Đề bài
Câu 1: Cho dãy số với \[{u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\] [a: hằng số ]. \[{u_{n + 1}}\] là số hạng nào?
A. \[{u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{[n + 1]}^2}}}{{n + 2}}\]
B. \[{u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{[n + 1]}^2}}}{{n + 1}}\]
C. \[{u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\]
D. \[{u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2}} }{ {n + 2}}\]
Câu 2: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \[{u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\]
A.Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
B.Dãy số giảm
D. Cả A,B,C đều sai
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25; Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.\[{u_n} = 5[n - 1]\]
B. \[{u_n} = 5.n + 1\]
C. \[{u_n} = 5 + n\]
D. \[{u_n} = 5n\]
Câu 4: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \[{u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \]
A.Dãy số tăng
B.Dãy số giảm
C.Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A ,B,C đều sai
Câu 5: Cho dãy số với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 2}\\{{u_{n + 1}} = - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}}}\end{array}} \right.\] Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :
A.\[{u_n} = - \dfrac{{n - 1}}{n}\]
B. \[{u_n} = \dfrac{{n + 1}}{n}\]
C. \[u_n=\dfrac{1}{n}\]
D. \[{u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\]
Câu 6: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \[{u_n} = \dfrac{{n + {{[ - 1]}^n}}}{{{n^2}}}\]
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm D. Cả A , B, C đều sai
Câu 7: Cho dãy số \[[{u_n}]\]với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n}\end{array}} \right.\]. Số hạng tổng quát \[{u_n}\]của dãy số là số hạng nào dưới đây ?
A. \[{u_n} = \dfrac{{[n - 1]n}}{2}\]
C. \[{u_n} = 5 + \dfrac{{[n + 1]n}}{2}\]
B. \[{u_n} = 5 + \dfrac{{[n - 1]n}}{2}\]
D. \[{u_n} = 5 + \dfrac{{[n + 1][n + 2]}}{2}\]
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \[[{u_n}]\]biết : \[{u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^2}}}\]
A. Dãy số tăng, bị chặn C. Dãy số giảm, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới D. CảA,B,C đều sai
Câu 9: Dãy số \[{u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\] có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên
A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có
Câu 10: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \[{u_n} = {[ - 1]^n}\]
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | A | D | B | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | B | A | C | A |
Lời giải chi tiết:
Câu 1:
Ta có: \[{u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{a{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}{{n + 2}}\]
Chọn đáp án A.
Câu 2:
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \dfrac{6}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 3[n + 1] - 5 + \dfrac{6}{{n + 2}} = 3n - 2 + \dfrac{6}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3[{n^2} + 3n + 2] - 6}}{{\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]}} > 0\end{array}\]
Dãy số tăng.
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Số hạng tổng quát của dãy số này là:\[{u_n} = 5n\]
Chọn đáp án D.
Câu 4:
Ta có: \[{u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \] \[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = n + 1 - \sqrt {{{\left[ {n + 1} \right]}^2} - 1} = n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} \]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} } \right] \, - \left[ {n - \sqrt {{n^2} - 1} } \right]\]\[ = \sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2n} + 1 < 0\]
Dãy số giảm.
Chọn đáp án B.
Câu 5:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \dfrac{2}{1}\\{u_2} = - \dfrac{3}{2}\\{u_3} = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\]
Chọn đáp án D.
Câu 6:
Ta có: \[{u_n} = \dfrac{{n + {{[ - 1]}^n}}}{{{n^2}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1 - {{\left[ { - 1} \right]}^n}}}{{{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}\]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1 - {{\left[ { - 1} \right]}^n}}}{{{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}} - \dfrac{{n + {{[ - 1]}^n}}}{{{n^2}}}\]
\[= \dfrac{{{n^3} + {n^2} - {n^2}{{\left[ { - 1} \right]}^n} - \left[ {{n^3} + 2{n^2} + n} \right] - {{\left[ { - 1} \right]}^n}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}\]
\[ = \dfrac{{ - {n^2} - {{\left[ { - 1} \right]}^n}\left[ {2{n^2} + 2n + 1} \right] - n}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}\]
+ n lẻ ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} + 2{n^2} + 2n + 1 - n}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}} = \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}} > 0\]
+ n chẵn ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} - 2{n^2} - 2n - 1 - n}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}\]\[\, = \dfrac{{ - 3{n^2} - 3n - 1}}{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}} < 0\]
Dãy số không tăng không giảm.
Chọn đáp án C.
Câu 7:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = 6\\{u_3} = 8\\{u_4} = 11\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = 5 + \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}\]
Chọn đáp án B.
Câu 8:
Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}} > 0 \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng
\[{u_n} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{\left[ {n - 1} \right]n}} = 2 - \dfrac{1}{n}\]
\[ \Rightarrow 1 < {u_n} < 2 \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right]\] bị chặn
Chọn đáp án A.
Câu 9:
Ta có: \[{u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 6}}{{n + 1}} = n + 2 + \dfrac{5}{{n + 1}}\]
Nhận thấy chỉ có \[{u_4}\] nhận giá trị nguyên
Chọn đáp án C.
Câu 10:
Ta có: \[{u_n} = {[ - 1]^n}\]
+ Với n lẻ ta có \[{u_n} = - 1\]
+ Với n chẵn ta có: \[{u_n} = 1\]
Vậy \[{u_n} \in \left\{ { - 1;1} \right\}\]
Chọn đáp án A.