Bài tập tổng hợp giải phương trình vô tỉ 9 năm 2024
|
Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn. + Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp:
Ví dụ: Đối phương trình: . + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với mọi . Nhưng đó chưa phải là điều kiện chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là: + Ta viết lại phương trình thành: Để ý rằng: do đó phương trình có nghiệm khi
Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành: Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý: + + + Nếu có nghiệm thì ta luôn phân tích được Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung thì phương trình ban đầu trở thành: Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để kết luận vô nghiệm.
Ta thường làm như sau: + Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong ta trừ đi một lượng . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của + Để tìm ta xét phương trình: . Để phương trình có hai nghiệm ta cần tìm sao cho + Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại: Ta xét các ví dụ sau: Bài tập 1:: Giải các phương trình: HD: a). Phân tích: Phương trình trong đề bài gồm nhiều biểu thức chứa căn nhưng không thể quy về 1 ẩn. Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu thì sẽ tạo ra phương trình tối thiểu là bậc 6. Từ đó ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung. Điều kiện Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: . Khi đó Ta viết lại phương trình thành:
Dễ thấy : Với điều kiện thì Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất b). Điều kiện: Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: . Khi đó Từ đó ta có lời giải như sau: Phương trình đã cho tương đương với:
Để ý rằng: Với điều kiện thì nên Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng các ước lượng cơ bản: với từ đó suy ra với mọi số thỏa mãn Bài tập 2: Giải các phương trình: HD: a). Điều kiện: . Ta nhẩm được nghiệm . Nên phương trình được viết lại như sau:
Ta dự đoán: ( Bằng cách thay một giá trị ta sẽ thấy ) Ta sẽ chứng minh: và Thật vậy: + Ta xét Đặt . Bất phương trình tương đương với . Điều này là hiển nhiên đúng. + Ta xét: . Điều này luôn đúng. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: b.) Điều kiện: . Để đơn giản ta đặt Phương trình đã cho trở thành: Nhẩm được . Nên ta phân tích phương trình thành:
Để ý rằng và nên ta có . Vì vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Nhận xét: Việc đặt trong bài toán để giảm số lượng dấu căn đã giúp đơn giản hình thức bài toán . Ngoài ra khi tạo liên hợp do nên ta tách nó ra khỏi biểu thức để các thao tác tính toán được đơn giản hơn. Bài tập 3: Giải các phương trình: HD: a). Điều kiện: Ta nhẩm được 2 nghiệm là nên ta phân tích để tạo ra nhân tử chung là: . Để làm được điều này ta thực hiện thêm bớt nhân tử như sau: + Ta tạo ra sao cho phương trình này nhận là nghiệm. Để có điều này ta cần: + Tương tự nhận là nghiệm. Tức là Từ đó ta phân tích phương trình thành:
Dễ thấy với thì Nên . Phương trình đã cho tương đương với Vậy phương trình có 2 nghiệm là: . b). Điều kiện: . Phương trình được viết lại như sau: Ta nhẩm được 2 nghiệm nên suy ra nhân tử chung là:
Ta phân tích với nhân tử như sau: + Tạo ra sao cho phương trình này nhận là nghiệm. Tức là cần thỏa mãn hệ: + Tương tự với ta thu được: Phương trình đã cho trở thành:
Ta xét Ta chứng minh: tức là:
. Điều này là hiển nhiên đúng. Vậy phương trình có 2 nghiệm là: . Chú ý: Những đánh giá để kết luận thường là những bất đẳng thức không chặt nên ta luôn đưa về được tổng các biểu thức bình phương. Ngoài ra nếu tinh ý ta có thể thấy: Nhưng điều này là hiển nhiên đúng do: với mọi c). Điều kiện: Ta nhẩm được nên biến đổi phương trình như sau: Ta có: khi , khi nên ta trừ 2 vào 2 vế thì thu được:
Giải (1) suy ra Giải (2) ta có: Kết luận: Phương trình có nghiệm là Nhận xét: Ta cũng có thể phân tích phương trình như câu a,b . d). Ta có: nên phương trình tương đương với Giải : . Đặt . Phương trình trở thành:
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: Bài tập 4: Giải các phương trình sau: HD: a). Phương trình được viết lại như sau: .Để phương trình có nghiệm ta cần: . Nhẩm được nên ta viết lại phương trình thành:
Để ý rằng: nên phương trình có nghiệm duy nhất b). Điều kiện Ta viết lại phương trình như sau:
Xét phương trình: . Bình phương 2 vế ta thu được:
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là Nhận xét: + Ta thấy phương trình có nghiệm . Nếu ta phân tích phương trình thành thì sau khi liên hợp phương trình mới thu được sẽ là: .Rõ ràng phương trình hệ quả phức tạp hơn phương trình ban đấu rất nhiều. + Để ý rằng khi thì nên ta sẽ liên hợp trực tiếp biểu thức . Dạng 2: Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình Ta thường gặp phương trình dạng này ở các dạng biến thể như: + (1) + (2) + Thực chất phương trình khi bình phương 2 vế thì xuất hiện theo dạng hoặc (2). Để giải các phương trình (1), (2). Phương pháp chung là: + Phân tích biểu thức trong dấu thành tích của đa thức + Ta biến đổi bằng cách đồng nhất hai vế. Khi đó phương trình trở thành: Chia hai vế cho biểu thức ta thu được phương trình: . Đặt thì thu được phương trình: . Một cách tổng quát: Với mọi phương trình có dạng: thì ta luôn giải được theo cách trên. Một số ví dụ: Bài tập 1: Giải các phương trình: HD: a). Điều kiện: . Ta viết lại phương trình thành: Giả sử . Suy ra phải thỏa mãn
Phương trình đã cho có dạng: . Chia phương trình cho ta thu được: Đặt ta thu được phương trình: do .
b). Điều kiện: Bình phương 2 vế của phương trình ta thu được:
Giả sử
Phương trình trở thành:
Chia phương trình cho ta thu được: . Đặt ta có Phương trình
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm Nhận xét: Trong lời giải ta đã biến đổi: là vì c). Điều kiện: Ta viết lại phương trình thành: Xét phương trình: . Dễ thấy không phải là nghiệm. Xét ta chia cho thì thu được phương trình:
Giải (1): Giải (2): Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là:
Bài tập 2: Giải các phương trình: HD: a). Điều kiện Phương trình đã cho được viết lại như sau:
Xét phương trình: Ta giả sử: Phương trình trở thành: . Chia cho Ta có: . Đặt phương trình mới là: Với ta có: Nhận xét: + Đối với phương trình ta có thể không cần đưa vào trong dấu khi đó ta phân tích: và chia như trên thì bài toán vẫn được giải quyết. Việc đưa vào là giúp các em học sinh nhìn rõ hơn bản chất bài toán. + Ngoài ra cần lưu ý rằng: Khi đưa một biểu thức vào trong dấu thì điều kiện là . Đây là một sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán. b). Điều kiện: . Phương trình đã cho được viết lại thành: Bình phương 2 vế và thu gọn ta được: Nếu ta giả sử thì phải thỏa mãn điều này là hoàn toàn vô lý. Để khắc phục vấn đề này ta có chú ý sau : khi đó Bây giờ ta viết lại phương trình thành: Giả sử: Như vậy phương trình trở thành: Chia cho ta thu được: Đặt Trường hợp 1: Suy ra thỏa mãn điều kiện. Trường hợp 2: Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: và c). Điều kiện . Chuyển vế bình phương ta được: Giả sử: Khi đó ta có : không tồn tại thỏa mãn hệ. Nhưng ta có : Giả sử: . Suy ra Ta viết lại phương trình: . Chia hai vế cho ta thu được: Đặt ta thu được phương trình: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Kết hợp điều kiện ta suy ra các nghiệm của phương trình là: Bài tập 3: Giải các phương trình: HD: a). Điều kiện: . Bình phương 2 vế phương trình ta thu được: Ta giả sử: Phương trình trở thành:
Đặt Về cơ bản đến đây ta hoàn toàn tìm được . Nhưng với giá trị như vậy việc tính toán sẽ gặp khó khăn. Để khắc phục ta có thể xử lý theo hướng khác như sau: Ta viết lại: lúc này bằng cách phân tích như trên ta thu được phương trình:
Đặt . Kiểm tra điều kiện ta thấy chỉ có giá trị là thỏa mãn điều kiện. b). Điều kiện: . Ta viết lại phương trình thành: Để ý rằng: Nếu ta đặt thì phương trình trở thành: . Đây là một phương trình đẳng cấp bậc . Từ định hướng trên ta có lời giải cho bài toán như sau: + Xét trường hợp: không thỏa mãn phương trình: + Xét . Ta chia phương trình cho thì thu được: . Đặt ta có phương trình: Trường hợp 1:
Trường hợp 1:
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: Bài tập 4: Giải các phương trình: HD: a). Hình thức bài toán dễ làm cho người giải bối rối nhưng để ý thật kỹ ta thấy: Chìa khóa bài toán nằm ở vấn đề phân tích biểu thức: Ta thấy do vế trái là biểu thức bậc nên ta nghỉ đến hướng phân tích: . Đồng nhất hai vế ta thu được: . Nên ta viết lại phương trình đã cho thành:
Chia cho ta thu được: . Đặt ta có phương trình: Giải Kết luận: Thử lại ta thấy nghiệm: đều thỏa mãn. b). Điều kiện: Ta thấy chìa khóa bài toán nằm ở việc phân tích biểu thức: Giả sử Phương trình trở thành: . Chia hai vế cho ta thu được: . Đặt ta có phương trình: Trường hợp 1: vô nghiệm Trường hợp 2: Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là: Nhận xét: Ta có thể phân tích:
Chú ý rằng: Trong một số phương trình: Ta cần dựa vào tính đẳng cấp của từng nhóm số hạng để từ đó phân tích tạo thành nhân tử chung. Bài tập 5: Giải các phương trình: HD: a). Đặt Phương trình đã cho trở thành:
Ta quy bài toán về giải 3 phương trình cơ bản là: Với điều kiện: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: . Vì Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất b). Điều kiện Ta thấy rằng nếu bình phương trực tiếp sẽ dẫn đến phương trình bậc Để khắc phục ta sẽ tìm cách tách ra khỏi Từ đó ta viết lại phương trình như sau:
Do . Phương trình đã cho tương đương với
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất c). Điều kiện: Giả sử
Phương trình đã cho trở thành:
Chia phương trình cho ta thu được:
Đặt Ta thu được phương trình: + Nếu + Nếu Kết luận: Dạng 3: Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. + Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc 2: ( phương trình này vẫn còn ẩn ) + Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị bằng bao nhiêu để phương trình bậc 2 theo ẩn có giá trị chẵn như thế viêc tính theo sẽ được dễ dàng. + Thông thường khi gặp các phương trình dạng: thì phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả: + Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách:
Ta có . Để có dạng thì điều kiện cần và đủ là Ta xét các ví dụ sau: Bài tập 1: Giải các phương trình: HD:
Phương trình đã cho trở thành: Ta sẽ tạo ra phương trình: (Ta đã thêm vào nên phải bớt đi một lượng ) Phương trình được viết lại như sau:
Ta mong muốn
Phương trình mới được tạo ra là: Ta có Từ đó ta có: + Trường hợp 1: + Trường hợp 2: Phương trình vô nghiệm. Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là:
Bình phương 2 vế phương trình và thu gọn ta được: . Đặt ta tạo ra phương trình là:
Ta mong muốn phải có nghiệm kép . Tức là:
Từ đó suy ra phương trình mới là: Tính được: + Trường hợp 1: + Trường hợp 2:
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất c). Đặt ta tạo ra phương trình: Làm tương tự như trên ta tìm được . Nên phương trình có dạng giải theo các trường hợp của ta tìm được là nghiệm của phương trình. Bài tập 2: Giải các phương trình: HD:
Đặt ta tạo ra phương trình:
Ta có
Ta cần : Phương trình đã cho trở thành: Trường hợp 1 Trường hợp 2: Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm:
. Suy ra: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Tóm lại phương trình có 3 nghiệm:
. Bình phương 2 vế ta thu được phương trình mới:
Đặt ta tạo ra phương trình:
Có
Ta mong muốn
Từ đó tính được Phương trình đã cho trở thành: Ta có Suy ra Trường hợp 1: thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2:
Thử lại ta thấy: thỏa mãn phương trình: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm Chú ý: Ở bước cuối cùng khi giải ra nghiệm ta phải thử lại vì phép bình phương lúc đầu khi ta giải là không tương đương. Bài tập 3: Giải các phương trình:
HD:
Bình phương 2 vế ta thu được: Ta coi đây là phương trình bậc 2 của ta có:
Từ đó suy ra Trường hợp 1: Trường hợp 2: Đối chiếu với điều kiện ta có 4 nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
Ta coi đây là phương trình bậc 2 của ta có:
Từ đó suy ra Giải 2 phương trình trên ta thu được các nghiệm của phương trình đã cho là: hoặc
Ta viết lại phương trình thành: . Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn thì . Từ đó suy ra Giải 2 trường hợp ta thu được các nghiệm của phương trình là:
Bài tập 4: Giải các phương trình: HD:
Đặt suy ra . Ta tạo ra phương trình: . Ta có . Ta cần . Phương trình trở thành: . Ta có: . Từ đó tính được : Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
Ta viết lại phương trình thành: . Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình mới:
Đặt suy ra . Ta tạo ra phương trình: . Ta có
. Ta cần . Phương trình trở thành: . Ta có: . Từ đó tính được: Trường hợp 1: . Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có là thỏa mãn điều kiện . Trường hợp 2: . Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có là thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và Dạng 4: Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình Dấu hiệu: Các bài toán giải được bằng hằng đẳng thức thường có dạng: hoặc Phương pháp chung để giải các bài toán này là: Đặt với hoặc . Đưa phương trình ban đầu về dạng Những phương trình có dạng: (1) Hoặc: (2) ta thường giải theo cách: Đối với (1): Đặt khi đó thay vào phương trình ta đưa về dạng: . Sau đó biến đổi phương trình thành: Đối với (2): Đặt sau đó tạo ra hệ tạm: cộng hai phương trình ta thu được: sau đó đưa phương trình về dạng:
Bài tập 1:
HD:
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được: (*). Ta nghỉ đến việc biến đổi vế trái thành: để phương trình có dạng: Giả sử: . Đồng nhất hệ số của Như vậy phương trình có dạng: (1) Đặt . Từ phương trình ta suy ra . Do Qua ví dụ trên ta thấy việc chuyển qua hệ tạm (I) giúp ta hình dung bài toán được dễ dàng hơn.
. Cộng hai phương trình của hệ ta thu được: (*) Đặt ta thu được phương trình:
Đặt ta thu được hệ sau: . Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được: (*) Đặt ta có: . Tương tự như các bài toán trên ta suy ra . Theo (*) ta có Kết luận: là nghiệm duy nhất của phương trình:
Thay vào phương trình ta có:
Suy ra Đặt thay vào ta có: Thử lại ta thấy chỉ có thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài tập 2: Giải các phương trình sau: HD: Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế phương trình cho ta thu được: . Đặt ta thu được hệ sau: . Cộng hai phương trình của hệ ta có: (*) Đặt ta thu được: . Suy ra
Đặt ta có hệ sau: . Cộng hai phương trình của hệ ta có: . Từ phương trình ta suy ra .
Đặt ta có hệ tạm sau: Cộng hai vế hệ phương trình ta thu được: Đặt ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: Dạng 5: Phương pháp đánh giá Những kỹ thuật qua trọng để giải phương trình giải bằng phương pháp đánh giá ta thường sử dụng là: + Dùng hằng đẳng thức: + Dùng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, Bất đẳng thức hình học + Dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm : Bài tập 1:Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Bài tập 2: Giải các phương trình sau: Giải:
Ta có Mặt khác ta có:
Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Tóm lại: Phương trình có nghiệm duy nhất
Theo bất đẳng thức Cô si dạng ta có
Mặt khác ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
. Mặt khác ta có . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bài tập 3: Giải các phương trình sau: Giải:
Phương trình đã cho có thể viết lại như sau: . + Ta chứng minh: . Thật vậy bất đẳng thức tương đương với . Điều này là hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Ta chứng minh: . Thật vậy bất đẳng thức tương đương với Điều này là hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Từ đó suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Ta thấy rằng: Theo bất đẳng thức cô si ta có
Mặt khác ta có (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 3 số) Từ đó suy ra: Tương tự ta cũng có: Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
ta có: . Lại có suy ra (1) Tương tự: (2) Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều (1), (2) ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Điều kiện xác định là Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
và Như vậy: Từ đó ta suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình: Bài tập 4: Giải các phương trình sau: Giải: Điều kiện: Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai bộ số và ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Do nên Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và . Từ đó ta có nghiệm của PT(*) là:
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mặt khác ta cũng có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Từ đó suy ra . Mặt khác ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất . Bài tập 5: Giải các phương trình sau: Giải:
Phương trình đã cho tương đương với: Do nên từ phương trình ta cũng suy ra: Lập phương 2 vế ta thu được: Như vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là: và
Xét trên Dễ thấy (1) Xét trên ta có Dễ thấy . Suy ra (2) Từ (1), (2) suy ra phương trình có nghiệm khi . Dạng 6:Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn. + Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức để đặt sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn . Những bài toán dạng này nói chung là dễ. + Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta có thể chia cho phù hợp (thông thường ta chia cho với k là số hữu tỷ) + Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp như: Số mũ cao, căn bậc cao .. thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải toán. |
