x) = n P k=1 hx, eni en, x &

  x2208; H, n = 1, 2, . . . l&

  xE0; d&

  xE3;y ph&

  xE9;p chi&

  x1EBF;u tr&

  x1EF1;c giao. Ch&

  x1EE9;ng minh {PN } h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; &

  x111;i&

  x1EC3;m &

  x111;&

  x1EBF;n &

  xE1;nh x&

  x1EA1; &

  x111;&

  x1ED3;ng nh&

  x1EA5;t I c&

  x1EE7;a H nh&

  x1B0;ng kh&

  xF4;ng h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; theo chu&

  x1EA9;n &

  x111;&

  x1EBF;n I Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; {en}n&

  x2208;N l&

  xE0; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert H n&

  xEA;n &

  x2200;x &

  x2208; H, x = &

  x221E; P k=1 hx, eni en. Khi &

  x111;&

  xF3;, kPn(x) &

  x2212; I(x)k2 = k n X i=1 hx, eii ei &

  x2212; &

  x221E; X i=1 hx, eii eik2 = k &

  x221E; X i=n+1 hx, eii eik2 = &

  x221E; X i=n+1 |hx, eii|2 M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kxk2 = &

  x221E; X i=1 |hx, eii|2 n&

  xEA;n &

  x221E; X i=n+1 |hx, eii|2 &

  x2192; 0, n &

  x2192; &

  x221E; Do &

  x111;&

  xF3; lim n&

  x2192;&

  x221E; kPn(x) &

  x2212; I(x)k2 = 0 n&

  xEA;n lim n&

  x2192;&

  x221E; kPn(x) &

  x2212; I(x)k = 0. V&

  x1EAD;y Pn(x) &

  x2192; I(x), n &

  x2192; &

  x221E;. Gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; (Pn)n&

  x2208;N h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; theo chu&

  x1EA9;n &

  x111;&

  x1EBF;n I khi &

  x111;&

  xF3; lim n&

  x2192;&

  x221E; kPn &

  x2212; Ik = 0, n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i n0 &

  x2208; N sao cho kPn0 &

  x2212; Ik 1. Ch&

  x1ECD;n x = en+1, ta c&

  xF3; k(Pn0 &

  x2212; I)en0+1k &

  x2264; kPn &

  x2212; Ikken0+1k 1 Tuy nhi&

  xEA;n k(Pn0 &

  x2212; I)en0+1k = kPn0 (en0+1) &

  x2212; en0+1k = ken0+1k = 1 V&

  x1EAD;y 1 1, v&

  xF4; l&

  xFD;. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.15. Cho E = {en}n&

  x2208;N l&

  xE0; h&

  x1EC7; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert H, (&

  x3BB;n)n&

  x2208;N l&

  xE0; d&

  xE3;y s&

  x1ED1; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 1. &

  x221E; P k=1 &

  x3BB;n hx, eni en h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; H 2. Ax = &

  x221E; P k=1 &

  x3BB;n hx, eni en l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. T&

  xED;nh kAk.

• 62. Ta c&

  xF3; &

  x221E; X k=1 |&

  x3BB;n hx, eni|2 = &

  x221E; X k=1 |&

  x3BB;n|2 |hx, eni|2 (&

  x3BB;n)n&

  x2208;N l&

  xE0; d&

  xE3;y s&

  x1ED1; b&

  x1ECB; ch&

  x1EB7;n n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i K 0 sao cho sup n&

  x2208;N |&

  x3BB;n| &

  x2264; K. Khi &

  x111;&

  xF3;, &

  x221E; X k=1 |&

  x3BB;n hx, eni|2 &

  x2264; K2 &

  x221E; X k=1 |hx, eni|2 &

  x2264; K2 kxk2 +&

  x221E; V&

  x1EAD;y &

  x221E; P k=1 |&

  x3BB;n hx, eni|2 h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; n&

  xEA;n &

  x221E; P k=1 &

  x3BB;n hx, eni en h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5;. 2. Ax = &

  x221E; P k=1 &

  x3BB;n hx, eni en l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh. Th&

  x1EAD;t v&

  x1EAD;y, A(&

  x3B1;x + &

  x3B2;y) = &

  x221E; X k=1 &

  x3BB;n h&

  x3B1;x + &

  x3B2;y, eni en = &

  x221E; X k=1 &

  x3BB;n(h&

  x3B1;x, eni + h&

  x3B2;y, eni)en A(&

  x3B1;x + &

  x3B2;y) = &

  x221E; X k=1 &

  x3BB;n(&

  x3B1; hx, eni + &

  x3B2; hy, eni)en = &

  x3B1; &

  x221E; X k=1 &

  x3BB;n hx, eni en + &

  x3B2; &

  x221E; X k=1 &

  x3BB;n hy, eni)en = &

  x3B1;Ax + &

  x3B2;Ay M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kAxk2 = &

  x221E; X k=1 |&

  x3BB;n hx, eni|2 &

  x2264; K2 kxk2 n&

  xEA;n kAxk &

  x2264; Kkxk. V&

  x1EAD;y A li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c v&

  xE0; kAk &

  x2264; K. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.16. Cho x, y, u, v l&

  xE0; b&

  x1ED1;n vect&

  x1A1; trong kh&

  xF4;ng gian ti&

  x1EC1;n Hilbert H. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng 16 kx &

  x2212; ukky &

  x2212; vk &

  x2264; kx &

  x2212; ykku &

  x2212; vk + ky &

  x2212; ukkx &

  x2212; vk 16 B&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Ptol&

  xE9;m&

  xE9;e

• 63. Tr&

  x1B0;&

  x1EDB;c h&

  x1EBF;t ta ch&

  x1EE9;ng minh &

  x2200;x, y &

  x2208; H, x, y 6= 0 th&

  xEC; k x kxk2 &

  x2212; y kyk2 k2 = kx &

  x2212; yk2 kxk2kyk2 Ta x&

  xE9;t hai tr&

  x1B0;&

  x1EDD;ng h&

  x1EE3;p: &

  x2022; x = 0: b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c tr&

  x1EDF; th&

  xE0;nh kukky &

  x2212; vk &

  x2264; kykku &

  x2212; vk + ky &

  x2212; ukkvk Ta c&

  xF3; k y kyk2 &

  x2212; v kvk2 k &

  x2264; k y kyk2 &

  x2212; u kuk2 k + k u kuk2 &

  x2212; v kvk2 k Suy ra ky &

  x2212; vk kykkvk &

  x2264; ky &

  x2212; uk kykkuk + ku &

  x2212; vk kukkvk V&

  x1EAD;y kukky &

  x2212; vk &

  x2264; kykku &

  x2212; vk + ky &

  x2212; ukkvk. &

  x2022; x 6= 0: Ta &

  x111;&

  x1EB7;t a = x &

  x2212; u, b = x &

  x2212; y, c = x &

  x2212; v. Khi &

  x111;&

  xF3; b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c tr&

  x1EDF; v&

  x1EC1; tr&

  x1B0;&

  x1EDD;ng h&

  x1EE3;p tr&

  xEA;n B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.17. Cho M, N l&

  xE0; hai kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a kh&

  xF4;ng gian Hilbert H sao cho M &

  x22A5; N. Ch&

  x1EE9;ng minh M + N c&

  x169;ng l&

  xE0; m&

  x1ED9;t kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng c&

  x1EE7;a H Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; &

  x2200;x &

  x2208; M + N, x = y + z trong &

  x111;&

  xF3; y &

  x2208; M, z &

  x2208; N. Bi&

  x1EC3;u di&

  x1EC5;n n&

  xE0;y l&

  xE0; duy nh&

  x1EA5;t v&

  xEC; n&

  x1EBF;u c&

  xF3; y0 &

  x2208; M, z0 &

  x2208; N sao cho x = y0 + z0 , l&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3; y &

  x2212; y0 = z &

  x2212; z0 &

  x2208; M &

  x2229; N = {0}. Suy ra y0 = y v&

  xE0; z0 = z. L&

  x1EA5;y (zn)n &

  x2282; M + N, zn &

  x2192; z0, n &

  x2192; &

  x221E;. Ta c&

  x1EA7;n ch&

  x1EE9;ng minh z0 &

  x2208; M + N. Ta c&

  xF3; zn = xn + yn, xn &

  x2208; M, yn &

  x2208; N, &

  x2200;n &

  x2208; N. M&

  x1EB7;t kh&

  xE1;c kzn &

  x2212; zmk2 = kxn + yn &

  x2212; xm &

  x2212; ymk2 = kxnk2 + kyn &

  x2212; ymk2 Suy ra (xn)n, (yn)n l&

  xE0; d&

  xE3;y Cauchy v&

  xEC; kxn &

  x2212; xmk &

  x2264; kzn &

  x2212; zmk &

  x2192; 0 v&

  xE0; kyn &

  x2212; ymk &

  x2264; kzn &

  x2212; zmk &

  x2192; 0 khi m, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  xEC; M, N &

  x111;&

  xF3;ng trong kh&

  xF4;ng gian Banach n&

  xEA;n M, N Banach v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; xn &

  x2192; x0 &

  x2208; M, yn &

  x2192; y0 &

  x2208; N, n &

  x2192; &

  x221E;. V&

  x1EAD;y zn &

  x2192; x0 + y0 = z0 &

  x2208; M + N, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; M + N l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng.

• 64. 2.18. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert v&

  xE0; P &

  x2208; L(H) sao cho P2 = P v&

  xE0; kPk &

  x2264; 1. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng P l&

  xE0; m&

  x1ED9;t to&

  xE1;n t&

  x1EED; chi&

  x1EBF;u.17 . Ch&

  x1EE9;ng minh. &

  x110;&

  x1EB7;t M = P(H) v&

  xE0; N = ker P. Khi &

  x111;&

  xF3;, M l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xE0; x &

  x2208; M t&

  x1B0;&

  x1A1;ng &

  x111;&

  x1B0;&

  x1A1;ng v&

  x1EDB;i x = Px. N c&

  x169;ng l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian con &

  x111;&

  xF3;ng v&

  xEC; t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c c&

  x1EE7;a P. Trong ph&

  xE2;n t&

  xED;ch x = Px+(I &

  x2212;P)(x), ta c&

  xF3; Px &

  x2208; M v&

  xE0; (I &

  x2212; P)(x) &

  x2208; N do P(I &

  x2212; P) = p &

  x2212; P2 = 0. V&

  xEC; v&

  x1EAD;y ta s&

  x1EBD; ch&

  x1EE9;ng minh M&

  x22A5; = N. V&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; H, y = Px &

  x2212; x &

  x2208; N v&

  xEC; P2 = P. Do &

  x111;&

  xF3;, n&

  x1EBF;u x &

  x2208; N &

  x22A5; th&

  xEC; Px = x + y v&

  x1EDB;i hx, yi = 0. Suy ra kxk2 &

  x2265; kPxk2 = kxk2 + kyk2 v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; y = 0. Nh&

  x1B0; th&

  x1EBF; x &

  x2208; N&

  x22A5; th&

  xEC; Px = x hay N&

  x22A5; &

  x2282; M. Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, &

  x2200;z &

  x2208; M, z = Pz. V&

  xEC; H = N &

  x2295; N&

  x22A5; n&

  xEA;n gi&

  x1EA3; s&

  x1EED; z = x + y, trong &

  x111;&

  xF3; y &

  x2208; N, x &

  x2208; N&

  x22A5; . Suy ra z = Pz = Px + Py = Px = x &

  x2208; N&

  x22A5; . &

  x110;i&

  x1EC1;u n&

  xE0;y ch&

  x1EE9;ng t&

  x1ECF; M &

  x2282; N&

  x22A5; . V&

  x1EAD;y M = N&

  x22A5; . V&

  xEC; (N&

  x22A5; )&

  x22A5; = N n&

  xEA;n M&

  x22A5; = N. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.19. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert v&

  x1EDB;i h&

  x1EC7; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n (xn)n. Ch&

  x1EE9;ng minh (xn)n h&

  x1ED9;i t&

  x1EE5; y&

  x1EBF;u t&

  x1EDB;i 0. Ch&

  x1EE9;ng minh. X&

  xE9;t x&

  x2217; &

  x2208; H&

  x2217; . Khi &

  x111;&

  xF3;, theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Riesz, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i duy nh&

  x1EA5;t x &

  x2208; H sao cho x&

  x2217; (y) = hy, xi, &

  x2200;y &

  x2208; H. V&

  x1EDB;i m&

  x1ED7;i x &

  x2208; H, theo b&

  x1EA5;t &

  x111;&

  x1EB3;ng th&

  x1EE9;c Bessel, ta c&

  xF3; &

  x221E; P i=1 |hx, xni|2 &

  x2264; kxk2 v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; lim n&

  x2192;&

  x221E; hxn, xi = 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; lim n&

  x2192;&

  x221E; x&

  x2217; (xn) = 0 B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.20. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert v&

  xE0; (en)n&

  x2208;N l&

  xE0; m&

  x1ED9;t c&

  x1A1; s&

  x1EDF; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n, x&

  x2217; : H &

  x2212;&

  x2192; K l&

  xE0; phi&

  x1EBF;m h&

  xE0;m tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng y = &

  x221E; P n=1 x&

  x2217;(en)en l&

  xE0; ph&

  x1EA7;n t&

  x1EED; duy nh&

  x1EA5;t trong H th&

  x1ECF;a m&

  xE3;n x&

  x2217; (x) = hx, yi, &

  x2200;y &

  x2208; H v&

  xE0; kx&

  x2217; k = s &

  x221E; P n=1 |x&

  x2217;(en)|2 . Ch&

  x1EE9;ng minh. Theo &

  x111;&

  x1ECB;nh l&

  xED; Riesz, t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i duy nh&

  x1EA5;t y &

  x2208; H sao cho x&

  x2217; (x) = hx, yi, &

  x2200;x &

  x2208; H. N&

  xF3;i ri&

  xEA;ng, x&

  x2217; (en) = hen, yi, &

  x2200;n &

  x2208; N. V&

  xEC; (en)n&

  x2208;N l&

  xE0; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n n&

  xEA;n y = &

  x221E; P n=1 hy, eni en, do &

  x111;&

  xF3; y = &

  x221E; P n=1 x&

  x2217;(en)en. V&

  xEC; kx&

  x2217; k = y v&

  xE0; (en)n&

  x2208;N l&

  xE0; c&

  x1A1; s&

  x1EDF; tr&

  x1EF1;c chu&

  x1EA9;n n&

  xEA;n ta c&

  xF3; kx&

  x2217; k = s &

  x221E; P n=1 |x&

  x2217;(en)|2 . B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 2.21. Cho A l&

  xE0; to&

  xE1;n t&

  x1EED; tuy&

  x1EBF;n t&

  xED;nh li&

  xEA;n t&

  x1EE5;c trong kh&

  xF4;ng gian Hilbert H. Ch&

  x1EE9;ng minh r&

  x1EB1;ng A l&

  xE0; t&

  x1EF1; li&

  xEA;n h&

  x1EE3;p khi v&

  xE0; ch&

  x1EC9; khi kx + iAxk2 = kxk2 + kAxk2 . 17 Xem Yosida, Functional Analysis, Theorem 3, trang 84

• 65. V&

  xEC; A l&

  xE0; t&

  x1EF1; li&

  xEA;n h&

  x1EE3;p n&

  xEA;n A = A&

  x2217; . Suy ra hAx, xi = hx, A&

  x2217; xi = hx, Axi = hAx, xi, v&

  x1EDB;i m&

  x1ECD;i x &

  x2208; H, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; hAx, xi &

  x2208; R, &

  x2200;x &

  x2208; H. Do &

  x111;&

  xF3;, kx + iAxk2 = hx + iAx, x + iAxi = hx, xi + i hAx, xi + hx, iAxi + hiAx, iAxi = kxk2 + kAxk2 , &

  x2200;x &

  x2208; H. ii) Ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i, n&

  x1EBF;u kx + iAxk2 = kxk2 + kAxk2 th&

  xEC; hAx, xi &

  x2212; hx, Axi = 0. Do &

  x111;&

  xF3;, hAx, xi &

  x2208; R. V&

  x1EAD;y A t&

  x1EF1; li&

  xEA;n h&

  x1EE3;p.

• 66. good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics&

  x2013; Sim&

  xE9;on Poisson 3 To&

  xE1;n t&

  x1EED; compact v&

  xE0; ph&

  x1ED5; c&

  x1EE7;a to&

  xE1;n t&

  x1EED; com- pact B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 3.1. Cho X = X1 &

  x2295; X2, A &

  x2208; L(H) sao cho A(X1) &

  x2282; X2 v&

  xE0; A(X2) &

  x2282; X1. Ch&

  x1EE9;ng minh n&

  x1EBF;u &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A th&

  xEC; &

  x2212;&

  x3BB; c&

  x169;ng l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A. Ch&

  x1EE9;ng minh. V&

  xEC; &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A n&

  xEA;n t&

  x1ED3;n t&

  x1EA1;i x 6= 0 sao cho Ax = &

  x3BB;x. Khi &

  x111;&

  xF3;, x = x1 + x2, trong &

  x111;&

  xF3; x1 &

  x2208; X1, x2 &

  x2208; X2. Ta c&

  xF3; A(x1 + x2) = &

  x3BB;(x1 + x2), hay Ax1 &

  x2212; &

  x3BB;x2 = Ax2 &

  x2212; &

  x3BB;x1. Theo gi&

  x1EA3; thi&

  x1EBF;t th&

  xEC; Ax1 &

  x2212; &

  x3BB;x2 = Ax2 &

  x2212; &

  x3BB;x1 = 0 &

  x2208; X1 &

  x2229; X2. &

  x110;&

  x1EB7;t y = x1 &

  x2212; x2 18 . Ta c&

  xF3; y 6= 0, v&

  xEC; n&

  x1EBF;u ng&

  x1B0;&

  x1EE3;c l&

  x1EA1;i th&

  xEC; x1 = x2 = 0, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; x = 0, v&

  xF4; l&

  xFD;. L&

  xFA;c &

  x111;&

  xF3;, A(y) = A(x1 &

  x2212; x2) = &

  x2212;&

  x3BB;y, v&

  xE0; do &

  x111;&

  xF3; &

  x2212;&

  x3BB; c&

  x169;ng l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A. B&

  xE0;i t&

  x1EAD;p 3.2. Cho H l&

  xE0; kh&

  xF4;ng gian Hilbert , A &

  x2208; L(H), A = A&

  x2217; , &

  x3BB; &

  x2208; C. 1. N&

  x1EBF;u H 6= R(A&

  x3BB;) th&

  xEC; &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A. 2. N&

  x1EBF;u H = R(A&

  x3BB;) v&

  xE0; H 6= R(A&

  x3BB;) th&

  xEC; &

  x3BB; &

  x2208; &

  x3C3;(A) nh&

  x1B0;ng kh&

  xF4;ng ph&

  x1EA3;i l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A. 3. N&

  x1EBF;u H = R(A&

  x3BB;) th&

  xEC; &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ch&

  xED;nh quy c&

  x1EE7;a A. Ch&

  x1EE9;ng minh. Ta c&

  xF3; H = N(A&

  x2217; &

  x3BB;) &

  x2295; R(A&

  x3BB;). 1. N&

  x1EBF;u H 6= R(A&

  x3BB;) th&

  xEC; A&

  x3BB; kh&

  xF4;ng l&

  xE0; to&

  xE0;n &

  xE1;nh, do &

  x111;&

  xF3; kh&

  xF4;ng song &

  xE1;nh. Suy ra &

  x3BB; &

  x2208; &

  x3C3;(A). V&

  xEC; A = A&

  x2217; n&

  xEA;n &

  x3BB; &

  x2208; R. Ta c&

  xF3; (A &

  x2212; &

  x3BB;I)&

  x2217; = A&

  x2217; &

  x2212; &

  x3BB;I&

  x2217; = A &

  x2212; &

  x3BB;I. T&

  x1EEB; H 6= R(A&

  x3BB;) ta c&

  xF3; N(A&

  x3BB;) = N(A&

  x2217; &

  x3BB;) 6= {0}. V&

  x1EAD;y &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ri&

  xEA;ng. 2. V&

  xEC; H 6= R(A&

  x3BB;) n&

  xEA;n A&

  x3BB; kh&

  xF4;ng kh&

  x1EA3; ngh&

  x1ECB;ch n&

  xEA;n &

  x3BB; &

  x2208; &

  x3C3;(A), v&

  xE0; k&

  x1EBF;t h&

  x1EE3;p v&

  x1EDB;i A = A&

  x2217; ta c&

  xF3; &

  x3BB; &

  x2208; R. H = R(A&

  x3BB;) n&

  xEA;n N(A&

  x2217; &

  x3BB;) = {0} = N(A&

  x3BB;). V&

  x1EAD;y &

  x3BB; &

  x2208; &

  x3C3;(A) nh&

  x1B0;ng kh&

  xF4;ng l&

  xE0; gi&

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  x1ECB; ri&

  xEA;ng c&

  x1EE7;a A. 3. A = A&

  x2217; n&

  xEA;n &

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  x2282; R. Do &

  x111;&

  xF3;, n&

  x1EBF;u &

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  x2208; C R th&

  xEC; &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ch&

  xED;nh quy. X&

  xE9;t &

  x3BB; &

  x2208; R. V&

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  x3BB;) n&

  xEA;n A&

  x3BB; l&

  xE0; to&

  xE0;n &

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  x1EB7;t kh&

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  x2217; &

  x3BB;) = {0} = N(A&

  x3BB;) n&

  xEA;n A&

  x3BB; l&

  xE0; &

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  xE1;nh. V&

  x1EAD;y A&

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  xE0; song &

  xE1;nh, t&

  x1EE9;c l&

  xE0; &

  x3BB; l&

  xE0; gi&

  xE1; tr&

  x1ECB; ch&

  xED;nh quy. 18 C.M.Q