Đề bài
Dựng tam giác \[ABC\], biết \[BC = 4cm\], góc \[\widehat {A}= 60^0\], bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng \[1cm\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Phân tích:
Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
\[\widehat {BOC} = 180^\circ - \left[ {\widehat {OBC} + \widehat {OCB}} \right] \\= 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left[ {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right]\] \[ = 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left[ {180^\circ - \widehat A} \right] \\= 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left[ {180^\circ - 60^\circ } \right] = 120^\circ \]
O thuộc cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1
O cách BC 1cm
O thuộc d // BC và cách BC 1cm.
Vậy O là giao của cung chứa góc120º dựng trên đoạn BCvà đường thẳng d.
Cách dựng:
Dựng \[BC = 4cm\] và đường thẳng \[[d]\] song song với \[BC\] và cách \[BC\] một khoảng là \[1cm.\]
Tâm \[O\] của đường tròn nội tiếp \[ABC\] là giao điểm của đường thẳng \[[d]\] với cung chứa góc \[{120^0}\]dựng trên đoạn \[BC\] cố định.
Qua \[B\] và \[C\] vẽ các tiếp tuyến với \[[O;1cm]\], chúng cắt nhau tại \[A.\] Tam giác \[ABC\] là tam giác phải dựng.
Chứng minh:
+ Theo cách dựng có BC = 4cm .
+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC\[ \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\]
+ A là giao của 2 tiếp tuyến
[O; 1cm] tiếp xúc với AB và AC
Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm
[O; 1cm] cũng tiếp xúc với BC
[O; 1cm] là đường tròn nội tiếp ΔABC
\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC} \]\[= \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\]
[số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm]
Vậy ΔABC có BC = 4cm,\[ \widehat {BAC} = {60^0}\]đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.
Biện luận:
Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình \[ΔABC\] và \[ΔABC\] như hình vẽ.