Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu 20 bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng [dạng 2] có lời giải chi tiết
Tài liệu bao gồm các nội dung sau:
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a. Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng [SBD].
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2HA.. Biết SC tạo với đáy một góc 45° và cạnh bên SA=2a căn 2 [2]. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SAB].
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng [SBD] là?
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SOM].
GIỚI THIỆU BÀI HỌC
NỘI DUNG BÀI HỌC
- Lý thuyết Cho [P] \[Ax+By+Cz+D=0 \ \ [A^2+B^2+C^2\neq 0]\] và điểm M[x0; y0; z0] \[d[M;[P]]=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\] II. Bài tập VD1: Cho [P] \[mx+2y+2z+3=0\] và M [1;2;3]
- Với m = 1. Tính d[M; [P]]
- Tìm m để d[M;[P]] = 5 Giải \[d[M;[P]]=\frac{\left | m+4+6+3 \right |}{\sqrt{m^2+2^2+2^2}}= \frac{\left | m+13 \right |}{\sqrt{m^2+8}}\]
- \[m=1 \ \ . d[M,[P]]=\frac{14}{\sqrt{9}}=\frac{14}{3}\]
- \[d[M;[P]]=5\Leftrightarrow \frac{\left | m+13 \right |}{\sqrt{m^2+8}}=5\] \[\Leftrightarrow \left | m+13 \right |=5.\sqrt{m^2+8}\] \[\Leftrightarrow m^2+26m+169=25[m^2+8]\] \[\Leftrightarrow 24m^2-26m-31=0\] \[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{13-\sqrt{744}}{24}\\ \\ m=\frac{13+\sqrt{744}}{24} \end{matrix}\] VD2: Cho \[\begin{matrix} [P]: x+2y+2z+3=0\\ [Q]:x+2y+2z-5=0 \end{matrix}\]
- Tính d[[P], [Q]]
- Viết phương trình mặt phẳng [R] song song với [P], [Q] đồng thời cách đều [P] và [Q]. Giải
-
\[N[x_0;y_0;z_0]\in [P]\]
\[\Rightarrow x_0+2y_0+2z_0+3=0\]
\[d[N;[Q]]=\frac{\left | x_0+2y_0+2z_0-5 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} =\frac{\left | -3-5 \right |}{3}=\frac{8}{3}\]
Nhận xét:
\[\left.\begin{matrix} [P]: Ax+By+Cz+D=0\\ [Q]: Ax+By+Cz+D'=0 \end{matrix}\right\}d[P;Q]=\frac{\left | D-D' \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]b]
\[[R] //[P]\] nên R có dạng
\[x+2y+2z+d=0 \, d\neq 3, d\neq -5\]
\[d[R;Q]=\frac{\left | d-3 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left | d-3 \right |}{3}\]
\[d[R;Q]=\frac{\left | d+5\right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left | d+5 \right |}{3}\]
\[d[R;P]=d[R;Q]\Leftrightarrow \left | d+5 \right |=\left | d-3 \right |\]
\[\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} d+5=d-3\\ d+5=-d+3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 0=-8 [vo \ li]\\ d=-1 \end{matrix}\]
Vậy [R]: 2x + 2y +2z - 1 = 0
VD3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A[5;1;3], B[1;6;2], C[5;0;4], D[4;0;6]. Tính độ dài đường kẻ từ A của tứ diện.
Giải
\[\overrightarrow{BC}=[4;-6;2]\] \[\overrightarrow{BD}=[3;-6;4]\] \[\left [ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right ]= \left [ \begin{vmatrix} -6 \ 2\\ -6 \ 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \ 4\\ 4 \ 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \ -6\\ 3 \ -6 \end{vmatrix} \right ]=[-12;-10;6]\] [BCD] nhận \[\left [ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right ]=[-12;-10;6]\] hay \[\vec{n}=[-6;-5;3]\] làm 1 VTPT pt [BCD] \[-6[x-1]-5[y-6]+3[z-2]=0\] \[\Leftrightarrow -6x-5y+3z+30=0\] Độ dài đường cao AH là \[AH=d[A;[BCD]]=\frac{\left | -30-5+9+30 \right |}{\sqrt{[-6]^2+[-5]^2+3^2}}= \frac{4}{\sqrt{70}}\] VD4: Viết phương trình [P] đi qua giao tuyến của 2 mp [R] x - 3y - 2 = 0, [Q] y + 5z - 1 = 0 và có khoảng cách từ A[1;-1;0] đến [P] bằng 1. Giải [P] đi qua giao tuyến của [R] và [Q] nên có phương trình dạng. \[m[x-3y-2]+n[y+5z-1]=0 \ [m^2+n^2\neq 0]\] \[\Leftrightarrow mx+[-3m+n]y+5nz-2m-n=0\] \[d[A;[P]]=1\Leftrightarrow \frac{\left | m+3m-n-2m-n \right |}{\sqrt{m^2+[-3m+n]^2}+25n^2}=1\] \[\Leftrightarrow \left | 2m-2n \right |=\sqrt{m^2+9m^2-6mn+n^2+25n^2}\] \[\Leftrightarrow 4m^2+4n^2-8mn=10m^2-6mn+26n^2\] \[\Leftrightarrow 6m^2+2mn-22n^2=0\] \[\Leftrightarrow 3m^2+mn-11n^2=0 \ \ [1]\] Nếu n = 0 thì m = 0 [vô lý] Nếu \[n\neq 0\] chia 2 vế cho n2, ta có \[3\left [ \frac{m}{n} \right ]^2+\frac{m}{n}-11=0\] \[\Delta =1-4.3[-11]=1+132=133\] \[\Bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{m}{n}=\frac{-1-\sqrt{133}}{6}\\ \\ \frac{m}{n}=\frac{-1+\sqrt{133}}{6} \end{matrix}\] TH1: \[\frac{m}{n}=\frac{-1-\sqrt{133}}{6}\], chọn \[m=-1-\sqrt{133}, n=6\] pt [P] \[[-1-\sqrt{133}]x+[9+3\sqrt{133}]y+30z-4+2\sqrt{133}=0\] TH2: \[\frac{m}{n}=\frac{-1+\sqrt{133}}{6}\], chọn \[m=-1+\sqrt{133}, n=6\] pt [P] \[[-1+\sqrt{133}]x+[9-3\sqrt{133}]y+30z-4-2\sqrt{133}=0\]