Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x 1 3 3
Có bao nhiêu số nguyên ${y}$ sao cho tồn tại ${x \in\left(\dfrac{1}{3} ; 3\right)}$ thỏa mãn ${27^{3 x^2+x y}=(1+x y) 27^{9 x}}$ ?
27 .
9 .
11 .
12 .
Xét ${f(x)=27^{3 x^2-9 x+x y}-(x y+1)}$ và áp dụng ${a^x \geq x(a-1)+1}$.
Suy ra: ${f(x) \geq 26\left(3 x^2-9 x+x y\right)-x y-1=84 x^2+25 x y-234 x-1>0, \forall y \geq 10}$.
Do đó ${y \leq 9}$.
${y=0 \Rightarrow 27^{3 x^2-9 x}=1 \Rightarrow 3 x^2-9 x=0:}$ loại.
${y \leq-3 \Rightarrow x y<-1 \Rightarrow V P<0:}$ loại ${y=-1, y=-2}$ : thỏa mãn.
Xét ${y>0}$ có ${f(3)=27^{3 y}-(3 y+1) \geq 0, \forall y>0}$.
Và ${f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3^{y-8}-\dfrac{y}{3}-1<0, \forall y \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 9\}}$.
${\rightarrow y \in\{-2 ;-1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\} .}$
Xét \({{27}^{3{{x}^{2}}+xy}} - (1+xy){{27}^{12x}}\) Áp dụng bất đẳng thức: \({a^x} \geqslant x(a - 1) + 1\), ta có \(f(x) \geqslant 26(3{x^2} + xy - 12x) + 1 - (1 + xy) = 78{x^2} + (25y - 312)x > 0,\forall y \geqslant 13\) Do đó y ≤ 12 \(\begin{gathered} y = 0 = > {27^{3{x^2} - 12}} = 1 < = > 3{x^2} - 12 = 0 < = > \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.(loai) \hfill \\ y \leqslant - 3 = > xy < - 1 = > VP < 0(loai) \hfill \\ \end{gathered} \) y=-1; y = -2 (thỏa mãn) Xét y > 0 có f(4) = 274y - (1 + 4y) ≥ 0, \(\forall \) y > 0 và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = f(x) = {3^{y - 11}} - \frac{y}{3} - 1 < 0,\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \) Do đó pt f(x) = 0 có nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{3};4} \right),\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \) Vậy \(y \in {\text{\{ - 2; - 1;0;}}1;2;...;12\} \) Chọn B
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây ! Số câu hỏi: 50 Lời giải của GV Vungoi.vn * pt \( \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1\). \( \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}\), khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\) \( \Rightarrow y > - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). \( \Rightarrow \) Ta chặn được \(y > - 3\) => \(y \ge - 2\). * \(pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0\). Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.\). Nhận thấy ngay \(f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\), chỉ bằng 0 tại \(y = 0\). + Xét \(y = 0 \Rightarrow \) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\), loại vì không có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). + Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\). 1) Ta Table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\). \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 17 giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). 2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 16\) thì \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0\) và đồng biến. Ta đi chứng minh khi \(y \ge 16\) thì phương trình vô nghiệm. \(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)\). Ta có \(h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). \( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0\). \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của \(y\). Câu hỏi: 47. Có bao nhiêu số nguyên \(y\)sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.27^{9x}}\)? A. \(27\). B. \(9\). C. \(11\). D. \(12\). Lời giải +) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + xy = {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + 9x\) \(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 = {\log _{27}}t – t\), với \(t = 1 + xy > 0\). +) Xét hàm số \(\,f\left( x \right) = 3{x^2} – 9x – 1\). Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). +) Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _{27}}t – t,\,\,t > 0\). \(g’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 27}} – 1\); \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\ln 27}}\) Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). Suy ra \( – \frac{{31}}{4} \le g\left( t \right) < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \in \left( { \approx {{8,07.10}^{ – 12}}; \approx 0,04} \right)\\t \in \left( {1; \approx 8,4} \right)\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l} \approx {8,07.10^{ – 12}} < 1 + xy < \approx 0,04\\1 < 1 + xy < \approx 8,4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \approx \frac{{ – 1 + {{8,07.10}^{ – 12}}}}{x} < y < \approx \frac{{ – 1 + 0,04}}{x}\\0 < y < \approx \frac{{7,4}}{x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 < y < – \frac{1}{3}\\0 < y \le 22\end{array} \right.\), (\(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\), \(y\) nguyên). +) Nhận thấy \(y = – 2;y = – 1\) thỏa mãn đề. +) Với \(0 < y \le 22\), ta có \(\left( 1 \right)\)\(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) = \)\(0\). Nhập hàm, thay các giá trị nguyên của y, kiểm tra nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) dẫn đến chọn \(1 \le y \le 9\). (Chú ý hàm số \(f\left( t \right) – t\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\) nên \(\forall y \ge 10\), ta có:\(\,3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) \le 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + 10x} \right) + \left( {1 + 10x} \right) < 0\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). Do đó loại \(y \ge 10\)). Vậy \(y \in \left\{ { – 2; – 1;1;2;…;9} \right\}\) nên có \(11\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn đề. ======= |