Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho số đó chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2
Show
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6 phần Số họcBồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 với phần Số học gồm chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng, chứng minh một số chính phương, ƯCLN và BCNN, nguyên lý đi rích lê.BÀI 1: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNGTìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được. => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu: + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. Bài toán 10: Cho n Є N và n 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương. Lời giải: Do n 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74 1 = 2400 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4. * Tìm ba chữ số tận cùng Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an 1 chia hết cho 125. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có: x = am = aq(apn 1) + aq. Vì an 1 chia hết cho 125 => apn 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an 1 chia hết cho 1000. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 v < n) ta có: x = am = av(aun 1) + av. Vì an 1 chia hết cho 1000 => aun 1 chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6: Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 1 chia hết cho 125. Chứng minh: Do a20 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 => a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a100 1 = (a20 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. Bài toán 11: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. Lời giải: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123100 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác: 123100 1 = (12325 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123100 1 chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 1) + 123 = 1000k + 123 (k N). Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài toán 12: Tìm ba chữ số tận cùng của 339998. Lời giải: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 1 chi hết cho 125 (1). Tương tự bài 11, ta có 9100 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9100 1 chia hết cho 1000 => 339998 = 91999 = 9100p + 99 = 999(9100p 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N). Vậy ba chữ số tận cùng của 339998 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999. Lại vì 9100 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100: 9 => ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân $ \displaystyle \overline{??9}.9=\overline{001}$ để xác định $ \displaystyle \overline{??9}=889$ ). Vậy ba chữ số tận cùng của 339998 là 889. Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng. Bài toán 13: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200. Lời giải: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư 1 => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1 => 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376. Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên. Sau đây là một số bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4. Bài 2: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của:
|