Bài tập về tích phân suy rộng có lời giải năm 2024

Tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định như một điểm đầu nút của (các) khoảng lấy tích phân tiệm cận hoặc số thực xác định, trong một số trường hợp, cả hai điểm đầu nút đều đạt đến các giới hạn. Vậy có những loại tích phân suy rộng nào? Điều kiện hội tụ của các loại tích phân suy rộng là gì? Những chia sẻ của VOH Giáo dục dưới đây sẽ giúp các em học sinh giải đáp được các thắc mắc:

---

1. Các loại tích phân suy rộng

Hiểu theo nghĩa thông thường tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại là tích phân suy rộng với cận vô hạn (tích phân suy rộng loại 1) và tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2)

1.1. Một số tính chất của tích phân suy rộng

Ảnh 1: Tính chất của tích phân suy rộng

1.2. Tích phân suy rộng loại 1

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng a,+và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a,A, aA<+ khi đó ta có định nghĩa:

Ảnh 2: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 các bạn có thể tham khảo một số ví dụ sau:

Ảnh 3: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1Ảnh 4: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1

1.3. Tích phân suy rộng loại 2

Cho hàm sốf(x) là hàm số xác định trên khoảng [a.b) và khả tích trên [a,t] với mọi a

Ảnh 5: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 2

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 2 các bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây

Ảnh 6: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 2

2. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

Với mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có những điều kiện riêng, cụ thể:

2.1. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 1

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 cụ thể như sau:

Ảnh 7: Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

2.2. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 2

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 cụ thể như sau:

Về định nghĩa

Ảnh 8: Định nghĩa điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Ảnh 9: Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 được phát biểu như sau:

Ảnh 10: Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn ứng dụng giải toán thành công.

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

####### TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Câu 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

6 2 1

x dx x



####### 



Giải

Đặt  

2

6 2 1 2

x dx f x dx x

 

 

 

   

 

 

2 2 3

6 6 6

####### 1

####### ~ 0, 1.

####### 1 1

x x

x x f x x f x g x lim lim x x x  g x  x

#######      

#######  

Vì

2

####### 1

dx x





phân kỳ    1 , nên

2

6 2 1

x dx x



####### 



phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

 

1 2

0

####### 1

####### 2 1

x dx x x

####### 

####### 



Giải:

Tích phân

 

1 2

0

####### 1

####### 2 1

x dx x x

####### 

####### 



suy rộng loại 2 tại cận dưới x  0 ; Đặt  

 

2 1

####### 2 1

x f x x x

####### 

####### 

####### 

Xét  

####### 1

g x x

 có

 

   

2

0 0

####### 1

####### 1.

x x 2 1

f x x lim lim g x x   

####### 

#######  

####### 

Mặt khác

1

0

dx

x



hội tụ nên tích phân

 

1

0

####### 1

####### 2 1

x dx x x

####### 

####### 



cũng hội tụ

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

 

3 1

####### 1

####### 1

sinx dx

x x

 

####### 



Giải

Ta có:

 

3 2

####### 1 2

####### 0 , 1.

####### 1

sinx x x x x

####### 

#######    

####### 

Vì 2 1

####### 2

dx x





nên

 

3 1

####### 1

####### 1

sinx dx

x x

 

####### 



HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Vậy

 

3 1

####### 1

####### 1

sinx dx

x x

 

####### 



hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh 1.

Câu 4: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

 

   

2

7 1

####### 1

####### .

####### 1 2

x arctan x J dx

x x

   

 



Giải:

 

   

 

   

 

   

2 2 2 2

1 2 7 7 7 1 1 2

####### 1 1 1

####### 1 2 1 2 1 2

x arctan x x arctan x x arctan x J dx dx dx J J x x x x x x

                  

  

Khi  

     

 

2

7 1 2

####### 1

####### 1 : ~

####### 1 2 3

x arctanx x f x g x

x x x





####### 

#######  

#######   

#######   

Mà  

2

1

g x



hội tụ nênJ 1 hội tụ

Khi  

   

 

2 2

7 8 2 2

####### 1 1

####### : ~

####### 1 2

x arctanx x x f x g x x x x x

#######  

#######     

#######  

Mà  

2

g x dx





hội tụ nên J 2 hội tụ

Vậy J  J 1  J 2 hội tụ

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

 

3

8 1

x x dx

x

 

####### 



Giải:

Đặt

 

 

3

8 1 1 1

x x dx f x dx

x

   



 

Khi  

   

3 3

8 8

####### 1

####### : ~

####### 1 1

x x x x f x x x x

####### 

#######    

#######  

Chọn  

####### 1 ,

g x x

 ta có

 

 

 

3

8

####### . 1

####### 1

x x

f x x x lim lim x g x x

 

####### 

#######   

####### 

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Mà 2 1

####### 1

####### 3

dx x





hội tụ, vì p  2  1. Vậy K hội tụ

Câu 8: Tích phân suy rộng

1,

2 2 2 2 4

x dx

x x



#######  



hội tụ hay phân kỳ?

Giải:

Với x  [2;  ),xét    

1,

2 2 0,

####### 1

####### 0, 0

####### 2 4

x f x g x x x x

#######    

#######  

 

 

1, 0, 2 2

1 . x x 2 4 2

f x x lim lim x  g x  x x

    

   

Mà

3

0, 2

dx

x



phân kỳ nên

1,

2 2 2 2 4

x dx

x x



#######  



phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Câu 9: Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

3

6 1

x 5 x 1 dx x sinx

  

####### 



Giải

Đặt  

3

6 1 1

x 5 x 1 dx f x dx x sinx

     

 

Khi  

3

6 3

####### 1

####### : ~

x x f x x x

#######   

Xét  

3

####### 1 ,

g x x

 ta có

 

 

 

3 3

6

####### 5 1

####### 1.

x x

f x x x x lim lim  g x  x sinx

#######  

#######   

####### 

Mặt khác ta có 3 1

####### 1

dx x





hội tụ nên

3

6 1

x 5 x 1 dx x sinx

  

####### 



hội tụ

Câu 10: Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

 

2

1

####### 1

####### .

####### 1

x dx x x

####### 

####### 



Giải

Tích phân

 

 

2 2

1 1

####### 1

####### 1

x dx f x dx x x

####### 

####### 

####### 

 

là tích phân suy rộng loại 2 tại cận dưới.

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Xét hàm  

 

 

  

 

   

1 1 1

####### 1 1 1 1 1

####### ; 4

1 x x 1 x

f x x x x x g x lim lim lim x g x x x x     

#######    

#######    

#######  

mà

2

1

####### 1

####### 1

dx x 



phân kì nên tích phân

 

2

1

####### 1

####### 1

x dx x x

####### 

####### 



phân kì

Câu 11: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng: 4 3 2 0

####### 3. 2

####### .

####### 2.

si n x I dx x x

   



Giải:

2

1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 0 0 2

####### 3 2 3 2 3. 2

####### 2. 2. 2.

sin x sin x si n x I dx dx dx I I x x x x x x

            

  

Xét

2

1 4 3 2 0

####### 3 2

####### 2.

sin x I dx x x

####### 

####### 

####### 



Hàm dưới dấu tích phân là hàm không âm.

Ta có:  

4 3 2 3 2

####### 3 2 3 0

####### 0 : ~

####### 2. 2.

sin x x VCB x x x

#######  

####### 

####### 

Mà

2

3 2 0

####### 3

####### 2.

dx x



hội tụ do

####### 2

####### 1

####### 3



#######  

#######  

#######  

#######  

nên I 1 hội tụ (TCSS2)

Xét 2 4 2

####### 3. 2

####### .

####### 2.

si n x I dx x x

   



Ta có : 4 3 2 4

####### 3 2 4

####### 0 ; [2; )

####### 2.

sin x x x x x

####### 

#######     

####### 

Mà 4 2

####### 3

dx x





hội tụ do    4  1  nên I 2 hội tụ (TCSS1) Kết luận: I hội tụ

Câu 12: Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau:

3 2

5 3 2 1

####### 5 1

####### 2 5 1

x x dx x x x

  

#######   



Giải:

Đặt  

3 2

5 3 2

####### 5 1

####### 2 5 1

x x f x x x x

#######  

####### 

#######   

. Xét hàm  

 

 

2

####### 1 1

####### ;

x 2

f x g x lim x g x

#######  

Mà 2 1

####### 1

dx x





hội tụ nên

3 2

5 3 2 1

####### 5 1

####### 2 5 1

x x dx x x x

  

#######   



hội tụ

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Giải:

           

3

1 2 3 5 3 5 3 5 2 2 3

####### 7 3 7 3 7 3

####### 2 2 2 2 2 2

sinx sinx sinx dx dx dx I I x x x x x x

              

  

Xét I 1

Khi

     

3 5 3

####### 7 3 7 3 2

####### 2 : ~

####### 2 2 2.

sinx sin x

x x x

#######   

####### 

#######   

Do

 

3

3 2

####### 7 3 2 1

####### , 1

####### 2 .34 3

sin dx x



####### 

#######  

####### 



hội tụ nên I 1 hội tụ ( TCSS2)

Xét I 2

Khi

       

2 3 5 3 5

####### 7 3 10 10

####### : ~.

####### 2 2 2 2

sinx x

x x x x x

####### 

#######   

#######    

Do 2 3

####### 10

dx; 2 1 x





 



hội tụ nên

   

3 5 3

####### 10

####### 2 2

dx

x x



#######  



hội tụ (TCSS2) nên I 1 hội tụ ( TCSS1)

Vậy I  I 1  I 2 hội tụ.

Câu 17: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

 

  

3 2

5 2

####### 3 1

####### 2 3

x x J dx x x

#######  

####### 

#######  



Giải

Khi

    

 

2

5 5

####### 3 1 9

####### 2 : ~ 0 1

####### 2 3 5 2

x x x x x x

#######   

#######  

#######   

Mà

   

3 3

5 5 5 2 2

####### 9 9

####### 5 2 5 2

dx dx x x

####### 

#######  

  hội tụ vì  

####### 1

####### 1 2

####### 5

  

Từ   1 và  2   J hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2)

Câu 18: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 3 4 1

####### 1

####### 1

x dx x x

 

#######  



Giải:

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Ta có: 3 4 5 2

####### 1 1

####### 0 ~

####### 1

x

x x x

####### 

####### 

#######  

khi x  

5 2

1

x dx

 



hội tụ 3 4 1

####### 1

####### 1

x dx x x

    



hội tụ

Câu 19: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

3 2 1

####### 1

####### 4 4

sinx dx x x x

####### 

#######  



Giải

Đặt  

2 2

3 2 1 1

####### 1

####### 4 4

sinx dx f x dx x x x

####### 

####### 

#######  

 

𝑥 là tích phân suy rộng loại 2 tại cận trên x  2

Xét hàm  

 

 

 

  

2

2 3 2 2 2 2

####### 1 1 2 1 1 2

####### ;

2 x x 4 4 x 2

f x sinx x sinx sin g x lim lim lim x g x x x x x     

#######    

#######    

#######   

hữu hạn

Mà

 

2

2 1

####### 1

####### 2

dx x 



phân kỳ nên

2

3 2 1

####### 1

####### 4 4

sinx dx x x x

####### 

#######  



phân kỳ

Câu 20: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 3 2 0

####### 1

####### 1

x x x dx x x

  

#######  



Giải

Khi 3 2 3 2

####### 1 1 1

####### , ~

####### 1

x x x x x x

#######  

#######  

#######  

Mà 3

1

####### 1

dx

x





hội tụ

Vậy 3 2 0

####### 1

####### 1

x x x dx x x

  

#######  



hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 21: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

4 1

####### 1

####### .

####### 1

dx x 



Giải:

Khi 4

1 1 1 : ~ 2 1 1

x x x

   

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

 

3

1 2 3 3

2

3 3 27 1. 4 2 10 80

 I   t t  dt 



Câu 25: Khảo sát sự hội tụ của tích phân: 3 2 0 1

m x I dx cos x



 



Giải:

2

3 2 3 2 3 2 0 0 2

####### 1 1 1

m m m x x x I dx dx dx cos x cos x cos x

  



#######   

#######   

  

Khi   2 2 3 3

####### 1

####### 0 : ~

####### 2. 2

m

m

x x f x x x



 . Tp HT khi và chỉ khi

####### 2 1

####### 1

####### 3 3

 m   m 

Khi  

     

 

2 2 3 3 3 3

####### : ~

####### 1 1

####### 2.

####### 2

m m m x x f x cos x cos x x x

   

#######   

#######     

####### 

. TP hội tụ m

Vậy tp đã cho HT với

####### 1

####### 3

m  

Câu 26: Tính tích phân suy rộng:

 

3 2 e

dx I x ln x ln x lnx



  



Giải:

Đặt

dx t lnx dt x

  . Ta được tpsr loại 1 của hàm hữu tỉ:

2 3 1

####### 3

####### 3

####### 8

dt I ln t t t





    



Câu 27: Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

 

1

####### 0

lnx I dx

x x



####### 

####### 



Giải

     

1 1 2 1

0 0 1 2

####### 1 1 1

lnx lnx lnx I dx dx dx

x x x x x x

  

#######   

#######   

  

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Khi  

####### 1

x 0 : f x ~. x

  TPHT

Khi  

 

####### 1

####### 1 : ~

####### 1

x f x

x



 



. TP hội tụ khi và chỉ khi   2

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi   2

Câu 28: Tính tích phân suy rộng:  

1

0

####### 1

n I  ln x dx



Giải:

Đặt  1  1

t t t  ln  x  x  e   dx  e dt. Ta được tích phân

     

0 1 2 1 0 1 ... 1. !.. 1. !.

n t n t n t n t n t n t I t e dt t e nt e n n t e n t e n e

  



#######          

####### 



Câu 29: Tìm tất cả các giá trị m  0 để tích phân:

2 1 3

2 0

m

x x I x arctanx

####### 

####### 

####### 



hội tụ

Giải

Hàm f  x  0,  x (0; 2].Ta sẽ so sánh khi x 0

  .Lưu ý: Không nhận xét f dương thì trừ

điểm

 

2 3

2 4 3

####### 1

####### 2 : ~

x f x x x

    TP phân kỳ

 

2 3

2

####### 2 : ~ 2

x f x x

   TP phân kỳ

 

2 3 1 2 : ~ 2

3

x f x x x

 

#######    

####### 

TP hội tụ khi và chỉ khi

####### 2 5

####### 1

####### 3 3

#######    

Vậy I hội tụ khi và chỉ khi

####### 5

####### 0

####### 3

#######  

Câu 30: Tìm số thực m  0 để tích phân sau hội tụ

 

2

1 0

####### 1

####### .

####### 1

m m

x I dx x x





####### 

####### 

####### 



HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Tổng hợp lại thì với   1 thìI 1 hội tụ!

Xét tích phân

1 2

2 2 1 4

####### :

####### 1 4

dx I I x x



####### 

####### 



Xét khi

1

2

x



 :

• Khi

  

2 1 2 1

####### 1 1 1 1 1

####### 0 : ~

####### 1 2 1 2 1 1 1

####### 1 4 2 1

####### 2 2 1

####### 2 2

####### 2 2

####### 2

x x x x x x x x

    





#######    

#######     

#######   

#######   

#######   

#######  

#######  

 do đây là tích phân suy rộng loại 2 và

####### 1

####### 1

####### 2

   nên I 2 hội tụ.

• Khi 2 2 1 2

####### 1 1

####### 0 : ~

####### 1 4

####### 1

####### 2

####### 2

####### I

x x x



  

####### 

#######  

#######   

#######  

hội tụ.

• Khi 2 2 1 1 2

####### 1 1

####### 0 : ~

####### 1 4

####### 2

####### 2

####### I

x x x

 





#######  

####### 

#######  

#######   

#######  

hội tụ

KẾT LUẬN: Do I 2 đã hội tụ nên để cho I hội tụ thì I 1 phải hội tụ. Vậy   1 thỏa mãn.

• Tính tích phân khi    2

Khi    2 thì ta có tích phân sau:

1 1 2 2 2 2

2 0 0 2

####### 1

####### 1 4 2 1

####### 4

x x I dx dx x x

#######  

####### 

####### 

 

Đặt:

####### 1

####### 2

x  sint với 2 2

t

 

#######   

####### 1

####### 2

 dx  costdt

Đổi cận:

####### 1

####### 0 0;

####### 2 2

x t x t



#######      

Tích phân trở thành:

2 2 2

0 0

####### 1 1 1 2

####### 8 8 2 2 32

cos t sin tdt dt

 

  

#######     

#######  

 

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Câu 32: Tìm  để tích phân sau hội tụ

2 2

2 3

1

x x I x e e dx



           



. Tính tích phân khi    5

Giải:

Đây là tích phân suy rộng loại 1.

Khi x   , ta có:

2 2 2 2

2 3 2 3

2 2 2 2

####### 2 3 5 5

####### 1 1 ~

x x x x x x e e x e e x x x x x

    

 



#######           

#######                 

#######      

#######         

Để tích phân hội tụ thì: 2    1   1

Khi    5 , tích phân trở thành:

2 2

2 3

5 1

x x e e I dx x

   



Đặt: 2 3

####### 1 2

u du dx x x

   . Đổi cận: x  1  u  1; x    u 0

Tích phân trở thành:  

1 1 1 2 3 2 3 1 2 0 0 0

####### 1 1 1

####### 2 2 2

u u u u I u e e du ue du ue du I I

       

  

Đến đây dễ dàng tính được I 1 ,I 2 bằng tích phân từng phân

Vậy

2

3

####### 2 5

####### 8 9 72

e I e

#######   

Câu 33: Cho tích phân

 

2 1 2 1

m

dx I x x



  



.Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi

m  2

Giải:

Do x  1 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân suy rộng

loại 1 và 2.

Tách ra thành 2 tích phân sau:

     

2

2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1

m m m

dx dx dx I I I x x x x x x

 

          

  

Xét tích phân I 1 sau:

       

2 2

1 1 2 1 1 2 1 1

m m

dx dx I x x x x x

#######  

#######     

 

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

1 1 1

0 0 0

####### 6 6

####### 1 1 1 2 2 1 1 1

####### 2 6 6 2 6 6 6 2 66

####### 2 2 2 2 2 2

t t

dt dt

t t t t t t

#######   

#######    

#######            

#######                  

#######            

  

 

####### 1 6 6 1 1

####### 5 2 6

####### 2 6 2 2 0 2 6

ln t ln t ln

#######  

#######         

#######  

#######  

Câu 34: Cho tích phân

 

2 2 1 2 5 2

m

dx I x x x



   



.Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích

phân khi m  1

Giải:

• Do x  2 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân bất định

loại 1 và 2.

Tách ra thành 2 tích phân sau:

     

3

2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 2 1 2 5 2 3 1 2 5 2

m m m

dx dx dx I I I x x x x x x x x x

 

             

  

Xét tích phânI 1 sau:

 

   

3 3

1 2 1 2 5 2 2 1 1 2 2 2

m m

dx dx I x x x x x x

#######  

#######     

#######     

#######  

 

Khi

     

 

1 2

####### 1 1

####### 2 : ~

####### 1

####### 1 2 2 3 2 1

####### 2

m m

x

x x x x

            

Nhận thấy với mọi m  0 (lưu ý vì hàm số chỉ xác định khi m  0 ). Thì 3 2 1 

m  luôn là hằng.

Do đó thấy 1

####### 1

####### 1

####### 2

    I hội tụ (đây là tích phân suy rộng loại 2).

Xét tích phân

 

2 3 1 2 5 2

m

dx I x x x



   



Khi x   ta xét các trường hợp của x   như sau:

Khi m  0,ta xét hàm dương sau:

 

2 2

####### 1 1

####### ~ 1

####### 1 2 5 2 2

m

####### I

x x x x

  

#######   

phân kỳ  Iphân

kỳ

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Khi m  0 :không xét vì làm hàm số không xác định  Ikhông có tích phân.

• Khi m  0,ta có:

 

2 1

####### 1 1

####### ~

####### 1 2 5 2 2

m m x x x x

   

Như vậy khi m  0 thì ta thấy m  1  1  I 2 hội tụ.

Kết luận: + DoI 1 hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vàoI 1 Suy ra, I hội tụ khi m > 0.

Tính tích phân khi

 

2 2

####### 1:

####### 1 2 5 2

dx m x x x



   



Đặt: 2

####### 1 1

x 1 dx dt t t

#######     

Tích phân đã tương đương với:

 

0 2

2 2 2 1

####### 1

####### 1 2 5 2 1 1

####### 2 1 5 1 2

dx t dt x x x

t t t



                   

 

1 1 1

2 2 0 0 0 2

####### 2 1 2 9

####### 1

####### 4 2

dt dt dt

t t t t t t

#######   

#######    

#######    

#######  

#######  

  

Đặt

1 3 3 cos

####### 2 2 2

t   sinu  dt  udu

Tích phân trở thành:

2

1 3

####### 3

####### 2 1

####### 3 2

####### 2

arcsin

cosudu

arcsin

cosu





#######  



Câu 35: Tính tích phân 2 1

####### 1

####### 4

I dx

x x









Giải

Xét:

2 4  x  0  x  2

x 1 2  2 4  x

2 4  x 0

2 x  4

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Vậy đểI 1 hội tụ thì:   1  1  2 1  

Xét I 2 :

Khi  

3 2

####### 1

####### : ~

x x f x x x



 

#######   

Suy raI 2 cùng bản chất với 2 2

####### 1

dx x







Vậy đểI 2 hội tụ thì:  

####### 1

####### 2 1 2

####### 2

   

Từ   1 và  2  : Để I HỘI TỤ thì

####### 1

####### 2

####### 2

 Câu 37: Tìm tất cả các số thực  để tích phân sau hội tụ

 

1

0

####### 1

####### 1

I dx x xarctanx



####### 

####### 



. Tính giá

trị của tích phân khi

####### 1

####### 2

 

Giải

x  0 là điểm kì dị.

Khi x 0 :

 

####### TH1:

0 0

####### 1

####### 0 :

x x

lim x lim x

 



   

#######     

 

1 2

####### 1 1 1

####### ~ ~

####### 1.

####### . 2

####### 2

x x arctanx x x



 

####### 

####### 

Suy ra 𝐼 cùng bản chất với

1 1

1 0 2 0 2

2

1

2

dx dx

x x

 



 

Dễ thấy

1

0 2

####### 2

####### 1

dx

x





hội tụ  I hội tụ   1

####### TH2:

 

1 2

####### 1 1 1

####### 0 : ~ ~

x 1 x arctanx. x x. x

     

####### 

HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K

Suy ra 𝐼 cùng bản chất với

1

1 0 2

dx

x

  

Vậy để I hội tụ  

####### 1

####### 1 1 2

####### 2



####### 

#######   

Từ   1 và  2  suy ra   1

Khi

####### 1 ,

####### 2

  tích phân trở thành:

 

1

0

####### 1

####### 1.

I dx

x x arctan x

####### 

####### 



Đặt

 

4

0

####### 2

####### 4 4 2

####### 2 1

####### 0

dx dt t arctan x dt I t x x t



       

####### 



Câu 38: Xét tính hội tụ của tích phân:

 

2 2  

0

####### .

####### 0, 0

x sin ax dx k a k x



  



Giải

Xét hàm  

2 2

####### ,

x g x k x

####### 

####### 

ta có:  

 

2 2

2 2 2

####### '

k x g x

k x

####### 

####### 

####### 

. Như vậy x  k thìg '  x  0 khi đó hàm

g  x đơn điệu giảm và  

2 2

####### 0

x x

x lim g x lim k   x

#######  

####### 

Mặt khác, với mọi

0

####### 1 2

: sin

A cosAa A a axdx M a a

####### 

#######    



Theo dấu hiệu tích phân Dirichle tích phân đã cho hội tụ

Câu 39: Xét sự hội tụ của tích phân:

a

sinxdx

x





với a  0

Trước hết theo định lý Dirichlet tích phân

a

sinxdx

x





hội tụ. Tuy nhiên, tích phân

a

sinx dx

x





không

hội tụ.

Do

2

0, [ , )

sinx sin x x a x x

#######     

Mặt khác:

2 1 2

####### 2

sin x cos x

x x

####### 

 nên

2 1 1 2

####### 2 2

a a a

sin x dx cos x dx dx x x x

  

 

  