Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương để tồn tại các số thực và thỏa mãn A b c d

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) luôn tồn tại nhưng không quá \(2021\) số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \(\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\)?

A. \(8\). 

B. \(11\). 

C. \(6\). 

D. \(10\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \(\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\). Do \(x \ge 1\) nên \({\log _2}x + 3 > 0\). 

Khi đó bpt \( \Leftrightarrow {\log _2}x – y < 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x < {2^y}\).

Kết hợp điều kiện \(x \ge 1\) ta có\(1 \le x < {2^y}\).

Để ứng với mỗi số nguyên dương \(y\) luôn tồn tại nhưng không quá \(2021\) số nguyên dương \(x\) thì \(1 < {2^y} \le 2022\)\( \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _2}2022 \approx 10,98\).

Kết hợp \(y\) nguyên dương ta có \(y \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10} \right\}\).

Vậy có \(10\) giá trị \(y\) thỏa mãn bài toán.

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)để bất phương trình\(\left( {{5^x} – x + 2021} \right)\left( {{5^x} – y} \right) < 0\) có đúng 6nghiệm nguyên dương của \(x\)? 

A. \(62499.\) 

B. \(62500.\) 

C. \(62503.\) 

D. \(62505.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {5^x} – x + 2021\) với \(x \ge 1\)

\(f’\left( x \right) = {5^x}\ln 5 – 1 > 0\left( {\forall x \ge 1} \right)\). Hàmsố đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Do đó \(\forall x \ge 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) = 5 – 1 + 2021 > 0\) 

Khi đó bất phương trình:\(\left( {{5^x} – x + 2021} \right)\left( {{5^x} – y} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {5^x} – y < 0 \Leftrightarrow {5^x} < y \Leftrightarrow x < {\log _5}y\).

Để bất phương trình có đúng 6 nghiệm nguyên dương của \(x\)\(\left( {x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}} \right)\)thì ta cần

\(\begin{array}{l}6 < {\log _5}y \le 7 \Leftrightarrow {5^6} < y \le {5^7} \Leftrightarrow 15625 < y \le 78125\left( {y \in {\mathbb{Z}^ * }} \right)\\ \Rightarrow y \in \left\{ {15626;15627;…;78125} \right\}\end{array}\)

Vậy có \(78125 – 15626 + 1 = 62500\) số.

Giải chi tiết:

Đặt \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\dfrac{{5b - a}}{c} = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\\dfrac{{5b - a}}{c} = {16^t}\end{array} \right.\)

(Vì \(a > 1 \Rightarrow {9^t} > 1 \Leftrightarrow t > 0\)).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{5.12^t} - {9^t} = c{.16^t}\\ \Leftrightarrow {16^t}.c - {5.12^t} + {9^t} = 0\\ \Leftrightarrow c.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2t}} - 5.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\). Vì \(t > 0 \Rightarrow x > 1\).

Khi đó phương trình (*) trở thành: \(c{x^2} - 5x + 1 = 0\,\,\,\,\left( {2*} \right)\)

\( \Rightarrow \) Để tồn tại hai số thực \(a > 1;\,\,b > 1\) thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn \(x > 1\).

Ta có: \(\Delta  = 25 - 4c\).

TH1: \(\Delta  = 0 \Leftrightarrow c = \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép \(x = \dfrac{5}{{2c}}\).

\( \Rightarrow x > 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{2c}} = \dfrac{2}{5} < 1\) (loại).

TH2: \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow c < \dfrac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{c}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{1}{c}\end{array} \right.\).

Để (2*) có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 1\\{x_2} \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{c} \le 2\\\dfrac{1}{c} - \dfrac{5}{c} + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\\dfrac{4}{c} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ge \dfrac{5}{2}\\c \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow c \ge 4\end{array}\)  

Do đó để phương trình (2*) có nghiệm \(x > 1\) thì \(c < 4\).

Kết hợp điều kiện \(c < \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow c < 4\).

Mà \(c\) là số nguyên dương nên \(c \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Vậy có tất cả 3 giá trị của \(c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.