Các dạng toán cơ bản về phương trình mặt phẳng năm 2024

Tài liệu gồm có các dạng toán thường gặp trong kỳ thi THPT. Được mình chia dạng rõ ràng, phân mức độ tương ứng với từng đối tượng học sinh. Tài liệu có tính cập nhật cao đối với các đề thi gần đây. Hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh bổ sung được kiến thức, đồng thời cũng nâng cao được kinh nghiệm giải toán.

Tài liệu có full đáp án chi tiết

Nếu bạn là giáo viên, có nhu cầu sử dụng FILE WORD để tiện tham khảo, chỉnh sửa trong quá trình biên soạn và giảng dạy thì có thể liên hệ mình nhé!

Nếu bạn đọc trong quá trình tham khảo, học tập phát hiện ra lỗi trong bộ tài liệu TỰ HỌC TOÁN 10, TỰ HỌC TOÁN 11, 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI 2022 thì mong các bạn phản hồi về cho mình nha. Mình chân thành cám ơn!

Chuyên đề viết phương trình mặt phẳng dạng cơ bản luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 27 của đề tham khảo môn Toán.

TÌM PTMP ĐI QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Tìm một VTPT của mặt phẳng

-Phương pháp: Sử dụng định nghĩa:

Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $,$\overrightarrow n $ có giá vuông góc với $(P)$

$ \Rightarrow \overrightarrow n $ là 1 VTPT của $(P)$

-Chú ý:

①. Nếu $\overrightarrow n $ là một VTPT của mặt phẳng $(P)$ thì $k\overrightarrow n \,$$\,(k \ne 0)$ cũng là một VTPT của mp$(P)$

②. Nếu mp$(P)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\,\,$thì nó có một VTPT là $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$.

③. Nếu $(P)$có cặp $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$ thì $\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}$ là một VTPT của $(P)$.

Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x + 2y – 4z + 1 = 0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?

Ⓐ.$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,2;\,4} \right)$ Ⓑ. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;\, – 4;\,1} \right)$ Ⓒ. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;\, – 4;\,1} \right)$ Ⓓ. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;\,2;\, – 4} \right)$

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$với $A = 3;\,B = 2;\,C = – 4;\,D = 1$.

Suy ra $\left( \alpha \right)$ có $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;\,2;\, – 4} \right)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$

PP nhanh trắc nghiệm

Quan sát nhanh

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3z + 4 = 0$. Vectơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ ?

Ⓐ.${\vec n_3} = \left( {2;\, – 3;\,4} \right)$. Ⓑ. ${\vec n_1} = \left( {2;\,0;\, – 3} \right)$. Ⓒ. ${\vec n_2} = \left( {3;\,0;\,2} \right)$. Ⓓ. ${\vec n_4} = \left( {2;\, – 3;\,0} \right)$

Lời giải

Chọn B

Vectơ ${\vec n_1} = \left( {2;\,0;\, – 3} \right)$có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ vì là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

PP nhanh trắc nghiệm

Quan sát nhanh

Vấn đề ②: Viết phương trình mặt phẳng

-Phương pháp:

❶.Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

$(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

Hay $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.$

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{{\rm{x}}}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

❷.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$đi qua 1 điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$và song song với 1 mặt phẳng $\left( \beta \right):Ax + By + Cz + D = 0$cho trước.

. VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. $(\alpha )//(\beta )$ nên VTPT của mặt phẳng $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. Phương trình mặt phẳng $(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

❸.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua 3 điểm $A$, $B$, $C$không thẳng hàng.

. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} .$

.Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$là : $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

.Điểm thuộc mặt phẳng: $A$ (hoặc $B$ hoặc $C$).

. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }} $.

❹. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$.

. Tìm VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} .$

. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} .$

. VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {AB} } \right]$.

. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

Ⓐ.$x = y + z$. Ⓑ. $y – z = 0$. Ⓒ. $y + z = 0$. Ⓓ. $x = 0$.

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ làm vec tơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $x = 0$

PP nhanh trắc nghiệm Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;5; – 2} \right)$, $B\left( {3;1;2} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng$AB$.

A.$2x + 3y + 4 = 0$. Ⓑ. $x – 2y + 2x = 0$. Ⓒ. $x – 2y + 2z + 8 = 0$. Ⓓ.$x – 2y + 2z + 4 = 0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:$\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 4;4} \right)$ là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $AB$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow I\left( {2;3;0} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I\left( { – 1;\,2;\,3} \right)$, nhận $\overrightarrow n \left( {1;\,0;\, – 3} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình $1\left( {x + 1} \right) – 3\left( {z – 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 3z + 10 = 0$.