Các bài toán chứng minh ma trận nghịch đảo năm 2024

Chứng minh bạn đọc xem tại đây: askmath/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua- Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b

Định nghĩa ma trận nghịch đảo

1. Xét ma trận vuông Ma trận vuông cùng cấp với được gọi là ma trận nghịch đảo của nếu thoả mãn kí hiệu là Vậy Ma trận nghịch đảo nếu tồn tại thì đó là duy nhất.

1. Ma trận vuông có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi có định thức khác 0, khi đó Trường

hợp này ta gọi là ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến. Ngược lại nếu định thức của bằng 0 thì ta gọi là ma trận suy biến.

Bài toán tìm phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận nghịch đảo

• Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận là
• Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận là
• Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận là
• Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận là

A 11 = ∣∣∣

0 4

5 −

∣∣

∣ = −20, A 12 = − ∣

∣

∣

−1 4

2 −

∣∣

∣ = 7, A 13 = ∣

∣

∣

−1 0

2 5

∣∣

∣ = −

A 21 = − ∣∣∣

2 3

5 −

∣

∣

∣ = 17, A 22 = ∣

∣

∣

1 3

2 −

∣

∣

∣ = −7, A 23 = − ∣

∣

∣

1 2

2 5

∣

∣

∣ = −

A 31 = ∣∣

∣

2 3

0 4

∣∣

∣ = 8,

A 32 = − ∣∣

∣

1 3

−1 4

∣∣

∣ = −7,

A 33 = ∣∣

∣

1 2

−1 0

∣∣

∣ = 2

A∗ =

⎛

⎜

⎝

−20 17 8

7 −7 −

−5 −1 2

⎞

⎟

⎠

.

A = [aij]n×n Aij aij.

ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 +... +ainAkn = { det[A], i = k 0, i ≠ k

;

a 1 jA 1 q + a 2 jA 2 q+... +anjAnq = { det[A], j = q 0, j ≠ q

.

A = [aij]n×n A∗ A,

AA∗ = A∗A = det[A]E.

det[A∗] = [det[A]]n−1. det[A] = 0 A∗ AX = O.

A. X A A

AX = XA = E, A−1. AA−1 = A−1A = E.

A A A−1 = 1 A∗.

det[A] A A A

A−1 a∗ ij = Aji.

1

det[A]

1

det[A] [kA]− 1 [kA]ji = kn−1Aji = Aji. det[kA]

1

kn det[A]

1

k det[A]

[A′]−1 A′ji = A′ji.

1

det[A′]

1

det[A]

[kA′]− 1 [kA′]ji = kn−1A′ji = A′ji. det[kA′]

1

kn det[A]

1

k det[A]

Nếu có tất cả các phần tử là số nguyên.

Ngược lai nếu có tất cả các phần tử là số nguyên thì

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức liên quan đến định thức và ma trận phụ hợp

Ví dụ 1: Cho ma trận Tìm điều kiện của để ma trận có ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm

ma trận

Giải. Ta có Vậy có ma trận nghịch đảo

Khi đó

Ví dụ 2: Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo của bằng công thức

Giải. Ta có

Vậy

Ví dụ 3: Cho ma trận

1. Tìm để khả nghịch;

1. Với bằng cách tìm ma trận theo ma trận phụ hợp áp dụng giải phương trình với

Giải. Ta có khả nghịch khi và chỉ khi

Ta có Phương trình

det[A] = ±1 ⇒ A−1 = A∗ = ±A∗

1

det[A]

A−1 det[A−1] = 1 ∈ Z ⇔ det[A] = ±1. det[A]

A−1 = 1 A∗.

det[A]

A = [ a b c d

]. a, b, c, d A A−1. det[A] = ad − bc. A ⇔ det[A] ≠ 0 ⇔ ad − bc ≠ 0.

A−1 = A∗ = [ d −c −b a

1 ].

det[A]

1

ad − bc

A =

⎛

⎜

⎝

1 2 3

−1 0 4

2 5 −

⎞

⎟

⎠

. A−1 A

A−1 =. A∗.

1

det [A] det[A] = −21.

A 11 = ∣∣ ∣

0 4

5 −

∣

∣

∣ = −20,

A 12 = − ∣∣

∣

−1 4

2 −

∣

∣

∣ = 7,

A 13 = ∣∣

∣

−1 0

2 5

∣

∣

∣ = −

A 21 = − ∣∣

∣

2 3

5 −

∣

∣

∣ = 17,

A 22 = ∣∣

∣

1 3

2 −

∣

∣

∣ = −7,

A 23 = − ∣∣

∣

1 2

2 5

∣

∣

∣ = −

A 31 = ∣∣

∣

2 3

0 4

∣∣

∣ = 8,

A 32 = − ∣∣

∣

1 3

−1 4

∣∣

∣ = −7,

A 33 = ∣∣

∣

1 2

−1 0

∣∣

∣ = 2

A−1 =. A∗ = −

⎛

⎜

⎝

−20 17 8

7 −7 −

−5 −1 2

⎞

⎟

⎠

1.

det[A]

1

21

A =

⎛

⎜

⎝

2 −1 3

1 a 3 3 0 2

⎞

⎟

⎠

.

a A a = −2, [A − 3E]−1 AX = 3X + B B = [ 3 4 −1 ]′.

A det [A] = −5a − 7 ≠ 0 ⇔ a ≠ −.

7

5

B = [ 3 4 −1 ]′ =

⎛

⎜

⎝

3

4

−

⎞

⎟

⎠

. AX = 3X + B ⇔ [A − 3E] X = B ⇔ X = [A − 3E]−1B

Khi

Ta có

Ví dụ 4: Cho ma trận Tính định thức của ma trận và tìm điều kiện để khả nghịch. Khi đó

hãy tìm ma trận nghịch đảo

Giải. Khai triển theo cột 1 ta có

Ma trận khả nghịch khi

Áp dụng công thức

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Biến đổi sơ cấp ma trận [A|E]

a = −2 ⇒ D = A − 3E =

⎛

⎜

⎝

−1 −1 3

1 −5 3

3 0 −

⎞

⎟

⎠

⇒ det [D] = 30

D 11 = ∣∣

∣

−5 3

0 −

∣

∣

∣ = 5,

D 12 = − ∣∣

∣

1 3

3 −

∣

∣

∣ = 10,

D 13 = ∣∣

∣

1 −

3 0

∣

∣

∣ = 15;

D 21 = − ∣∣

∣

−1 3

0 −

∣

∣

∣ = −1,

D 22 = ∣∣

∣

−1 3

3 −

∣

∣

∣ = −8,

D 23 = − ∣∣

∣

−1 −

3 0

∣

∣

∣ = −3;

D 31 = ∣∣

∣

−1 3

−5 3

∣∣

∣ = 12,

D 32 = − ∣∣

∣

−1 3

1 3

∣∣

∣ = 6,

D 33 = ∣∣

∣

−1 −

1 −

∣∣

∣ = 6

⇒ D−1 = D∗ =

⎛

⎜

⎝

5 −1 12

10 −8 6

15 −3 6

⎞

⎟

⎠

1

det [D]

1

30

⇒ X = D−1B = ∗

⎛

⎜

⎝

5 −1 12

10 −8 6

15 −3 6

⎞

⎟

⎠

∗

⎛

⎜

⎝

3

4

−

⎞

⎟

⎠

\=

⎛

⎜

⎝

−

−

27

⎞

⎟

⎠

.

1

30

1

30

A =

⎛

⎜

⎝

a b 0 c 0 b 0 c a

⎞

⎟

⎠

. A A

A−1.

det [A] = a

∣

∣

∣

0 b c a

∣

∣

∣ −

c

∣

∣

∣

b 0 c a

∣

∣

∣ = −

abc − abc = −2abc.

A det [A] ≠ 0 ⇔ abc ≠ 0.

A−1 = A∗ =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜⎜

⎜

⎝

−

−

−

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟⎟

⎟

⎠

1.

det [A]

1

2 a

1

2 c

b 2 ac 1 2 b

a 2 bc

1

2 c c 2 ab

1

2 b

1

2 a [A|E] → [E|A−1].

A =

⎛

⎜

⎝

4 2 2

2 2 2

2 2 6

⎞

⎟

⎠

[A|E] → [E|A−1].

Vậy

+] Phương trình ma trận:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình

Giả sử ma trận khả nghịch [không suy biến] khi đó tồn tại ma trận nghịch đảo , ngoài các phép biến đổi sơ cấp hay tìm ma trận nghịch đảo theo công thức của ma trận phụ hợp ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình:

Xét hệ phương trình tuyến tính

[A|E] =

⎛

⎜

⎝

1 −3 1 1 0 0

0 2 3 0 1 0

2 −2 5 0 0 1

⎞

⎟

⎠

−−−−−−→

⎛

⎜

⎝

1 −3 1 1 0 0

0 2 3 0 1 0

0 4 3 −2 0 1

⎞

⎟

⎠

−−−−−−→

⎛

⎜

⎝

1 −3 1 1 0 0

0 2 3 0 1 0

0 0 −3 −2 −2 1

⎞

⎟

⎠

−−−−−→

⎛

⎜

⎝

3 −9 0 1 −2 1

0 2 0 −2 −1 1

0 0 −3 −2 −2 1

⎞

⎟

⎠

−−−−−→

⎛

⎜

⎝

6 0 0 −16 −13 11

0 2 0 −2 −1 1

0 0 −3 −2 −2 1

⎞

⎟

⎠

−−−−−→

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 0 0 − −

0 1 0 −1 −

0 0 1 −

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

−2d 1 +d 3

−2d 2 +d 3 d 3 +d 2 d 3 +3d 1

9d 2 +2d 1

d 1 d 2 − d 3

1

6

1

21

3

8

3

13

6

11

6

1

2

1

2

2

3

2

3

1

3

A−1 =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

− −

−1 −

−

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

8

3

13

6

11

6

1

2

1

2

2

3

2

3

1

3

AX =

⎛

⎜

⎝

2 −

−5 3

1 −

⎞

⎟

⎠

⇔ X = A−

⎛

⎜

⎝

2 −

−5 3

1 −

⎞

⎟

⎠

\=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

− −

−1 −

−

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

2 −

−5 3

1 −

⎞

⎟

⎠

\=

⎛

⎜ ⎜

⎜⎜

⎜

⎝

−

1 0

− 1

⎞

⎟ ⎟

⎟⎟

⎟

⎠

.

8

3

13

6

11

6

1

2

1

2

2

3

2

3

1

3

22

3

7

3

A A−

A

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

x 1 x 2 ... xn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

\=

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

y 1 y 2 ... yn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

Ta biết rằng nghiệm của hệ phương trình này xác định bởi Vì vậy nếu tìm được nghiệm của

hệ phương trình dạng

Câu 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Xét hệ

Câu 2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Xét hệ

Câu 3: Cho ma trận

1. Tính

1. Giả sử tìm

Giải. a] Xem đề thi các phương pháp tính định thức ma trận.

1. Xét hệ phương trình tuyến tính ta có

Suy ra và cộng tất cả các phương trình của hệ có:

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

x 1 x 2 ... xn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

\= A−

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

y 1 y 2 ... yn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

x 1 x 2 ... xn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

\= B

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

y 1 y 2 ... yn

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

⇒ A−1 = B.

A =

⎛

⎜⎜

⎜

⎝

1 0 −1 3

0 2 4 −

0 0 −2 3

0 0 0 −

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

⎧⎪⎪⎪

⎨

⎪⎪⎪⎩

x 1 − x 3 + 3x 4 = y 1 2 x 2 + 4x 3 − 6x 4 = y 2 −2x 3 + 3x 4 = y 3 −x 4 = y 4

⇔

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

x 1 = y 1 − y 3 + y 4

x 2 = y 2 + y 3

x 3 = − y 3 − y 4 x 4 = −y 4

⇒ A−1 =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 0 −

0 1 0

0 0 − −

0 0 0 −

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

1

2

3 2 1 2 1 2

3

2

1

2

3 2 1 2 1 2

3

2

A =

⎛

⎜⎜

⎜

⎝

1 −2 3 −

0 1 −2 3

0 0 1 −

0 0 0 1

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

⎧⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪⎪⎩

x 1 − 2x 2 + 3x 3 − 4x 4 = y 1 x 2 − 2x 3 + 3x 4 = y 2 x 3 − 2x 4 = y 3 x 4 = y 4

⇔

⎧⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪⎪⎩

x 1 = y 1 + 2y 2 + y 3 x 2 = y 2 + 2y 3 + y 4 x 3 = y 3 + 2y 4 x 4 = y 4

⇒ A−1 =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 1 2

0 0 0 1

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜⎜

⎝

a b b... b b a b... b b b a... b ............... b b b... a

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟⎟

⎠

.

det[A]; det[A] ≠ 0, A−1.

⎧⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪⎪⎩

ax 1 + bx 2 +... +bxn = y 1 bx 1 + ax 2 +... +bxn = y 2 ... bx 1 + bx 2 +... +axn = yn

.

⎧⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪⎪⎩

[a − b]x 1 + bS = y 1 [a − b]x 2 + bS = y 2 ... [a − b]xn + bS = yn

.

xk = , k = 1, 2,... , n

yk − bS a − b

Vậy

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2, 3, 4 bằng Máy tính cầm tay

Tìm các ma trận khi biết một trong các ma trận đó

Chúng ta vận dụng linh hoạt các mối quan hệ sau:

và

Một số bài toán chứng minh liên quan đến ma trận nghịch đảo

Câu 37. Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch. Giải sử tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch 𝐶 sao cho là ma trận đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghich 𝐷 sao cho là ma trận đường chéo.

Câu 37. Theo bài ra thì với là ma trận đường chéo. Ý tưởng là từ phương trình này tìm ra ma trận

Đặt do đó

là một ma trận đường chéo. Vậy ma trận thoả mãn là Ta có điều phải chứng minh.

Các dạng toán được liệt kê dưới đây, bạn đọc nhấn vào từng dạng để xem chi tiết thêm

Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận

Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo

Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎩

x 1 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 − y 5

x 2 = y 1 − y 2 + y 3 + y 4 + y 5

x 3 = y 1 + y 2 − y 3 + y 4 + y 5

x 4 = − y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5

x 5 = y 1 + y 2 + y 3 − y 4 + y 5

⇒ A−1 =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

−

−

−

−

−

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

3

4

1

4

A, A−1, A∗, [A∗]

− , [A−1]

∗

A∗ =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

A 11 A 21... An 1 A 12 A 22... An 2 ............ A 1 n A 2 n... Ann

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

, Aij = [−1]i+jMij; det [A−1] = ; det [A∗] = [det [A]]n−

1

det [A]

A−1 = A∗; [A∗]

− = [A−1]

∗ = A; A = [A−1]

− ; A = [A∗] ∗ .

1

det [A]

1

det [A]

1

[det [A]]n−

C −1ABC D−1BAD

C −1ABC = P P

BA

⇒ P. C −1A = C −1ABC. C −1A = C −1ABA ⇒ C. P C −1A = C. C −1ABA = ABA

⇒ A−1CP C −1A = A−1. ABA = BA [∗].

X = A−1C ⇒ X−1 = [A−1C]

− = C −1A

[∗] ⇔ XP X−1 = BA ⇒ X−1BAX = X−1XP X−1X = P D = X = A−1C.

Câu 1 [Q676332766] Cho ma trận Tìm điều kiện đối với để ma trận đã cho có

ma trận nghịch đảo. Với điều kiện đó, tìm phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận

Câu 2 [Q678667606] Cho ma trận

1. Tìm để ma trận không suy biến;

1. Tìm để ma trận không suy biến;

1. Khi ma trận không suy biến, tìm phần tử nằm trên dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận

1. Tìm để hệ véctơ dòng của ma trận độc lập tuyến tính.

Câu 3 [Q698667362] Cho ma trận

1. Tìm để ma trận không suy biến;

1. Giả sử ma trận không suy biến, tìm để phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận bằng 2.

Câu 4 [Q803997423] Cho ma trận Tìm điều kiện của để ma trận có ma trận nghịch đảo.

Khi đó tìm ma trận

Câu 5 [Q253177637] Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo của bằng công thức

Câu 6 [Q125532956] Tìm để ma trận khả nghịch.

THI ONLINE - [PRO S1] - CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA

TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted [vted] Thời gian làm bài: 180 phút [không kể thời gian giao đề]

Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 2 3 −

2 3 −1 1

−3 −4 2 −

3 5 2 m

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

. m

A−1.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

m 1 2 3 −4 2 −1 3 4 1 2 3 −3 2 1 4

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

m A′ m A∗ A A−1; m [A∗] 3 A′

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

m 1 5 − −4 2 −1 1 −1 2 2 3 −3 2 1 4

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

m −3A′ −3A′ m [−3A′]−

A = [ a b c d

]. a, b, c, d A A−1.

A =

⎛

⎜

⎝

1 2 3

−1 0 4

2 5 −

⎞

⎟

⎠

. A−1 A

A−1 =. A∗.

1

det [A]

a

⎛

⎜

⎝

a + 1 −1 a 3 a + 1 3 a − 1 0 a − 1

⎞

⎟

⎠

Câu 15 [Q596144464] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 16 [Q905522239] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 17 [Q655073609] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 18 [Q660160666] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 19 [Q111976969] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 20 [Q374833503] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 21 [Q957951879] Cho ma trận Tìm điều kiện của để tồn tại ma trận và tìm

khi đó.

Câu 22 [Q358640043] Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo

Câu 23 [Q593333178] Cho ma trận và là ma trận phụ hợp của Chứng minh rằng: a]

b]

1. Nếu khi đó các cột của là nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất

Câu 24 [Q366500879] Cho hai ma trận vuông cùng cấp và không suy biến. Chứng minh rằng: a] và

1. Nếu thì

Câu 25 [Q112366733] Cho ma trận vuông cấp không suy biến. Chứng minh rằng

và

Câu 26 [Q400556666] Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử đều là số nguyên. Chứng minh rằng ma trận nghịch đảo có tất cả các phần tử là số nguyên khi và chỉ khi

A =

⎛

⎜

⎝

1 0 3

2 1 1

3 2 2

⎞

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜

⎝

1 3 2

2 1 3

3 2 1

⎞

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

−1 1 1 1

1 −1 1 1

1 1 −1 1

1 1 1 −

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

0 1 1 1

−1 0 1 1

−1 −1 0 1

−1 −1 −1 0

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜⎜

⎝

1 1 1... 1

0 1 1... 1

0 0 1... 1

...............

0 0 0 0 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

1 + a 1 1... 1 1 1 + a 1... 1 1 1 1 + a... 1 ............... 1 1 1... 1 + a

⎞

⎟ ⎟

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜

⎝

1 2 3

0 −2 m 2 0 4

⎞

⎟

⎠

. m A−1 A−

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 2 1 −

1 0 2 1

2 1 −1 3

4 −5 0 4

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

. A−1.

A = [aij]n×n A∗ A. AA∗ = A∗A = det[A]E. det[A∗] = [det[A]]n−1. det[A] = 0 A∗ AX = O. A, B [AB]∗ = B∗A∗ [AB]−1 = B−1A−1; AB = BA A∗B = BA∗. A n

[A∗]−1 = [A−1]∗ = 1 A det[A]

A = 1 [A∗]∗.

[det [A]]n−

A−1 det[A] = ±1.

Câu 27 [Q646178165] Cho ma trận Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trận

phụ hợp và

Câu 28 [Q893388970] Cho ma trận Tìm điều kiện của m để A khả nghịch, khi đó tìm

ma trận và ma trận

Câu 29 [Q268563901] Cho ma trận Tìm ma trận phụ hợp của

Câu 30 [Q208222235] Tìm ma trận phụ hợp của ma trận Áp dụng tìm ma trận nếu

Câu 31 [Q773577037] Cho hai ma trận Tìm để ma

trận là ma trận không suy biến.

Câu 32 [Q241627764] Cho ma trận Tìm điều kiện để khả nghịch, khi đó:

1. Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận

1. Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận

1. Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận

1. Tìm các ma trận và

Câu 33 [Q767100773] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 34 [Q807831780] Cho ma trận

1. Tính

1. Giả sử tìm

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 2 m − 3 4 −2 5 −3 4 1 2 −1 2 −3 4

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

A∗ [−2023A]∗.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

m 1 2 3 −4 2 −1 3 4 1 2 3 −3 2 1 4

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

[A−1]

∗ [A∗]−1.

A =

⎛

⎜

⎝

1 2 3

−1 0 4

2 5 −

⎞

⎟

⎠

. A∗ A.

A = [ a b c d

]. A

A∗ = [ 2022 2023

2024 2025

].

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

2 1 −3 2

1 3 −2 m − 1 −2 9 1 − −5 m + 3 6 −

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

, B =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

2 1 2

−1 2 1

1 4 3

11 5 7

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

. m

[4BB′ + 3E]A∗

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 m 2 3 −1 2 1 0 2 3 0 2 3 −1 3 1

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

. A

A−1;

[6A]−1;

[6A′]−1;

[A∗]−1 [A−1]∗.

A =

⎛

⎜ ⎜

⎜

⎝

1 −2 3 −

0 1 −2 3

0 0 1 −

0 0 0 1

⎞

⎟ ⎟

⎟

⎠

.

A =

⎛

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

a b b... b b a b... b b b a... b ............... b b b... a

⎞

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

.

det[A]; det[A] ≠ 0, A−1.

Câu 48 [Q263273874] Cho A là ma trận vuông cấp n mà mỗi hàng và mỗi cột có đúng một phần tử khác 0 là − hoặc 1. Chứng minh rằng: [a] Ma trận A không suy biến và tìm ma trận nghịch đảo của A;

[b] Tồn tại số hai số nguyên dương m, k sao cho và

Câu 49 [Q132434386] Xét ma trận có ma trận nghịch đảo. Chứng minh rằng ma trận và ma trận nghịch đảo có tất cả các phần tử không âm khi và chỉ khi mỗi hàng và mỗi cột của ma trận có đúng một phần tử dương.

HƯỚNG DẪN Câu 1 Ta có:

Ma trận không suy biến khi và chỉ khi

Khi đó

Phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận là

Câu 2 a] Ta có Vậy không suy biến khi và chỉ khi

1. Ta có

1. Phần tử nằm trên dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận là

1. Ma trận là ma trận vuông cấp 4, vì vậy hệ véctơ dòng của ma trận này độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của nó khác 0, tức

Am = E Ak = A−1. A A A−1 A

det[A] =

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 2 3 −

2 3 −1 1

−3 −4 2 −

3 5 2 m

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

\=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 2 3 −

0 −1 −7 7

0 2 11 −

0 −1 −7 m + 9

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−2d 1 + d 2 3 d 1 + d 3 −3d 1 + d 4

\=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 2 3 −

0 −1 −7 7

0 0 −3 4

0 0 0 m + 2

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

2 d 2 + d 3 −d 2 + d 3 = 3[m + 2].

A det[A] ≠ 0 ⇔ m ≠ −2.

A−1 = 1 A∗ = A∗. det[A]

1

3[m + 2] A−

A 32 = −

∣

∣

∣

∣

1 3 −

2 −1 1

3 2 m

∣

∣

∣

∣

\= −. [−7m − 14] =.

1

3[m + 2]

1

3[m + 2]

1

3[m + 2]

7

3

det[A] = 4 − m. A′ det[A′] ≠ 0 ⇔ det[A] ≠ 0 ⇔ 4 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 4. det[A∗] ≠ 0 ⇔ [det[A]] 3 ≠ 0 ⇔ det[A] ≠ 0 ⇔ m ≠ 4. A−