Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho dãy số \[[u_n]\], biết \[u_1= 2, u_{n+1}=2u_n 1\] [với \[n 1\]]
LG a
Viết năm số hạng đầu của dãy
Phương pháp giải:
Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\
{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\\
{u_4} = 2{u_3} - 1 = 9\\
{u_5} = 2{u_4} - 1 = 17
\end{array}\]
LG b
Chứng minh: \[u_n= 2^{n-1}+ 1\] bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết:
Với \[n = 1\], ta có: \[u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\] công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi \[n = k\ge 1\]. Nghĩa là: \[{u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\]
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \[n = k + 1\], nghĩa là ta phải chứng minh:
\[{u_{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left[ {k + 1} \right] - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\]
Ta có: \[{u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2[{2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1] - 1 \]\[= {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\][đpcm]
Vậy \[u_n= 2^{n-1}+ 1\]với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\].